同济高数空间解析

1、$8空间直线及其方程2xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程 (General equation of space line)$8空间直线及其方程3xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(z

2、yxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程(The symmetric equation and parametric equation of space lines)$8空间直线及其方程4pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程$8空间直线及其方程5注：当注：当m=0,n、p不为零时，直线的对称式方程不为零

3、时，直线的对称式方程 应理解为应理解为 pzznyyxx0000当当m=n=0,p不为零时，直线的对称式方程不为零时，直线的对称式方程 应理解为应理解为 0000yyxx$8空间直线及其方程6例例 Example 1Example 1 (P426) 用对称式方程及参数方用对称式方程及参数方 程表示直线程表示直线.043201 zyxzyx解解 solution 在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( $8空间直线及其方程7因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都

4、垂直取取21nns ,3, 1, 4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx11121 3ijk $8空间直线及其方程8例例 E Ex xa am mp pl le e 2 2( (补补充充) ) 一一直直线线过过)4 , 3, 2( A，且且和和y轴轴垂垂直直相相交交，求求其其方方程程. 解解 solution因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx$8空间直线及其方程9例例 Example 3(Example 3(补充）补

5、充） 求过点求过点P(1,-2,4)P(1,-2,4)且与且与y y轴平轴平 行的直线方程行的直线方程 解解 solution 取方向向量取方向向量 0 , 1 , 0 js所求直线方程为：所求直线方程为：041201 zyx 0401zx即即$8空间直线及其方程10例例 Example 4 (P429)Example 4 (P429)求过点求过点(-3,2,5)(-3,2,5)且与两平面且与两平面x-4z=3x-4z=3和和 2x-y-5z=12x-y-5z=1的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程. . 解解1 设所求直线方向向量设所求直线方向向量 pnms, 垂直垂直与两已知平面的法向

6、量与两已知平面的法向量则则s 05204pnmpm解得解得 m=4p, n=3ppzpypx53243 所求直线方程为：所求直线方程为：153243 zyx即即$8空间直线及其方程11解解2 两已知平面法向量为两已知平面法向量为: 5, 1, 2,4, 0 , 121 nn例例 Example 4 (P429)Example 4 (P429)求过点求过点(-3,2,5)(-3,2,5)且与两平面且与两平面x-4z=3x-4z=3和和 2x-y-5z=12x-y-5z=1的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程. . 21,nLnL 所求直线所求直线2121543104Lijksnnijk 取

7、的方向向量取 的方向向量153243 zyx所求直线为：所求直线为：$8空间直线及其方程12例例 Example 5 (P432Example 5 (P432习题习题7-87-8，8)8) 的平面方程。的平面方程。且通过直线且通过直线求过点求过点12354:)2, 1 , 3(zyxLA 解解 M(4,-3,0)为已知直线为已知直线L上一点，上一点， 1 , 2 , 5 s记记 2 , 4, 1, AMnsn且且所所求求平平面面的的法法向向量量521892214 2ijknsAMijk 取取所求平面为：所求平面为：8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0即即 8x-9y-22z-59=0

8、$8空间直线及其方程13定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角(Angle between two lines)$8空间直线及其方程14两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0, 4, 11 s,

9、1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即$8空间直线及其方程15例例 E Ex xa am mp pl le e 6 6 (P429) 求求过过点点)3 , 1 , 2(M且且与与直直线线12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直线线方方程程. 解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx$8空间直线及其方程1673 t交点交点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向

10、向量为MNMN373, 1713, 272 12 624,2, 1,4777 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx代入平面方程代入平面方程 0) 3() 1( 2) 2( 3 zyx3121.xtytzt 得得 3(3t-3)+2(2t)-(-t-3)=0$8空间直线及其方程17定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 (Angle between a line

11、 and a plane) 0.2 $8空间直线及其方程18-直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm sin)2cos(),cos( ns sin)2cos(),cos( ns或或 222222|),cos(sinpnmCBACpBnAmns $8空间直线及其方程19解解 solution,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角$8空间直线及其方程20平面束平面束:设直

