CH二重积分的概念与性质PPT课件

1、第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质一、问题的提出一、问题的提出二、二重积分的概念二、二重积分的概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质四、小结四、小结 思考题思考题第1页/共40页柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.),(yxfz 一、问题的提出一、问题的提出第2页/共40页曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设 一 立 体 的 底 是设 一 立 体 的 底 是xOy面上的闭区域面上的闭区域D 它它的侧面是以的侧面是以D的边界曲的边界曲线为准线而母线平行于线为准线而母线平行于z轴的柱面轴的柱面 它的顶是曲它的顶是曲面

2、面z f(x y) 这里这里f(x y) 0且在且在D上连续上连续 这种立体这种立体叫 做 曲 顶 柱 体叫 做 曲 顶 柱 体 第3页/共40页解法解法: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底：底： xOy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线 , 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求求 极限极限” 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积第4页/共40页1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域

3、以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个3)“近似和近似和”则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体第5页/共40页4)“4)“取极限取极限”令令第6页/共40页步骤如下：步骤如下：xzyoD),(yxfz i),(kk .),(lim10kknkkfV 用小平顶柱体的体积近似用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积代替小曲顶柱体的体积 Vk Vk f( k k) k 用小平顶柱体的体积之和用小平顶柱体的体积之和近似代替整个曲顶柱体体近似代替整个曲顶柱体体积积 将分割加细将分割加细 取极限取极限 求得求得曲顶柱体体积的精确值曲顶柱体体积的

4、精确值 用曲线网把用曲线网把D分成小区域分成小区域 1 2 n “大化小大化小, , 常代变常代变, , 近似和近似和, ,取极限取极限”第7页/共40页播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第8页/共40页 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第9页/共40页 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第10页/共40页 求曲顶柱体的体

5、积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第11页/共40页 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第12页/共40页 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第13页/共40页 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第14页/共40页有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xOy 平

6、面上占有区域平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .度为度为设设D 的面积为的面积为 , 则则若若非常数非常数 , 仍可用仍可用其面密其面密 “大化小大化小, 常代变常代变,近似和近似和, 求极限求极限” 解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域相应把薄片也分为小块相应把薄片也分为小块 .求平面薄片的质量求平面薄片的质量第15页/共40页2)“常代变常代变”中中任取任取一点一点3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”则第则第 k 小块的质量小块的质量第16页/共40页两个问题的两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同解

7、决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和,取极限取极限”曲顶柱体体积曲顶柱体体积: 平面薄片的质量平面薄片的质量: 第17页/共40页二、二重积分的概念二、二重积分的概念第18页/共40页第19页/共40页 积分号积分号 v二重积分的定义二重积分的定义积分中各部分的名称积分中各部分的名称 f(x y) 被积函数被积函数 f(x y)d 被积表达式被积表达式 d 面积元素面积元素 x y 积分变量积分变量 D 积分区域积分区域 iiiniDfdyxf),(lim),(10 积分和积分和 iiinif ),(1 第20页/共40页对

8、二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值第21页/共40页 在直角坐标系下用平行于在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:第22页/共40页二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数定理定理2.(证明略证明

9、略)定理定理1.在在D上可积上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续, 则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 例如例如, 在在 D :上二重积分存在上二重积分存在 ;在在D 上上 二重积分不存在二重积分不存在 . 第23页/共40页性质性质当当K为常数时，被积函数中的常数因子为常数时，被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即可以提到积分号前面，即.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重积分与定积分

10、有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质第24页/共40页.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 性质性质3 (对积分区域的可加性对积分区域的可加性) 如果闭区域如果闭区域D被有限条曲线分被有限条曲线分为有限个部分闭区域为有限个部分闭区域, 则则D上的上的二重积分等于各部分闭区域上二重积分等于各部分闭区域上二重积分的和二重积分的和. 例如例如D可分为两可分为两个闭区域个闭区域D和和D，则，则第25页/共40页性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(

11、),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 则有则有第26页/共40页性质性质 DMdyxfm),(（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）第27页/共40页性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） ),(),(fdyxfD证证: 由性质由性质6 可知可知,由连续函数介值定理由连续函数介值定理, 至少有一点至少有一点使使因此因此第28页/共40页例例1 比较下列积分的大小：比较下列积分的大小：1）Ddyx2)(与与Ddyx3)(其中其中D:2) 1()2(22yx0yx(3,0)(1,0)(0,1)1yx.D解：在区域解：在区域 D内，显然有内，

12、显然有, 1 yx故在故在D内内32)()(yxyx DDdyxdyx32)()(第29页/共40页解解2 yxoxy121D第30页/共40页例例3 设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域 , 且且 0 y 1, 则则的大小顺序为的大小顺序为 ( )提示提示: 因因 0 y 1, 故故故在故在D上有上有第31页/共40页,12220ayxeee ,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab ab 区域区域D的面积的面积 x第32页/共40页,16)(1),(2 yxyxf)0(41 yxM5143122 m)2, 1( yx. 5 . 04 . 0

13、 I解解第33页/共40页练习练习 估计下列积分之估计下列积分之值值解解: D 的面积为的面积为由于由于积分性质积分性质6即即: 1.96 I 2D第34页/共40页例例6 判判断断的正负的正负.解：当解：当时，时，故故又当又当时，时，于是于是第35页/共40页二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结四、小结第36页/共40页思考题思考题1 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.第37页/共40页 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与