八上第二章21认识无理数(2)公开课

1、 八年级上册第二章八年级上册第二章 实数实数 （第二课时）（第二课时）1借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，并从中体会无限逼近的思想.2探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数。3能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类。一、想一想一、想一想1.1.有理数如何分类？有理数如何分类？有理数有理数整数整数: :如如-1-1，0 0，2 2，3 3，分数分数: :如如 , , 0.5 119,52,31 2. 2.上节课了解到一些数上节课了解到一些数, ,如如a a2 2=2=2，b b2 2=5=5中的中的a a，b b 既不既不 是

2、整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？思思 考考二、活动与探究二、活动与探究活动活动1 1：面积为面积为2 2，5 5的正方形的边长的正方形的边长a a，b b究竟是多少呢究竟是多少呢? ?12=1 a2=2 22=4边长边长a a面积面积s s1a2 1a2 1S41S41.4a1.5 1.4a1.5 1.96s2.25 1.96s2.25 1.41a1.42 1.41a1.42 1.9881s2.0164 1.9881s2.0164 1.414a1.415 1.414a1.415 1.999396s2.002225 1.999396s2.00

3、22251.4142a1.4143 1.4142a1.4143 1.99996164s2.000244491.99996164s2.0002444922aa 是多少？是多少？a=1.4142135652bb 是多少是多少？b=2.2360679（1）估计面积为）估计面积为5的正方形的的正方形的 边长边长b的值（结果精确到的值（结果精确到0.1），并用计），并用计算器验证你的估计。算器验证你的估计。（2）如果结果精确到）如果结果精确到0.01呢呢?结论：结论：a a，b b既既不是整数，也不是分数，更不是不是整数，也不是分数，更不是有限小数有限小数活动活动2：分数化成小数，最终此小数的形式有几种

4、情况？分数化成小数，最终此小数的形式有几种情况？ 请同学们以学习小组活动请同学们以学习小组活动:一同学说出任意一分数，一同学说出任意一分数，另一同学将此分数化成小数另一同学将此分数化成小数.并总结此小数的形式并总结此小数的形式?结论：结论：分数分数只能化成有限小数或无限循环小数。只能化成有限小数或无限循环小数。即任何即任何有限小数有限小数或或无限循环小数（无限循环小数（都可化为都可化为分数）都是分数）都是有理数有理数. .像像1.414213561.41421356，2.2360679782.236067978等这些数的小数位数等这些数的小数位数都是无限的都是无限的, ,但是又不是循环的但是又

5、不是循环的, ,是是无限不循环小数无限不循环小数. .强强 调调无限不循环小数无限不循环小数称为称为无理数无理数. .又如：圆周率又如：圆周率=3=3.1415926514159265也是一个无限不循环小也是一个无限不循环小数数, ,故故是无理数、是无理数、 0.585885888588885 0.585885888588885（相邻两个相邻两个5之间之间8的个数逐次加的个数逐次加1，) )体积为体积为2的正方体的棱长的正方体的棱长c也是无理数也是无理数 （即（即c3=2）三、分一分三、分一分到目前为止我们所学过的数可以分为几类？到目前为止我们所学过的数可以分为几类？按小数的形式来分按小数的形

6、式来分有理数：有理数：无理数：无限不循环小数无理数：无限不循环小数数数整数整数分数分数可化为可化为有限小数或无限循环有限小数或无限循环小数小数四、辨一辨四、辨一辨34例例1 1下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14, 0.101000100 0001(相邻两个1之间0的个数逐次加2),.,57.0(1)(1)有限小数是有理数有限小数是有理数; ; （ ）(2)(2)所有无限小数都是无理数所有无限小数都是无理数; ; （ ）(3)(3)所有无理数都是无限小数所有无理数都是无限小数; ; （ ）(4)(4)有理数是有限小数有理数是有限小数. . （

7、 ） 例例2 2 判断题判断题？以下各正方形的边长是无理数的是（以下各正方形的边长是无理数的是（ ）A.A.面积为面积为2525的正方形；的正方形； B.B.面积为面积为 的正方形；的正方形；C.C.面积为面积为8 8的正方形；的正方形； D.D.面积为面积为1.441.44的正方形的正方形. . 254C C练习练习2 2练习练习1:1:见课本见课本2323页页 随堂练习随堂练习练习练习3:3:一个直角三角形两条直角边的长分别是一个直角三角形两条直角边的长分别是3 3和和5,5,则斜边则斜边a a是有理数吗是有理数吗? ?解解: :由勾股定理得由勾股定理得: :a2 2= =3 32 2+5

