材力03第三章扭转

1、31 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 32 外力偶矩的计算外力偶矩的计算33 纯剪切纯剪切34 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形35 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算3-6 扭转变形能扭转变形能37 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算38 矩形截面杆扭转理论简介矩形截面杆扭转理论简介主要内容主要内容31扭转的概念和实例扭转的概念和实例 轴轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。扭转扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA扭转角（扭转

2、角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（）：直角的改变量。mmOBA实例：汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等实例：汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等传动轴传动轴32 外力偶矩的计算外力偶矩的计算一、传动轴的外力偶矩一、传动轴的外力偶矩m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.mm)(kN1217nP.m其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（HP） n 转速，转/分（rpm）1PS=735.5Nm/s , 1HP=745.7Nm/s , 1kW=1.36PS3 扭矩的符号规定：扭矩的

3、符号规定： 二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 1 扭矩扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTmTmTmx00 x把扭矩按右手螺旋法则表示成矢量与外法线方向一直为正与外法线方向相反为负4 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT例例已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2

4、m3 m1 m4解解：计算外力偶矩：计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 78. 43001509.5555. 9232nPmmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN376 , 0 4243.mTmTnA B C Dm2 m3 m1 m4绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBC段为危险截面。段为危险截面。nA B C Dm2 m3 m1 m49.

5、56xT4.786.3733 33 纯剪切纯剪切 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt （r0：为平均半径）一、一、薄壁圆筒的剪切薄壁圆筒的剪切实验：实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m m。薄壁圆筒的剪切薄壁圆筒的剪切2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3.结论结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小

6、的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 acddxbdy 无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4. 与与 的关系：的关系：LRRL 微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小： tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0：平均半径所作圆的面积。剪应力互等定理剪应力互等定理 0故dxdytdxdytmz该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直

7、于两平面的交线，其然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb dy tz剪切虎克定律剪切虎克定律 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为纯剪切应力状态纯剪切应力状态。 T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。剪应力与剪应变成正比关系。G 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量， 剪切弹性模量、弹

8、性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：)1 ( 2EG等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面34 34 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形 1. 横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg1x

9、dd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率。2. 物理关系：物理关系：虎克定律：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 3. 静力学关系：静力学关系：AxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式 得：xGdd pITOdA4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力

10、偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp对于实心圆截面：DdO对于空心圆截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddOd 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻, 结构轻便，应用广泛。由公式pGITx dd 知：长为长为 l一段杆两截

11、一段杆两截面间相对扭转角面间相对扭转角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplp三. 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形单位扭转角单位扭转角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面截面的抗扭刚度的抗扭刚度。35 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算pIT由知：当max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmax一一. .强度条件强度条件：tWTmax对于实心圆截面：332016D.DRIWpt对于空心圆截面：)-(12016)1 (4343D.D

12、RIWpt 强度条件强度条件对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxtWT强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：实：433116 16 DDWt二二.刚度条件刚度条件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或 称为许用单位扭转角。例例某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径

13、 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？解：扭矩如图 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m由强度条件得：16 31TdWt mm4671070143421016163632.Td mm801070143702416163631.Td 32 4 GTdIp由刚度条件得：500400N1N3N2ACBT7.0244.21(kNm) mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 mm8521 d,d综上：全轴选同一

14、直径时 mm851 dd 轴上的轴上的绝对值绝对值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮应轮应 该该换换位。位。换位后换位后, ,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示, ,此时此时, ,轴的最大直径才轴的最大直径才 为为 75 75mm。Tx 4.21(kNm)2.8143-6 扭转变形能扭转变形能 1扭矩作功扭矩作功mW212扭转变形能和能密度扭转变形能和能密度PPPGIlTGIlmGITlmmWU22212122lrtrmlrtmVUu222122121umm37 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算的应力和变形计算 n当螺旋角5时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧 对于非圆截面等直杆对于非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发