数值仿真技术4-2015

1、数值模拟与仿真技术基础能量方法及其有限元第四章工学硕士1、能量法的基本概念: 虚功原理：线性、非线性，静或动力问题 最小势能(位能)原理：弹性小变形静力问题2、简单问题的能量法(一维) 最小势能原理-弹簧 -杆件 -梁的问题3、弹性力学问题： 虚功原理(虚位移原理、虚应力原理、最小势能原理)，二维，三维问题最小势能原理：一个物体可能出现的所有变形状态中，与满足该物体稳定平衡相应的真实形状由势能的最小值确定。总势能一般定义为内部应变势能和外力势能的和。应变能是内力（或应力）通过结构变形（应变）做功的能力；外力势能是体积力、表面力、外加节点力通过结构变形做功的能力。最小势能原理：WUA为外力势能为

2、弹性体内部应变能；其中：WU弹簧问题线性弹簧的力与变形关系：F=kx,弹簧长度变化产生的变形能为：dU=Fdx=kxdx,所以得到： 外力所作的功一般降低势能，因此：所以，弹簧的总势能为：平衡状态下，势能最小。对A变分，可以得到：即： F=kx,反映了弹簧的平衡状态。FxkxU21212FxWFxkxWUA2210)21(2FkxFxkxWUA典型弹簧单元对于图中所示典型弹簧单元，可以得到单元的总势能： nkknjijinjjinijinjijjnniijinjnjiniijnAAnFFxxFxxkFxxkFxxkxAFxxkxAxFxFxxkA1)()()()()()()()()()(2)(

3、111100)(21个单元的系统，有：对于有写成矩阵格式，得到：根据最小势能要求，有其中，i,j分别为典型单元的节点编号，n为单元编号。利用最小势能原理解题(不讲自己看)如图k=1000kN/m;P=5000kN.利用单元势能函数，建立系统势能（泛函），得到：泛函极值：4)3(43)3(32343)2(32)2(22232)1(21)1(121231)(32122121xFxFxxkxFxFxxkxFxFxxkAAkk020)2(223) 1 (2122) 1 (1121FxxkFxxkxAFxxkxA03032) 3(4344) 3(334) 2(3233FxxkxAFxxkFxxkxA表达

4、成矩阵并进行约束处理：4321)3(4)3(3)2(3)2(2)1(2)1(143210003300352002310011PPPPPFFFFFFxxxxk32115321111203115201052233232kPPPkxxPxxk911021110011311203300352002310011432141PPPPPPPPP符号规定：正面正向为正；负面负向为正。应力向量：弹性力学基本方程:矩阵形式弹性体的全部边界S，分成力边界S s和位移边界S u，已知边界力为 边界位移为zyxTTT,wvu,弹性力学的基本方程:张量形式ij,ji；对称；kl,lk；对称；ij,kl,对称弹性力学问题参

5、数的矩阵表达虚功原理叙述如下：满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零。即。虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称，它们都可以被看成是某些控制微分方程的等效积分弱形式。udvdnvudvu最小位能原理弹性力学平面问题_能量法有限元1、单元位移模式以及插值函数典型的三节点三角形单元局部编号为i,j,m,逆时针为正向,对于弹性力学的平面问题,每个节点应当有两个自由度,即ui,vi,因此,每个单元的三个节点共有6个自由度,假定单元自由度的排列（按节点顺序排列）为:根据前面有关三角形单元的插值函数分析,可以假定单元为线性位移模式插值函数或形函数插值函数或形函数的性质:1、节点上有：2

6、、单元中任一点上各插值函数之和为1 反映了单元的刚体位移3、单元内部任一点的位移由节点位移唯一确定，公共边界上位 移是连续的2、应变矩阵和应力矩阵在几何方程中代入位移插值函数，有：21000101100020ED3、最小势能原理的有限元格式假设插值函数为:包括体积力、面积力以及节点集中外力对于三节点的三角形单元,有:4、单元刚度矩阵与单元平衡方程单元厚度单元面积单元平衡方程:根据方程的载荷项根据方程的载荷项,可以计算几种常见的载荷可以计算几种常见的载荷.5、单元等效节点载荷列阵自重引起的节点力为单元重力的3分之1,注意是重度不是密度.622161S的坐标原点在i节点提示在提示在进行有进行有侧压

7、的侧压的单元局单元局部编号部编号定义时定义时必须令必须令ij边承边承受侧压受侧压总力分摊到ij两个节点总力的三分一总力的三分二总力总力6、应用举例1：现有承受平面应力的等腰直角三角形板(边长a)受载如图所示,计算应力和变形.1)、根据编号和坐标得到基本数据: xi=a,xj=0,xm=0;yi=0,yj=a,ym=0面积:2A=aa得到:bi=a,ci=0;bj=0,cj=a;bm=-a,cm=-a2)、计算应力矩阵 2121021210110010011:2aEBDS得到3)、计算刚度矩阵 2321121212123212111100212102121021210212101001122Et

8、kkkkkkkkkKmmmjmijmjjjiimijii4)、平衡方程以及约束处理PPPPPPPPPPPvuEtPEtvuPvuEtPPPPPvuEtmymxjyjxmymxjyjxiiiiiimymxjyjxii0:,21211021012012:,02100112000002321121212123212111100212102121021210212101001122222解得解得 01201100000212102121011001001122ssstaPaEuuaESiixyyx5)、应力分量uiP0PPtaPx2staPy2staPs1taPns1注意:这里得到单元应力工程实例2:内压厚壁圆筒工程实例3:薄板开孔应力集中作业本章小结：1、能量方法被认为是最不受限制的导出有限元格式的方法，因此，使用的范围最广，几乎所有的学科都可以应用；2、能量方法一般以问题的能量泛函为基础，而不