lzh15-截面性质-弯曲应力-2013

1、1本教材规定本教材规定：)(d)(dsxqxxF)x(dx)x(dsFMq(x)Mxd)x(d22xyPmq(x)剪力、弯矩与外力间的关系剪力、弯矩与外力间的关系外力外力均布载荷均布载荷q q为常数为常数集中力处集中力处集中力偶处集中力偶处q=0剪剪力力图图特特征征弯弯矩矩图图特特征征水平直线水平直线xFS递减斜线递减斜线xFSFSFS 1FS 2FS 1FS2=P剪力有突变剪力有突变xFS无变化无变化斜直线斜直线有折角有折角弯矩有突变弯矩有突变上凸曲线M mMM21 MM1 1M2 2xMxMP PCmCF FS S 0 0F FS S 0 0集中力集中力、集中力偶集中力偶的的左侧截面左侧截

2、面与与右侧右侧截面截面的哪种内力一的哪种内力一定不相等？定不相等？作业：作业： 7.14, 7.13, 7.182横截面上任意横截面上任意一点切应力一点切应力pIT实心圆实心圆截面截面pI极惯性矩极惯性矩 =324dTmax max 1 1）横截面上各点的正应力，）横截面上各点的正应力， 在截面上均匀分布在截面上均匀分布。150kN100kN50kNEAlFlN扭转变形扭转变形回顾：回顾：1.1.轴向拉压杆件横截面上各点的轴向拉压杆件横截面上各点的正应力及纵向变形正应力及纵向变形pGITl /两截面间两截面间的的扭转变形量扭转变形量=？pGIT /任意截面任意截面的的扭转变形程度扭转变形程度=

3、？mmBAlAFN37.57.5截面图形的几何性质截面图形的几何性质1 1、静矩、静矩的定义的定义oxyAdAxy AxdAyS AydAxS称为称为图形对图形对x轴的静矩轴的静矩(一次矩）一次矩）称为称为图形对图形对y轴的静矩（面积矩）轴的静矩（面积矩）静矩单位是什么？静矩单位是什么？3m3mm讨论讨论（1 1）静矩符号为：）静矩符号为：+ +？- -？静矩可静矩可 0； 0； 0。4若图形若图形形心形心在在C点点，由静力学可知：，由静力学可知：oxyACcycxAydAyAcASxASy求静矩的求静矩的另一公式另一公式形形心心坐坐标标AAxACxdAyScxAScyx AxdAyS Ayd

4、AxSdA（3）形心和静矩有什么关系？形心和静矩有什么关系？（2）图形的）图形的形心形心坐标坐标如何确定？如何确定？讨论讨论讨论讨论5（4 4）若若xyAC, 0, 0ccyx则则?xySSx轴、轴、y轴轴称为称为形心轴形心轴。若已知若已知, 0, 0 xySSAyScxAScyx0, 0ccyx.0,0 xySS?ccyx讨论讨论 若若图形对某轴的图形对某轴的静矩为零静矩为零，该轴该轴一定过一定过图形的形心图形的形心； 若若某轴过图形的形心，某轴过图形的形心， 图形对该轴的图形对该轴的静矩为零静矩为零静矩静矩AyAxxdASydAS形心形心AAxxAAyyACACdd形心和静矩的关系形心和静

5、矩的关系63.3.极惯性矩：极惯性矩：2.2.惯性矩的定义惯性矩的定义ApdAI2为图形对为图形对O点的点的极惯性矩极惯性矩；xydAxy O4.4.惯性积：惯性积： 为图形对为图形对x、y正交正交坐标轴的坐标轴的惯性积；惯性积；AxyxydAI5.5.讨论：讨论：惯性矩与极惯性矩的关系惯性矩与极惯性矩的关系ApdAI2 平面图形对过一点的任意一对平面图形对过一点的任意一对正交轴的正交轴的惯性矩之和惯性矩之和为常数，为常数，等于等于图形对该点的图形对该点的极惯性矩极惯性矩。AdAyx)(22xyII Ax2dAyI Ay2dAxI称为称为图形对图形对x 轴轴的的惯性矩惯性矩称为称为图形对图形对

