多自由度动力学基础

1、115-4 15-4 两个自由度体系的自由振动两个自由度体系的自由振动一、刚度法一、刚度法 （1 1）两个自由度体系）两个自由度体系m1m2y1(t)y2(t)m1m211ym 22ym K2K1K2K1y1(t)y2(t)121k11k112k22k0111 Kym 0222 Kym 2121111ykykK2221212ykykK0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 两自由度体系自由振动微分方程两自由度体系自由振动微分方程20)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 设解为设解

2、为)sin()()sin()(2211tYtytYty2121)()(YYtyty= =常数常数0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk当然当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令为其解，为了求得不全为零的解，令0)()(222221121211mkkkmkD特征方程特征方程频率方程频率方程0)(211222221211kkmkmk1 1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；2 2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其

3、比值始终保持不变。但其比值始终保持不变。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。30)(211222221211kkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk（1 1）主振型）主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYY（2 2）按主振型振动的条件：）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应；初位移或初速度与此振型相对应；m1m2Y21Y11Y12Y220)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk最小圆频率称为

4、第一最小圆频率称为第一(基本基本)圆频率：圆频率：12第二圆频率第二圆频率由此可见：由此可见： 多自由度体系如果按某个主振型自由振动多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持，其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际上是像不变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动一个单自由度体系在振动。实际上，多自由度体系在零时刻的实际上，多自由度体系在零时刻的y0或或vo通常不能完全与某一振型相对应。通常不能完全与某一振型相对应。4例例7：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和和 k2 ，试求刚架水平振动时的自振动频率和

5、主振型。，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。m1m2k1k2解：（解：（1 1）求频率方程中的刚度系数）求频率方程中的刚度系数1221kk2111kkk1212kk222kkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（3 3）一般振动）一般振动)sin()sin()()sin()sin()(2222211212222122111111tYAtYAtytYAtYAty两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动多自由度体多自由度体系自由振动系自由振动的振型分解的振型分解5mkmk61803. 238197. 02221mkm

6、k61803. 161803. 021（3 3）求主振型）求主振型618. 1138197. 02:121111221111kkkmkkYY618. 0161803. 22:22122kkkYY1.6181.01.00.618第第1振型振型第第2振型振型（2 2）求频率）求频率0)(222221221kmkmkk0)(211222221211kkmkmkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式代公式若有若有kkkmmm2121622222114)12(21mknnn（3 3）求主振型）求主振型221221211211:mkkYY（2 2）求频率）求频率0)(222221221

7、kmkmkk若有若有2121knknmm0)() 1(22222222kmknmkn4121n222221212222:mkkYY4121n若若 n=90 则第一振型和第二振型分别为：则第一振型和第二振型分别为：11019可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。 建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为大反应的现象，称为鞭梢效应鞭梢效应。如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。如：屋顶消防水池、上人屋面

8、设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。7二、二、 柔度法柔度法m1m2y1(t)y2(t)22ym 11ym 122211111)()()(tymtymty 222221112)()()(tymtymty 设解为设解为)sin()()sin()(2211tYtytYty此时惯性力此时惯性力)sin()()sin()(2222212111tYmtymtYmtym 幅值幅值222112YmYm12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY在自由振动过程中任意时刻在自由振动过程中任意时刻t，质量，质量m1、m2的位移的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时应当

9、等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。惯性力作用下的静力位移。主振型的位移幅值等于主主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。生的静力位移。8m1m2Y1Y2222Ym112Ym0)1(0)1(222221121221212111YmYmYmYm 当然解当然解 Y1=Y2=0，为了求得不全为了求得不全为零的解，令为零的解，令01122221212122111mmmmD令210)()(2121122122112221112mmmmmm2121122211222211122211121)(4)()(21mmmmmm221111主振型主振型22111212221