12、线设直线L由方程组由方程组 1111222200Ax By Cz DAx B y C z D (11)(12)111222,.:A B CA B C所确定 其中与不成比例建立方程所确定 其中与不成比例建立方程11112222()0Ax B y C zD A x B y C zD （13）其其中中 为为任任常常数数。11122212121212,)()()()0, ,A B CA B CAA xBByCCzDDx y z与不成比例与不成比例（中的系数不全为零。中的系数不全为零。13 （ ）表表示示一一个个平平面面$8空间直线及其方程21若点若点M在在L上，则点上，则点M的坐标必满足（的坐标必满足

13、（11）（）（12）所以也满足（所以也满足（13），故（），故（13）是过）是过L的平面。的平面。反之，过反之，过L的任何平面（除（的任何平面（除（12）外）外）,都包含在都包含在（13）所表示的一族平面内。）所表示的一族平面内。通过定直线的所有平面的全体称为通过定直线的所有平面的全体称为平面束。平面束。（13）是过）是过L的平面束方程（缺（的平面束方程（缺（12）对不同的对不同的 值，（值，（13）表示过）表示过L的不同平面。的不同平面。11112222()0Ax B y C zD A x B y C zD （13）$8空间直线及其方程22例例 Example 8 (P430) 10100

14、xyzxyzxyz求直线求直线在平面上的投影直线的方程。在平面上的投影直线的方程。解解1 过已知直线的平面束方程为：过已知直线的平面束方程为：1)(1)0(1)(1)( 1)( 1)0 xyz xyz x y z （即即（14）（其其中中 为为待待定定常常数数）这平面（这平面（14）与已知平面垂直的条件是：）与已知平面垂直的条件是：111111010114) （）（）（）（）（）（）即，代入(得投影平面方程：即，代入(得投影平面方程：$8空间直线及其方程232y-2z-2=0 即即y-z-1=0 100yzxyz投影直线方程为：投影直线方程为：l111 ，n1n解解2 已知直线的方向向量为：已

15、知直线的方向向量为：11122111ijkljk 过直线且与平面过直线且与平面x+y+z=0垂直的平面的法向量可取为垂直的平面的法向量可取为102222111ijknlnjk $8空间直线及其方程24在在L上任取一点上任取一点A(0,1,0)所以过所以过L且垂直于已知平面且垂直于已知平面x+y+z=0的平面方程为：的平面方程为：-2(y-1)+2z=0 即即 y-z-1=0 0100 xyzyzxyz已知直线在已知平面内的已知直线在已知平面内的投影直线方程为：投影直线方程为： 10:10 xyzLxyz $8空间直线及其方程25空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方

16、程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）五、小结五、小结 (Brief summary)$8空间直线及其方程26思考题思考题 (Consideration) 在在直直线线方方程程pznymx 6224中中，m、n、p各各怎怎样样取取值值时时，直直线线与与坐坐标标面面xoy、yoz都都平平行行.$8空间直线及其方程27思考题解答思考题解答 (Solution to the consideration ),6,2pnms 且有且有. 0 s,

17、 0 ks, 0 is 0206mp, 0, 6 mp, 0 s, 0 n故当故当 时结论成立时结论成立, 0 m6 p, 0 n$8空间直线及其方程28一一、 填填空空题题：1 1、 通通过过点点)3,1,4( 且且平平行行于于直直线线5123 zyx的的直直线线方方程程为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 直直线线 012309335zyxzyx与与直直线线 0188302322zyxzyx的的夹夹角角的的余余弦弦为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 直直线线 003zyxzyx和和平平面面01 zyx在在平平面面012 zyx上上的

18、的夹夹角角为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、点点)0,2,1( 在在平平面面012 zyx上上的的投投影影为为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题题 (Exercises)$8空间直线及其方程295 5、 直直线线723zyx 和和平平面面8723 zyx的的关关系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 直直线线431232 zyx和和平平面面3 zyx的的关关系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 用用 对对 称称 式式 方方 程程 及及 参参 数数 方方 程程 表表 示示 直直 线线L： 421zyxzyx . .三三、 求求过过点点)2,1,3( 且且通通过过直直线线12354zyx 的的平平面面方方程程 . .$8空间直线及其方程30四、四、 求直线求直线 0923042zyxzyx在平面在平面14 zyx上上的投影直线的方程的投影直线的方程 . .五、五、 求与已知直线求与已知直线1L：13523zyx 及及2L： 147510zyx 都相交且和都相交且和3L： 137182 zyx平行的直线平行的直