6、y 轴轴的的惯性矩惯性矩7 惯性矩、极惯性矩惯性矩、极惯性矩恒为正值。恒为正值。 AyAxdAxIdAyI22ApdAI2讨论：讨论：惯性矩、极惯性矩、惯性积惯性矩、极惯性矩、惯性积的的单位单位是什么？是什么？m4、cm4、mm4讨论：讨论：惯性矩、极惯性矩惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性积 的的符号符号为为正、负？正、负？ xydAxy O极惯性矩极惯性矩惯惯性性矩矩惯性积惯性积 AxyxydAI惯性积惯性积可为可为正、负、零。正、负、零。 讨论：讨论： 惯性积惯性积何时为何时为零？零？8 若图形有一个若图形有一个对称轴对称轴，?AxyxydAI?11AyxydAxI0则图形对包含此则图形对包

7、含此对称轴对称轴的一对正交轴的的一对正交轴的惯性积惯性积为为零零y（对称轴对称轴）x（形心轴形心轴）x10讨论：讨论： 惯性积惯性积何时为何时为零？零？AxyxydAIy（对称轴）（对称轴）x形心轴形心轴x-xy9RAFSM?7.6 7.6 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力内力内力剪力剪力FS弯矩弯矩MxFsMRA正应力正应力切应力切应力10 Tmax AFN/回顾与比较回顾与比较maxTWT /max11梁段梁段CDCD上，只有弯矩，上，只有弯矩，没有剪力，称为没有剪力，称为纯弯曲纯弯曲梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，上，既有弯矩，又有剪力，称为又有剪力，称为横力弯曲横力弯曲纯

8、弯曲、横力弯曲纯弯曲、横力弯曲FFFSMFaFaFF122.2.梁发生平面弯曲时横截面上有哪些应力梁发生平面弯曲时横截面上有哪些应力（1 1）梁的弯曲实验梁的弯曲实验bdac纸板的弯曲实验：纸板的弯曲实验：MM均匀分布均匀分布132.2.梁发生平面弯曲时横截面上有哪些应力梁发生平面弯曲时横截面上有哪些应力（1 1）海绵的纯弯曲实验海绵的纯弯曲实验bdacabcdMM表层变形特点：表层变形特点：1.1.横向线横向线( (a ba b、c dc d）变形后仍为直线，但有转动；）变形后仍为直线，但有转动；2.2.纵向线纵向线变为曲线，且上缩下伸；变为曲线，且上缩下伸； 横向线与纵向线变形后仍垂直。横

9、向线与纵向线变形后仍垂直。14梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设： 梁的各横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于梁的各横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度内部变形的内部变形的平面假设平面假设：横截面上横截面上有没有有没有正应力正应力？有没有？有没有切应力切应力？由纵横向线之由纵横向线之间间夹角仍为直夹角仍为直角角、纵向线、纵向线有有伸缩伸缩，可得出，可得出结论结论：横截面上横截面上只有只有正应力正应力，没有，没有切应力切应力。15 两 个 概 念两 个 概 念中性层中性层：梁弯曲时，其中：梁

10、弯曲时，其中必有一层纤维既不伸长也不必有一层纤维既不伸长也不缩短，纤维不变形，就没有缩短，纤维不变形，就没有应力，此层纤维称为应力，此层纤维称为中性层中性层中性轴中性轴：中性层与横截面的交线称为：中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴。16从三方面考虑：从三方面考虑：变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系4.4.怎样分析梁平面弯曲时怎样分析梁平面弯曲时横截面上正应力？横截面上正应力？讨论：讨论：平面弯曲时平面弯曲时中性层有几个？中性层有几个？ 中性轴有几个？中性轴有几个？中性层中性层有有1 1个个；中性轴有中性轴有无数个无数个yz对每个对每个横截面横截面中性轴中性轴对称轴对称轴

11、17MMOO1 nnmmOndxmmnyAyBy对称轴对称轴oB1A1d dq q变形条件变形条件( (变形和应变的关系变形和应变的关系) )q q q q q q ddd)(y距中性轴距中性轴y y处处的线素的线素ABABll令中性层的令中性层的曲率半径曲率半径为为 y ye1OO1e2x中性层中性层z中性轴中性轴正应变正应变= =？y正应力正应力= =？正应力和正应变是什么关系？正应力和正应变是什么关系？18 物理关系物理关系（正应力和正应变是什么关系？）（正应力和正应变是什么关系？）假设：假设：纵向纤维互不挤压、纵向纤维互不挤压、梁内各点均处于单向应梁内各点均处于单向应力状态、力状态、梁