10、221111212211111mmYYmmYY12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY90.5a例例9. 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。已知。12aaamm解：（解：（1 1）计算频率）计算频率1a1M12MEIaEIaEIa6,4,322321123113231203. 3967. 0maEImaEI（2 2）振型）振型61. 31277. 0122122111YYYY10.27713.61第一振型第一振型第二振型第二振型10三、主振型及主振型的正交性 m1m211121Ym11221YmY11Y2112

11、122Ym22222Ym由功的互等定理：由功的互等定理：整理得：整理得：m1m2Y12Y222122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm0)(22212121112221YYmYYm21因因 ，则存在：，则存在：)51.15(02221212111YYmYYm两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。11由功的互等定理：由功的互等定理：2122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm)51.15(02221212111YYmYYm上式

12、分别乘以上式分别乘以12、22，则得：，则得：0)()(0)()(2122222111222122212121211211YYmYYmYYmYYm第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；各个主振型能单独存在，而不相互干扰。各个主振型能单独存

13、在，而不相互干扰。120)(211222221211kkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk（1 1）主振型）主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYYm1m2Y21Y11Y12Y22最小圆频率称为第一最小圆频率称为第一(基本基本)圆频率：圆频率：12第二圆频率第二圆频率0)()(222221121211mkkkmkD特征方程特征方程频率方程频率方程15-4 15-4 两自由度体系的自由振动两自由度体系的自由振动一、刚度法一、刚度法1301122221212122111mmmmD令21212112221

14、1222211122211121)(4)()(21mmmmmm221111主振型主振型22111212221221111212211111mmYYmmYY二、柔度法二、柔度法0)()(2121122122112221112mmmmmm14三、主振型及主振型的正交性 m1m211121Ym21221YmY11Y2112122Ym22222Ym由功的互等定理：由功的互等定理：整理得：整理得：m1m2Y12Y222122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm0)(22212121112221YYmYYm21因因 ，则存在：，则存在：)51.15(02

15、221212111YYmYYm两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型15由功的互等定理：由功的互等定理：2122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm)51.15(02221212111YYmYYm上式分别乘以上式分别乘以12、22，则得：，则得：0)()(0)()(2122222111222122212121211211YYmYYmYYmYYm第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于

16、零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；各个主振型能单独存在，而不相互干扰。各个主振型能单独存在，而不相互干扰。1615-5 15-5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)tPtPtPtPsin)(sin)(2211如在平稳阶段，各质点也作简谐振动：在平稳阶段

17、，各质点也作简谐振动：tYtytYtysin)(sin)(2211222222121121211211)()(PYmkYkPYkYmk0222221121211mkkkmkDY1=D1/D0Y2=D2/D02222211212110mkkkmkD212222211PkmkPD如果荷载频率如果荷载频率与任一个自振频率与任一个自振频率1、 2重合，则重合，则D0=0, 当当D1、D2不全为零时，则出现共振现象不全为零时，则出现共振现象121121122PkmkPD002221212221211111ykykymykykym.)()(21tPtP172222211212110mkkkmkD21222

18、2211PkmkPD121121122PkmkPDm2m1k2k1例：质量集中在楼层上例：质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为，层间侧移刚度为k1、k2解：荷载幅值：解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数：，求刚度系数：k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2当当m1=m2=m，k1=k2=ktPsin021222221011DPkmkPDDY0222)(DmkP012112112022)(DPkmkPDDY02DPk2222212210kmkmkkD021222221011DPkmkPDDY021222221DPkmkP02DmkP01211211

19、2022DPkmkPDDY0DPk22202kmkmkD22222122213mkmk22423kkmm)3(22242mkmkm)(22212222142m)(2222122m)1)(1 (22221222212m)1)(1 (222212222mkm)1)(1 (122221221kmkPY)1)(1 (12222122kPY18121)1)(1 (1222212kmkPY22)1)(1 (1222212kPY3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY1mk3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY2mk两个质点的位移动力

