大学物理课件—曲线运动

1、速度和速率描述质点位置变化快慢和方向的物理量方向：沿运动轨迹的切线方向并指向前进的一侧注意：注意：1、矢量性、瞬时性、相对性 2、与速率有别1 加速度描述速度在大小和方向上随时间变化快慢的物理量说明：说明：1、方向 同向，加速反向，减速2、瞬时性、矢量性23例:有一质点沿 x 轴作直线运动, t 时刻的坐标为x = 5t2 - 3t3 (SI); 试求:(1)在第2秒内的平均速度;(2)第2秒末的瞬时速度.(3)第2秒末的加速度.解: (1) x = (522 - 3 23)- (512 - 3 13)= -6(m) t=1s,m/s6 tx (2)2910ttdtdx ,/162sm (3)

2、dtda ,1810t 2m/s262 a4例: 一人用绳子拉着车前进，小车位于高出绳端h的平台上，人的速率为 0 不变，求小车的速度和加速度（绳子不可伸长）l0 hx车车 解：人的速度为 dtdx 0 车前进的速率 dtdl 车 5222hxl xdtdxdtdll22 0 lx 车220hxx dtdxhxdxdxdtdxhxdtd)(2202201 车)(322222201hxxhxdtd 车322220)(hxhdtda 车车6Hh0vv思考题：如图所示，已知人的速度，求人的头顶在地面上的影子的速度71.3 曲线运动的描述平面自然坐标中的描述ASO/0n切向单位变矢量指向物体运动方向法

3、向单位变矢量指向轨道的凹侧r0B 在在一般一般曲线曲线运动运动中，质点速度的中，质点速度的大小大小和和方向方向都在改变，即都在改变，即存在加速存在加速度度。采用。采用自然坐标系自然坐标系，可以更好地理解加速度的物理意义。，可以更好地理解加速度的物理意义。 由曲线上各点的切线和法线所组成的一系由曲线上各点的切线和法线所组成的一系列坐标系称列坐标系称自然坐标系。自然坐标系。显然，轨迹上各点处，显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方向不断变化。自然坐标轴的方向不断变化。ASO/0nr0B)(srr 0 dsrd 00 dtds00naaaaann 89P1P21 2 ABC2 1 n Dtat 0lim

4、tnt 0limtttnt 00limlim切向加速度 00 ;t0000 dtdttatt limlim0220 dtsddtda 10法向加速度 ABC2 1 n D00ntn ;000nttatntn limlim0ndtdan P1P21 2 020ndsdndtdsdsdan dsdk ddsk 102nan 11200ndanaadt 22222 dtdaaan 10naatga 与的夹角反应速度方向的变化反应速度大小变化，其中naatvatddRvan2 上述加速度表达式对上述加速度表达式对任何任何平面曲线运动都适用，但平面曲线运动都适用，但式中半式中半径径R 要用曲率半径要用曲

5、率半径 代替代替。anaat 等于等于0, an等于等于0, 质点做什么运动？质点做什么运动？at 等于等于0, an不等于不等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？at 不等于不等于0, an等于等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？at 不等于不等于0, an不等于不等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？例题例题 讨论下列情况时，质点各作什么运动：讨论下列情况时，质点各作什么运动： 匀速直线运动匀速直线运动 匀速曲线运动匀速曲线运动 变速直线运动变速直线运动 变速曲线运动变速曲线运动ana12t13141516例2: 以速度为0平抛一球，不计空气阻力，求t时刻小球的切向加速

6、度量值 a，法向加速度量值an和轨道的曲率半径 。 解：由图可知 x= 0ygana ygga sin222022220tgtgtggtga xngga cos22200tggan 0232220222 gtgaanyxn/)( 17二、圆周运动1、自然坐标系:)(srr 00 dtds020nRdtda 22dtsda Ran2 匀速圆周运动 (=常数)0 aCRan 2 oxy A：tB：t+ t 182、极坐标系中的角量描述:012p1p2)(t 角位置12 角位移 方向用右手螺旋法则确定方向用右手螺旋法则确定dtd 角速度角加速度?2?2dtddtd 前述用位矢、速度、加速度描写前述用

