第 01章 2 次课 -- 速度例题 加速度

1、上海师范大学上海师范大学1位置矢量位置矢量kzj yi xr运动方程运动方程ktzjtyitxtr)()()()(位移位移ABrrr1.1 xyoBArBrAr一、质点一、质点 参考系参考系二、位矢二、位矢 运动方程运动方程 位移位移/16yxyxtjijdtdyidtdxtrtrddlim0三、速度三、速度zyxzyxtkjikdtdzjdtdyidtdxtrtrddlim0四、例题分析四、例题分析上海师范大学上海师范大学例例3 如图所示，如图所示，A、B 两物体由一长为两物体由一长为 的刚性细杆相连，的刚性细杆相连，A、B 两物体可在两物体可在 光滑轨道上滑行光滑轨道上滑行. 如物体如物体

2、A以恒定的速率以恒定的速率 向左滑行，当向左滑行，当 时，物体时，物体 B的速率为多少？的速率为多少？l60得得, 物体物体A 的速度的速度iitxixAvvdd物体物体B 的速度的速度jtyjyBdd v解解 建立坐标系如图建立坐标系如图, 设设A、B两物体的两物体的 坐标分别为坐标分别为:), 0(, )0 ,(yBxAjdtdyidtdxjiyx由由tyBdd即即1.1 2/16y222x= l即即因因OAB为一直角三角形，且刚性细杆的长度为一直角三角形，且刚性细杆的长度 l 为一常量为一常量.两边求导得两边求导得0dd2dd2tyytxx即即txyxtyddddxyoA(x,0)B(0

3、,y)lv上海师范大学上海师范大学txyxtyddddyxtgtx,ddvjtgBvvxyoA(x,0)B(0,y)lvjtxyxBddv由此可得由此可得,73.13600tgtgBvvv可见可见, 当当A沿沿x轴向左运动时轴向左运动时, B沿沿y轴的正向运动轴的正向运动. 速度的大小为速度的大小为1.1 3/16加速度加速度是反应物体运动是反应物体运动速度变化快慢速度变化快慢的物理量的物理量.通常物体在运动时通常物体在运动时, 速度是变化的速度是变化的. 包括大小或方向的变化包括大小或方向的变化.要完整描述物体的运动状态要完整描述物体的运动状态, 除知道位移和速度外除知道位移和速度外, 还应

4、该知道速度的变化情况还应该知道速度的变化情况.为此为此, 物理上引入物理上引入加速度加速度的概念的概念.上海师范大学上海师范大学41. 平均加速度平均加速度平均加速度等于单位时间内的速度增量平均加速度等于单位时间内的速度增量四、加速度四、加速度xyOAA1.1 设质点沿曲线运动设质点沿曲线运动, 如图所示如图所示. BB在在t时刻时刻, 质点位于质点位于A点点, 速度为速度为AAB在在t+ t时刻时刻, 质点位于质点位于B点点, 速度为速度为B因此因此, 在在 t时间内时间内, 速度的增量速度的增量为为BA加速度是矢量加速度是矢量, 其方向与速度的增量相同其方向与速度的增量相同.ttaAB(1

5、)即即 与与 同方向同方向.a/16上海师范大学上海师范大学52.（瞬时）加速度（瞬时）加速度1.1 xyOAABB当当 t0, B点趋近于点趋近于A点点, 这时这时AB段的平均加段的平均加速度就是速度就是A点的瞬时加速度点的瞬时加速度. 即即dtdtat0lim(2)jtitdtrddtdayxdddd22vvjidtrdyx因为因为 , 所以所以(2)式可以写为式可以写为tatayyxxdd;ddvv式中式中是加速度在是加速度在 x 轴和轴和 y 轴上的分量轴上的分量.加速度大小加速度大小2222)()(yxyxaadtddtda(4)(3)jaiayx加速度方向加速度方向是速度增量的极限

6、方向是速度增量的极限方向.在曲线运动中在曲线运动中, 加速度的方向指向曲线的加速度的方向指向曲线的凹侧凹侧./16上海师范大学上海师范大学6加速度大小加速度大小222xyzaaaa质点作质点作三维运动三维运动时加速度为时加速度为1.1 上述加速度的式子上述加速度的式子, 可以推广至三维运动的情况可以推广至三维运动的情况:kajaiaazyxjtitdtrddtdayxdddd22vv(3)jaiayx加速度的单位加速度的单位: 由由(3)式可知式可知, 加速度的单位是加速度的单位是 m s-2; 即米每二次方秒即米每二次方秒./16加速度大小加速度大小2222)()(yxyxaadtddtda