20、系数不同。当当2121,618. 1618. 0YYmkmk和时和 趋于无穷大。趋于无穷大。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。也有例外情况也有例外情况19l/3l/3l/3mmPsintPsint如图示对称结构在对称荷载作用下。如图示对称结构在对称荷载作用下。21122211,kkkk与与2 2相应的振型是相应的振型是12k2211mk2212YY=1211222112222kkmkmk当当=2 ，D0=0 ，也有：，也有：212222211PkmkPD121121122PkmkPD0122222PkmkP0212211Pkmk

21、P022011,DDYDDY不会趋于无穷大，不发生共振，不会趋于无穷大，不发生共振，共振区只有一个。共振区只有一个。 对称体系在对称荷载作用下时，对称体系在对称荷载作用下时， 只有当荷载频率与对称主振型的自只有当荷载频率与对称主振型的自 振频率相等时才发生共振；当荷载振频率相等时才发生共振；当荷载 频率与反对称主振型的自振频率相频率与反对称主振型的自振频率相 等时不会发生共振。同理可知：对等时不会发生共振。同理可知：对 称体系在反对称荷载作用下时，只称体系在反对称荷载作用下时，只 有当荷载频率与反对称主振型的自有当荷载频率与反对称主振型的自 振频率相等时才发生共振。振频率相等时才发生共振。 2

22、0kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力荷载幅值产生的静位移和静内力yst1= yst2=P/k层间剪力层间剪力: : Qst1= P 动荷载产生的位移幅值和内力幅值动荷载产生的位移幅值和内力幅值2mY22mY1)(1 ()(2122121kmPYYmPQ121)1)(1 (1222212kmkPY22)1)(1 (1222212kPY)(12121kmQ由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。层间动剪力层间动剪力: :21例例15-9：m2m1k2k1质量集中在楼层上质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度

23、为层间侧移刚度为k1、k2k11=k1+k2 , k21=k2 , k22=k2 , k12=k2tPsin02221DmkPY022DPkY 2222212210)(kmkmkkD222201222,0,kPYkDYmk当m1k1tPsinm2k2这说明在右图结构上，这说明在右图结构上， 适当加以适当加以m2、k2系统系统可以消除可以消除m1的振动（的振动（动力吸振器动力吸振器原理）。原理）。 吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。设计吸振器时，先根据设计吸振器时，先根据m2的许可振幅的许可振幅Y2

24、，选定，选定22YPk ，再确定，再确定222km 22例：如图示梁中点放一电动机。重例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生，电动机使梁中点产生的静位移为的静位移为1cm，转速为，转速为300r/min，产生的动荷载幅值，产生的动荷载幅值P=1kN，问：问：1）应加动力吸振器吗？）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。）设计吸振器。(许可位移为许可位移为1cm)Psint解：解：1 1）sstg13 .3101. 081. 9sn14 .31603002602频率比在共振区之内应设置吸振器。频率比在共振区之内应设置吸振器。2 2）由）由k2m222YPk 弹簧刚度系数为：弹簧

25、刚度系数为：5210101. 01000kN/m252224 .31101km=102 kg23lldxxYxmtdxvxmT022202)()()(cos21)(2115-9 15-9 近似法求自振频率近似法求自振频率1 1、能量法求第一频率、能量法求第一频率Rayleigh法法 根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能能T 和应变能和应变能U 之和应等于常数。之和应等于常数。 根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最

26、大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得：定律得： Umax=Tmax 求求Umax ，Tmax lldxxYEItdxxyEIU0220222)()(sin2121求频率求频率 如梁上还有集中质量如梁上还有集中质量mi，位移幅值位移幅值)cos()()sin()(),(txYyvtxYtxy设：.ldxxYxmT022max)()(21 ldxxYEIU0

27、2max)(21 liilYmdxxYmdxxYEI022022)()(Yi为集中质量为集中质量mi处的位移幅值。处的位移幅值。24假设位移幅值函数假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：必须注意以下几点：1、必须满足运动边界条件：、必须满足运动边界条件： （铰支端：（铰支端：Y=0；固定端：；固定端：Y=0，Y =0） 尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振主振型相似，则可求的型相似，则可求的n的准确解