8、+52 2, ,即即a2 2=34.=34.因为因为3434不是完全平方数，不是完全平方数，所以所以a不是有理数不是有理数. .？35a1.1.无理数的定义无理数的定义. .2.2.数的分类数的分类. .3.3.判定一个数是无理数还是有理数判定一个数是无理数还是有理数. .复习本节复习本节习题习题2.2 第第1、2题题预习预习2.2节节 课后探究：读一读，你有何收获课后探究：读一读，你有何收获? ?阅读课本第阅读课本第24页页:无理数的发现无理数的发现读一读读一读 无理数的发现无理数的发现第一次数学危机及其解决第一次数学危机及其解决 毕达哥拉斯学派是希腊第二个重要学派，它延续了两个世纪，在希腊

9、有很大毕达哥拉斯学派是希腊第二个重要学派，它延续了两个世纪，在希腊有很大的影响。它有着带有浓厚宗教色彩的严密组织，属于唯心主义学派。他们相信依的影响。它有着带有浓厚宗教色彩的严密组织，属于唯心主义学派。他们相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体，从而数学是其教义的一部分。他们在数靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体，从而数学是其教义的一部分。他们在数学上最大的贡献是证明了直角三角形三边关系的勾股定理，故西方称之为毕达哥学上最大的贡献是证明了直角三角形三边关系的勾股定理，故西方称之为毕达哥拉斯定理。拉斯定理。毕达哥拉斯学派的信条是，世界万物都是可以用数来表示的。他们所称的数毕达哥拉斯学派的信条是

10、，世界万物都是可以用数来表示的。他们所称的数就是自然数和分数。实际上分数也是自然数的结果。当时人们对有理数的认识还就是自然数和分数。实际上分数也是自然数的结果。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知。他们将这种数的理论应用于几何，认很有限，对于无理数的概念更是一无所知。他们将这种数的理论应用于几何，认为，对于任何两条线段，总可找到一条同时量尽它们的单位线段，并称此两线段为，对于任何两条线段，总可找到一条同时量尽它们的单位线段，并称此两线段为可公度的。这种可公度性等价于为可公度的。这种可公度性等价于“任何两条线段之比为有理数任何两条线段之比为有理数”。他们在几何推。他们在几

11、何推理中总是使用这条可公度性假定。理中总是使用这条可公度性假定。 公元前公元前4世纪，毕达哥拉斯学派的信徒希帕索斯发现存在某些线段之间是不世纪，毕达哥拉斯学派的信徒希帕索斯发现存在某些线段之间是不可公度的，例如正方形的边长与其对角线之间就是不可公度。根据毕达哥拉斯定可公度的，例如正方形的边长与其对角线之间就是不可公度。根据毕达哥拉斯定理容易发现，它们之比并非是自然数之比。据说，由于希帕索斯的这一发现，触理容易发现，它们之比并非是自然数之比。据说，由于希帕索斯的这一发现，触犯了毕达哥拉斯学派的信条而被视为异端，为此他被其同伴抛进大海。犯了毕达哥拉斯学派的信条而被视为异端，为此他被其同伴抛进大海。

12、尽管希帕索斯的不可公度观念未被希腊人所接受。但由此而引发了数学史上尽管希帕索斯的不可公度观念未被希腊人所接受。但由此而引发了数学史上的第一次数学危机，它对古希腊的数学观点有着极大的冲击，整数的尊崇地位受的第一次数学危机，它对古希腊的数学观点有着极大的冲击，整数的尊崇地位受到挑战。于是几何开始在希腊数学中占有特殊地位，同时，人们开始不得不怀疑到挑战。于是几何开始在希腊数学中占有特殊地位，同时，人们开始不得不怀疑直觉和经验的可靠性，从此希腊几何开始走向公理化的演绎形式。直觉和经验的可靠性，从此希腊几何开始走向公理化的演绎形式。是谁最早使用符号是谁最早使用符号表示圆周率表示圆周率? ?无理数无理数表

13、示圆周率表示圆周率. .是从什么时候开始用是从什么时候开始用表示圆周表示圆周率的呢？为什么用字母呢率的呢？为什么用字母呢 ？ 开卷有益：开卷有益： 1600 1600年英国的威廉年英国的威廉. .奥托兰特奥托兰特（Willian OughtredWillian Oughtred）首先使首先使用用 表示圆周率，他的理由是，因为表示圆周率，他的理由是，因为是希腊文圆周的第一个是希腊文圆周的第一个字母，奥托兰特用它表示圆周长，而字母，奥托兰特用它表示圆周长，而是希腊文直径的第一个字是希腊文直径的第一个字母，奥托兰特用它表示直径，根据圆周率母，奥托兰特用它表示直径，根据圆周率= = ， 理解为圆理解为圆周率周率, ,但在推求圆周率的过程中但在推求圆周