7、(4)加速度的方向加速度的方向: 与与x轴的夹角轴的夹角 为为xyaatg222222ddddddddddddxxyyxattyattattzzvvvzxyoayaxa 上海师范大学上海师范大学7讨论讨论oaoc在在Ob上截取上截取则有则有cbv 1.1 (i) 吗？吗？ cb) t(tOa)(tv)()(ttt)()(ttt因此因此, 答案是答案是 (ii) 吗？吗？ dtdaa例如例如 匀速率圆周运动匀速率圆周运动答案答案:dtdaaO)(td)(tt( )(d )tttvv因为因为d0d tv所以所以因此因此taddv而而0 aa/16上海师范大学上海师范大学8解：解：如图建立坐标系如图

8、建立坐标系.0vyo1.1 由加速度定义得由加速度定义得即即dtd0 . 1t0d0 . 1d0tvvvv两边积分两边积分, 得得t 0 . 10ln-lnv即即t0 . 10e vv化简得化简得tty0 . 10eddvv由速度的定义得由速度的定义得即即dtedyt 0 . 10tyttyded01.0-00 v两边积分两边积分, 得得e1 -1.00ty v即即e1 100 . 1ty代入初速度代入初速度, 得得（2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？此球体在停止运动前经历的路程有多长？0 . 1dtda/16例例3 有有 一个球体在某液体中竖直下落，其初速度为一个球体在某液体中竖直下落

9、，其初速度为 , 它的加速度它的加速度 为为 , 式中式中 的单位为的单位为ms-2. 问问:（1）经过多少时间后可以认经过多少时间后可以认 为小球已停止运动为小球已停止运动;ja0 . 1j100a上海师范大学上海师范大学90/my/st10-1/m s v0v0/st 2.3 4.6 6.9 9.2 8.9974 9.8995 9.9899 9.9990 v0/10v/st/my0/100v0/1000v0/10000vt0 . 10e vve1 100 . 1ty1.1 (i) 根据述计算结果根据述计算结果, 可以认为经过可以认为经过9.2秒钟后小球已停止秒钟后小球已停止.(ii) 小球

10、停止前小球停止前, 下落了约下落了约 10米的距离米的距离./16上海师范大学上海师范大学10作为运动学的一个实际例子作为运动学的一个实际例子, 下面分析斜抛运动下面分析斜抛运动. 书上例书上例 4 的的扩充扩充.从地面上某点以一定初速度向空中抛出一物体从地面上某点以一定初速度向空中抛出一物体,它在空中的运动就称它在空中的运动就称抛体运动抛体运动.注意注意: 物体被抛出后物体被抛出后, 忽略风的作用忽略风的作用,它的运动轨道总是被限制在通过抛射点的它的运动轨道总是被限制在通过抛射点的由抛出速度方向和竖直方向所确定的平面内由抛出速度方向和竖直方向所确定的平面内, 因而因而抛体运动一般是二维运动抛

11、体运动一般是二维运动.不计空气阻力和风的作用等因素不计空气阻力和风的作用等因素.即即 t=0时时, x0=0, y0=0;则物体在运动过程的加速度是恒定的则物体在运动过程的加速度是恒定的.如图所示如图所示, t=0 时刻物体以初速度时刻物体以初速度 Vo ,抛抛射角射角 从坐标原点抛出从坐标原点抛出.sin;cos0000yx即即 ax=0, ay= -g 或或j ga1. 在直角坐标系下在直角坐标系下,任意一任意一 t 时刻物体的速度函数和位置函数时刻物体的速度函数和位置函数;根据上述条件讨论如下几个问题根据上述条件讨论如下几个问题:2. 物体从抛出到回落到与抛出点等高度所用的时间物体从抛出

12、到回落到与抛出点等高度所用的时间 T;3.飞行中的最大高度飞行中的最大高度 Ymax 为为;4.飞行的射程飞行的射程 X; 5.飞行的轨迹方程飞行的轨迹方程 xyo0g1.1 /16上海师范大学上海师范大学112. 物体从抛出到回落到与抛出点等高度所用的时间物体从抛出到回落到与抛出点等高度所用的时间 T;1. 运动函数和速度函数运动函数和速度函数20021tatyyyyv20021tatxxxxv由运动方程由运动方程的分量式的分量式和初位矢和初位矢 x0=0, y0=0物体落地时物体落地时, y=0; 由由(6)式得式得,得得速度函数速度函数为为gtyxsincos00(5)20021sinc