7、位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法，称圆周运动的方法，称线量描述法线量描述法；由；由于做于做圆周运动的质点与圆心的距离不圆周运动的质点与圆心的距离不变变，因此可用一个角度来确定其位置，因此可用一个角度来确定其位置，称为称为角量角量描述法。描述法。角角 速速 度度 的的 单位：单位： 弧度弧度/秒秒(rad s-1) ；角加速度的单位：角加速度的单位： 弧度弧度/平方秒平方秒(rad s-2) 。讨论讨论： (1) 角加速度角加速度 对对运动的影响：运动的影响： 等于零，质点作匀速等于零，质点作匀速率率圆周运动；圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动不等于零但为常数，质点作匀变速圆

8、周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。随时间变化，质点作一般的圆周运动。dtd 角速度角加速度?2?2dtddtd19)(22/02022000ttt (2) 质点作质点作匀变速圆周运动匀变速圆周运动时时的角速度、角位移的角速度、角位移与角加速度的关系式为（与角加速度的关系式为（若为匀速圆周运动，则若为匀速圆周运动，则 0 0）)(22/02022000 xxavvattvxxatvv与与匀变速直线运动匀变速直线运动的几个关系式的几个关系式比较知：比较知：两者数学形式完全相同两者数学形式完全相同,说明用角量描述说明用角量描述,可把可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题平面圆周运

9、动转化为一维运动形式，从而简化问题。圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述20ROx3. 线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系 圆周运动既可以用圆周运动既可以用速度速度、加速度加速度描述，也可以用描述，也可以用角速度角速度、角加速度角加速度描述，二者应有一定的对应关系。描述，二者应有一定的对应关系。 + 0 0+t+ tBtA 图示图示 一质点作圆周运动：一质点作圆周运动：在在 t 时间内，质点的角位时间内，质点的角位移为移为 ，则，则A、B间的间的有向有向线段线段与弧将满足下面的关系与弧将满足下面的关系00limlimttABABR 两边同除以两边同除以 t，得到速度与角速度之间的关系：，

10、得到速度与角速度之间的关系：Rv 线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系21将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：度之间的关系：Rat将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：得到法向加速度与角速度之间的关系：Rvan22R线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系法向加速度也叫向心加速度。法向加速度也叫向心加速度。22例题例题1 1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。解：解：地球自转周期地球自转周期T=2

11、4 60 60 s，角速度大小为：，角速度大小为：T26060242151027. 7s 如图，地面上纬度为如图，地面上纬度为 的的P点，在与赤道平行的平面内作点，在与赤道平行的平面内作圆周运动圆周运动, cosRr 线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系R 赤道赤道rp 其轨道的半径为其轨道的半径为23rvcosRcos1073. 61027. 765)/(cos1065. 42smran2cos2Rcos1073. 6)1027. 7(625P点速度的大小为点速度的大小为P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为点只有运动平面上的向心加速度，其大小为P点速度的方向与过点速度的方向与过P点运

12、动平面上半径为点运动平面上半径为R的圆相切。的圆相切。线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系)/(cos1037. 322smP点加速度的方向在运动平面上由点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。指向地轴。24 例如例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬是北纬39 57 、31 12 和和 23 00 ，则，则三地的三地的v 和和 an分别为：分别为：北京：北京：),/(356smv )/(1058. 222sman上海：上海：),/(398smv )/(1089. 222sman广州：广州：),/(428smv )/(1010. 322sman线量

13、与角量之间的关系线量与角量之间的关系25Ro 在在t 时刻，质点运动到位时刻，质点运动到位置置 s 处。处。s s解解：先作图如右，先作图如右，t = 0 时，时，质点位于质点位于s = 0 的的p点处。点处。线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系P （1） t 时刻质点的总加速度的大小；时刻质点的总加速度的大小； （2） t 为何值时，总加速度的大小为为何值时，总加速度的大小为b ； （3）当总加速度大小为）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行了多少时，质点沿圆周运行了多少圈。圈。例题例题2 一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周按的圆周按规律规律 运运动，动，v0、b都是正的常量。求：都

14、是正的常量。求：2/20bttvsn26naa （2）令）令a = b ，即，即240)()(aRos （1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:tvddRv222ddtsbRbtv20)(线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系n42022()()nvbtbRaaaR27（3）当当a = b 时，时，t = v0/b ，由此可求得质点历经，由此可求得质点历经 的弧长为的弧长为 /220bttvs它与圆周长之比即为圈数：它与圆周长之比即为圈数：Rsn2Rosbvt/0bv /220Rbv420线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系得得n28判断下列说法的正、误：判断下列说法的正、误：a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。b. 平均速率等于平均速度的大小。平均速率等于平均速度的大小。d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。