12、的梁的材料在线弹性范围内材料在线弹性范围内（ p ），），则在拉压时得到的则在拉压时得到的胡克定律成立。胡克定律成立。E yy EEMz(中性轴中性轴)dAyxyOz应力在应力在横截面横截面上如何上如何变化？变化？MM19横截面上的应力分布图：横截面上的应力分布图：问题：问题：中性轴在哪？中性轴在哪？ 中性轴的曲率半径？中性轴的曲率半径？y EE沿高度，沿高度，中性轴上各点，中性轴上各点，从中性轴至上下边，线性分布。从中性轴至上下边，线性分布。应力为零；应力为零； 离中性轴最远的点，离中性轴最远的点， 应力最大。应力最大。沿宽度，沿宽度， 均匀分布均匀分布弯矩为正时，弯矩为正时，下部受拉、上部

13、受压下部受拉、上部受压 弯矩为负时，弯矩为负时， 上部受拉、下部受压上部受拉、下部受压 y EyyMMMM结论：结论：平面弯曲横截面上的正应力分布规律为平面弯曲横截面上的正应力分布规律为 20静力学关系静力学关系?dNAAF ?dzAyAM 梁横截面上坐标为梁横截面上坐标为y y、z z的一点，的一点， 微面积微面积dA上上的内力为的内力为: :?dzAAyM 00MMZ(中性轴中性轴)dAyxyOzdAM力y E dAM空间平行力系空间平行力系y E问题：问题：中性轴在哪？中性轴在哪？ 中性轴的曲率半径？中性轴的曲率半径？211.1.将将 代入静力条件：代入静力条件： yEAAFdNAAyE

14、d 0z ESAAyEd为截面对于为截面对于z轴轴的的静矩静矩 AzAySd 式中式中 不可能为零，不可能为零，因而要求：因而要求：E横截面对于横截面对于中性轴中性轴 z 的静矩的静矩 等于零等于零ZSAyScZ要求要求中性轴中性轴 z 通过横截面的形心；通过横截面的形心；结论：结论：中性轴中性轴必过横截面的形心；必过横截面的形心；?dNAAF 0MdAyxyOzdA0cy问题：问题：中性轴在哪？中性轴在哪？ 22yyyyy中性轴中性轴必过横截面的形心必过横截面的形心试画出下列试画出下列截面图形截面图形的的中性轴中性轴zzzzz中性轴中性轴是横截面上是横截面上受拉区受拉区和和受压区受压区的的分

15、界线分界线2302.2.将将 代入静力条件代入静力条件 yEAyAMdz0zyIE AAyEdz AAyzEdMdAyxyOzdA 式中式中 不可能为零，不可能为零，因而要求：因而要求：EAyzAyIdz 若图形有一个若图形有一个对称轴对称轴，则图形对包含此则图形对包含此对称轴对称轴的一对正交轴的的一对正交轴的惯性积惯性积为为零零y对称轴对称轴xx-xy?dzAyAM 024在对称纯弯曲情况下，在对称纯弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴轴为横截面的对称轴，此时，此时， ，因而这一条件自动满足。因而这一条件自动满足。0zyIyyyyy?dzAyAM y E0zyIE AAyEdz 253.3.将

16、将 代入静力条件代入静力条件 yEAAyMdzAAyEd2 MIEz AAyyEd问题：问题： 中性轴的曲率半径？中性轴的曲率半径？?dzAAyM MZEIM1yEZEIyMEZIyM ZIyM MdAyxyOzdAAZAyId226AAyId2z纯弯曲正应力纯弯曲正应力计算公式计算公式：ZIyM 其中，其中，M 为梁某横截面上的弯矩（为梁某横截面上的弯矩（截面内力截面内力）；）； y 为点到中性轴的垂直距离（为点到中性轴的垂直距离（点的点的y y坐标值坐标值）；）；IZ 为截面图形对中性轴的为截面图形对中性轴的惯性距惯性距。MdAyxyOzdA271 1）满足平面假设；）满足平面假设；2 2