13、osgttytx得得运动函数运动函数为为(6)0)21sin(021sin020gttgtt解得解得, t1=0(物体抛出前物体抛出前); gTtsin202由速度分量式由速度分量式tayyy0vvtaxxx0vvsincos0000yx和初速度和初速度xyo0g1.1 /16上海师范大学上海师范大学123.飞行中的最大高度飞行中的最大高度 Ymax 4.飞行的射程飞行的射程X5.飞行的轨迹方程飞行的轨迹方程物体在最高点时物体在最高点时Vy=0 ; gtHsin0由由0sin0gty得得2021singtty将将tH代入代入ggggHY2sin)sin(21sinsin2022000max得得

14、, txcos0将将T代入代入 得得ggXcossin2sin2cos2000g2sin20由上式可见由上式可见, 当初速度大小一定时当初速度大小一定时, 抛射角为抛射角为450时时, 射程达到最大值射程达到最大值.20021sincosgttytx由由运动函数运动函数消去参数消去参数t, 得得轨迹方程轨迹方程为为22022000cos2)cos(21cossingxxtgxgxyHy0yxo0上述结果是在忽略空气阻力等因素的条件得到上述结果是在忽略空气阻力等因素的条件得到.考虑空气阻力后考虑空气阻力后, 射程和高度比上面的射程和高度比上面的计算结果小计算结果小, 轨迹方程也不是对称的曲线轨迹

15、方程也不是对称的曲线.1.1 /16上海师范大学上海师范大学13)(tr)(ta( ) tv质点运动学的核心小结质点运动学的核心小结4. 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的速度和加速度由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的速度和加速度.3. 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程可求质点速度及其运动方程 .1.1 1. 位矢、位移、速度、加速度是描述质点运动状态的物理量位矢、位移、速度、加速度是描述质点运动状态的物理量.5. 运动函数、速度、加速度之间的关系运动函数、速度、加速度之间的关系:求导求导dtrd求导求导dtd

16、a积分积分dta积分积分dtr/162. 运动函数运动函数 反映物体运动的规律反映物体运动的规律, 是运动学的核心是运动学的核心.)(tr上海师范大学上海师范大学141.2 /16一、平面极坐标和自然坐标系一、平面极坐标和自然坐标系 xyo以以 为坐标的参考系称为为坐标的参考系称为平面平面极极坐标系坐标系 .),(r极坐标系和直角坐标之间的变换关系为极坐标系和直角坐标之间的变换关系为圆周运动是一种特殊的曲线运动圆周运动是一种特殊的曲线运动. 对于圆周运动对于圆周运动, 在极坐标系和自然坐标下描述更简单在极坐标系和自然坐标下描述更简单.A(x,y) 设一质点在设一质点在Oxy平面内运动，某时刻它

17、位于点平面内运动，某时刻它位于点 A . A点的位置可以用位矢点的位置可以用位矢 表示表示.j yi xr也可用位矢的大小也可用位矢的大小 r和位矢与和位矢与 x 轴之间的夹角为轴之间的夹角为 表示表示. 即质点在点即质点在点 A 的位置可由的位置可由A(r, ) 来确定来确定.rxysin,cosryrx(1)2. 2. 自然坐标系自然坐标系A(x,y)切线切线法线法线tene质点作曲线运动时质点作曲线运动时, 任意一点处以切线和法线为任意一点处以切线和法线为坐标轴构成的坐标系称为自然坐标系坐标轴构成的坐标系称为自然坐标系.如图所示如图所示, 和和 是是切线方向切线方向和和法线方向法线方向的

18、的单位矢量单位矢量.tene1. 1. 平面极坐标系平面极坐标系上海师范大学上海师范大学15二、圆周运动的角速度和角加速度二、圆周运动的角速度和角加速度xyor1.2 如图所示如图所示, 质点在平面上作半径为质点在平面上作半径为r的圆周运动的圆周运动.AB在某一在某一t时刻时刻, 质点在质点在A位置位置, 其坐标为其坐标为A(r, ).显然显然, 当质点在圆周上运动时当质点在圆周上运动时, 角角 将随时间变化将随时间变化.因此因此, 角角 是时间的函数是时间的函数 (t). (t) 称为称为角坐标角坐标. 质点运动的快慢怎么表示质点运动的快慢怎么表示 ?因半径因半径 r 不变不变, 因此如果角坐标随时间变化越快因此如果角坐标随时间变化越快, 则质点运动越快则质点运动越快.为了描述角坐标为了描述角坐标 (t)随时间变化的快慢随时间变化的快慢, 引入引入角速度角速度.2. 角速度角速度tttd)(d)(即角速度即角速度(2)角坐标角坐标 (t)随时间的变化率随时间的变化率, 即即 d /dt 叫做