28、。但主振型通常是未知的，只能假定一近的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故高频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求法主要用于求1的近似解。的近似解。3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。式。曲率小，拐点少。4、通常可取结构在某个静荷载、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为）（如自重）作用下的弹性曲线作为Y（x

29、）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，）所作的功来代替，即即ldxxYxqU0)()(2120202)()()(iillYmdxxYmdxxYxq25 lldxxYmdxxYEI02022)()(2）假设均布荷载）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为作用下的挠度曲线作为Y(x)2(24)(323xlxlxEIqxY963031224520202120)()(lmEIlqdxxYmdxxqYEIqllmEIl287. 9例例12 试求等截面简支梁的第一频率。试求等截面简支梁的第一频率。 1）假设位移形状函数为抛物线）假设位移形状函数为抛

30、物线)()(xlxxYlmEIyx满足边界条件且与满足边界条件且与第一振型相近第一振型相近60/252lmEIl42120lmEImEIl295.103）假设）假设lxaxYsin)(442222324lmEIlamlEIa第一振型的精确解。第一振型的精确解。精精确确解解mEIl28696. 926xh0l例例13 求楔形悬臂梁的自振频率。求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为设梁截面宽度为 1，高度为，高度为 h=h0 x/l。解：解：单位长度的质量：单位长度的质量：设位移形状函数：设位移形状函数：2)1 ()(lxaxY满足边界条件：满足边界条件：0)(, 0)(lYlY lldxxYm

31、dxxYEI02022)()(ElhlEh204202581. 1,25 Rayleigh 法所得法所得频率的近似解总是比精确解偏高频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小

32、。30121lxhIlxhm0截面惯性矩：截面惯性矩：相比误差为相比误差为3%与精确解与精确解Elh20534. 127 1、假设多个近似振型、假设多个近似振型n 21,都满足前述两个条件。都满足前述两个条件。2、将它们进行线性组合、将它们进行线性组合（a1、a2、an是待定常数）是待定常数）nnaaaxY2211)( 3、确定待定常数的准则是：、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合获得最佳的线性组合，这样的，这样的Y（x）代入频）代入频率计算公式中得到的率计算公式中得到的2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，an的的可能组合，确实获得了最小的可能

33、组合，确实获得了最小的2值。值。所选的所选的a1，a2，an使使2 获得最小值的条件是获得最小值的条件是), 2 , 1(, 02niai 这是以这是以a1，a2，an为未知量的为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式个奇次线性代数方程。令其系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往阶频率来。阶次越低往往越准。越准。 为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附加的约束，加的约束， Ritz 提出了改进方法：提出了改进方法：

34、28 lldxxYmdxxYEI02022)()( niiinnaaaaxY12211)( niiiaxY1)(, 02ia0)()()()(02020202 lilllidxxYmadxxYmdxxYEIdxxYEIa20)()()()(02020202 lilllidxxYmadxxYEIdxxYmdxxYEIa00112011 ljininjjiiljininjjiidxmaaadxEIaaa.,00)(), 2 , 1(0)(222212221njijijnjmkamkniamk 可求出特征方程：或写成矩阵形式：22220)(022lidxxYma011211ijninjjiiijni

35、njjiimaaakaaa0121ijnjjijnjjmaka29例例14 用用RayleighRitz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。法求等截面悬臂梁的最初几个频率。xlEIm解：悬臂梁的位移边界条件为：解：悬臂梁的位移边界条件为：（在左端）（在左端）Y=0Y=032212211xaxaaaY设：f只取第一项只取第一项2121 x代入：代入： ljiijljiijdxmmdxEIk00,5,451111lmmEIlk代入频代入频率方程：率方程：02mkmEIllmEIlmEIl2142521472. 4,20054其精确解：其精确解：mEIl21516. 3与精确解相比，误差为与精确解相比，误差为27%。30例例14 用用RayleighRitz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。法求等截面悬臂梁的最初几个频率。xlEIm解：解：32212211xaxaaaYf取两