17、）纵向纤维之间无挤压；）纵向纤维之间无挤压；3 3）在线弹性范围内。）在线弹性范围内。讨论：讨论：（1 1）弯曲正应力公）弯曲正应力公式的式的适用条件适用条件？1 1）变形几何关系）变形几何关系2 2）物理关系）物理关系3 3）静力学条件）静力学条件yEZIyMZEIM1AAyMdz28讨论：（讨论：（2）最大正应力？）最大正应力？横截面上横截面上最大拉应力、最大拉应力、最大压应力最大压应力的值为的值为称为称为抗抗弯截面系数弯截面系数maxzzyIW dzyomax max Mmax max 中性轴中性轴 z 为为对称轴对称轴时，时，横截面上横截面上最大拉应力、最大压应力是否相等？最大拉应力、

18、最大压应力是否相等？zIMymaxmaxzzWMyIMmaxy E（不带符号）（不带符号）29Zmaxmaxmax IMy强强度度条条件件最大最大工作应力工作应力小于等于小于等于许用应力许用应力max max 中性轴中性轴 z 为横截面的为横截面的对称轴对称轴时，时，zmaxzzmaxmax WMyIMIMymaxzzyIW 30解：解：平行平行z z轴轴取一窄长条，取一窄长条，b/2b/2zyh/2h/2CdyA2zAdyI讨论：讨论：（3 3）截面对中性轴的惯性矩如何计算？）截面对中性轴的惯性矩如何计算？1)1)矩形截面矩形截面求：截面对于中性轴的惯性矩求：截面对于中性轴的惯性矩其面积为其

19、面积为 dA=bdy ，则则惯性矩惯性矩 Iz222)d(h/h/yby12bh3b/2b/2ydA312) 实心圆截面实心圆截面对中性轴的惯性矩对中性轴的惯性矩 由对称性，由对称性，圆形截面圆形截面对对形形心轴心轴z z 和和y y 的惯性矩的惯性矩 Iz= Iy6424pdIIIyzzoyyzdAd截面对于中性轴的截面对于中性轴的惯性矩惯性矩:324dIpA2zAdyI圆截面对于原点的极圆截面对于原点的极惯性矩惯性矩:zIIIyp32123hbIZ644dIZ123hbIZ644dIZ截面对中性轴截面对中性轴 z轴的轴的惯性矩惯性矩zybhyzd33讨论讨论:(4)纯弯曲正应力公式能否用于

20、横力弯曲？纯弯曲正应力公式能否用于横力弯曲？工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生面由于切应力的存在而发生翘曲翘曲 即不满足即不满足“平面假设平面假设”。既有弯矩，又有剪力的弯曲，称为既有弯矩，又有剪力的弯曲，称为横力弯曲横力弯曲34 横向力横向力一般会使各一般会使各纵向纤维纵向纤维之间发生之间发生挤压挤压因此因此,“纵向纤维之间无挤压纵向纤维之间无挤压”的条件也不满足；的条件也不满足； 弹性力学分析结果表明，弹性力学分析结果表明，当梁跨度与截面高度之比当梁跨度与截面高度之比 L / h 大于大于5时时，在梁的在梁的跨中

21、部区域跨中部区域横截面上，横截面上，按纯弯曲理论算得的最大正应力按纯弯曲理论算得的最大正应力其其误差不超过误差不超过5%，故在工程中，故在工程中，将纯弯曲时的正应力公式用于将纯弯曲时的正应力公式用于横力弯曲横力弯曲情况。情况。zmaxmaxz ,)(WMIyxM35BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120KmkN605 . 0160190| )(1CxxMM1.1. 求支反力求支反力kN90AFkN90BF解：解：例：图示梁。例：图示梁。求（求（1 1）C C 截面上截面上K K点正应力点正应力; ;（2 2）C C 截面上最大正应力截面上最大正应力;(3);(3)全梁上最

22、大正应力全梁上最大正应力; ;2.2.求求C 截面上截面上K点正应力点正应力 02/2qxxFxMA弯矩方程为弯矩方程为 xM xFSC 截面弯矩为截面弯矩为ZKIyMCK 2/2qxxFxMA36mkN60MCZKIyMCK?ZIZKIyMKC（压应力）（压应力）yk=?30zy180120KC 截面上截面上K点正应力点正应力C C 截面惯性矩截面惯性矩1218012034710832. 5mmC 截面上截面上K点点y坐标坐标127331010832. 510601060MPa7 .61求求 截面上截面上某某点的正应力时，点的正应力时，弯矩弯矩和和点的坐标点的坐标都不带符号都不带符号M123bh-（90