第2章静电场 (2)

1、第二章 静电场 第二章 静 电 场 静电场： 相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。 电荷与观察者相对静止电量不随时间而变化电荷与观察者相对静止电量不随时间而变化 本章任务： 阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解 电场的各种计算方法，或者反之。 静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一 定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。+一一 静电感应静电感应 静电平衡条件静电平衡条件感应电荷感应电荷 静电场中的导体静电场中的导体00EEE0E+E0E0E导体内电场强度导体内电场强度外电场强度外电场强度感应电荷电场强度感应电荷电场强度+ +导体是等

2、势体导体是等势体nee静电平衡条件静电平衡条件（1 1）导体内部任何一点处的电场强度为零；）导体内部任何一点处的电场强度为零；（2 2）导体表面处的电场强度的方向）导体表面处的电场强度的方向, ,都与导体表面垂直都与导体表面垂直. .Eld 导体表面是等势面导体表面是等势面0d lEU 导体内部电势相等导体内部电势相等0d ABABlEUlEdAB屏蔽袋屏蔽线屏蔽服范德格拉夫发电机如何运作？范德格拉夫发电机如何运作？范德格拉夫发电机是由美国科学家范德格拉夫范德格拉夫发电机是由美国科学家范德格拉夫 (1901- 1967) (1901- 1967) 于于19311931年发明的。发电机以摩擦生电

3、的原理，不断产生大量电年发明的。发电机以摩擦生电的原理，不断产生大量电荷。荷。图为学校普遍使用的一种模型，內有一条橡皮带，由胶轮图为学校普遍使用的一种模型，內有一条橡皮带，由胶轮带带动动运转。当点电机借摩擦或高电压产生静电，运转的橡皮运转。当点电机借摩擦或高电压产生静电，运转的橡皮带带便会便会将电荷不断地传到球形金属罩的内表面。因为电荷之间互相排将电荷不断地传到球形金属罩的内表面。因为电荷之间互相排斥，所以电荷便移动到球形罩的外表面，形成大量电荷积聚在斥，所以电荷便移动到球形罩的外表面，形成大量电荷积聚在球形罩上。球形罩上。发电机有什么应用？发电机有什么应用？范德格拉夫发电机球形罩上的电荷能产

4、生超过一千万伏特的电压。在核物理实验中，如此高的电压可用來加速各种帶电粒子，如质子、电子等。此外，这种发电机也可用来演示很多有趣的静电现象，如使头发竖立起來、吸引发泡胶球、产生电火花、用电风使风车旋转等。透过这些现象，我们可以更了解静电的特质。 使头发竖立使头发竖立我们可以站在绝缘的椅子上，用手按着发电机的球形金属罩。由于人的身体也可导电，所以当发电机启动時，电荷便传到我们的身体上。而因为头发上的电荷互相排斥，头发便竖立起来。吸引发泡胶球吸引发泡胶球当发泡胶球移近发电机的球形罩时，发泡胶球中分子內的电荷分布将发生变化。在分子內，正负两极的电荷被轻微地分离，产生所谓极化的现象。此时球形罩上的电荷

5、与分子內相反的电荷产生微小的吸力，从而吸引整个发泡胶球。产生电火花产生电火花把接地的金属小球移近发电机的球形罩时，強大的电场使电荷由球形罩跃向金属小球，在空气中产生大量离子和电子。因为离子的能应比不带电的空气分子高，所以它们便自发地释放能量，产生火花。这是在空气中的放电现象，例如闪电就是电荷从一片云跃向另一片云或地面的放电现象。产生电风产生电风带带电导体的尖端区域具有较高的表面电荷密度，而电荷密度越高，所产生的电场越强。而强大的电场使尖端周围的空气分子电离，空气中与导体电荷相反的离子或电子被尖端吸引，而那些与导体电荷相同的离子或电子则被尖端排斥到远处，这现象称为尖端效应。离子子运动时拖动空气分

6、子，产生电风，可使扇叶转动。日常生活中的静电日常生活中的静电在日常生活中有很多静电的应用，像影印机、静电除尘器、静电喷漆。此外，认识静电使我们避免它可带來的危险，例如在运载易燃物品的车辆尾端系上接地铁链，把电荷传到地面，以免电火花引致火灾。同一道理，医院的手术室里，因为时常应用氧气和易燃的麻醉药物，所以地板通常是抗静电的，而所有机器亦需接地，以免火花引发爆炸。 2.1.1 库仑定律2.1 电场强度 21202121R4qqeFN( 牛顿)1221FF适用条件 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力; 无限大真空情况 (式中可推广到无限大各向同性均匀介质中1291085. 836100F/m)(

7、022102112R4qqeFN( 牛顿)图2.1.1 两点电荷间的作用力 库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明: 真空中两个静止的点电荷 与 之间的相互作用力:2q1q2.1.2 静电场基本物理量电场强度定义： t0qq)z,y,x()z,y,x(limtFEV/m (N/C) 电场强度（Electric Field Intensity ) E 表示单位正电荷在电场中所受到的力(F ), 它是空间坐标的矢量函数, 定义式给出了E 的大小、方向与单位。a) 点电荷产生的电场强度r20tpr4qq)(eFrEV/m4qq)(20tprrrrrrFrE304)(qrrrrR20R4qeV

8、/m图2.1.2 点电荷的电场 b) n个点电荷产生的电场强度 (注意:矢量叠加)c) 连续分布电荷产生的电场强度)(dq41)(30rrrrrrdEkN1k2kk0kkN1k2kk0Rq41q41)(errrrrrrEV/m体电荷分布dV)(dqrdq41)(V30rrrrrER v20Rdv)(41er面电荷分布R s20Rds)(41)(errE) (dsdqr线电荷分布Rl20Rdl)(41)(errE) (dldqr图2.1.3 体电荷的电场点电荷304q)(rrrrrE304q)(rrrrrE矢量恒等式FFFCCC)(1)(1333rrrrrrrrrrrr直接微分得0)(rr0)(

9、3)(133rrrrrrrrrr故0)r(E电场强度E 的旋度等于零2.2 静电场环路定律和高斯定律 1. 静电场旋度2.2.1 静电场环路定律 可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。表明 静电场是一个无旋场。即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即0E2 2. 静电场的环路定律 在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。 电场力作功与路径无关,静电场是保守场。无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。sld)(d0sElE由斯托克斯定理，得 ld0lE0E 二者等价。3 . 电位函数 E 在静电场中可通过求解电位函数(Potential)， 再利用上式可方便

10、地求得电场强度E 。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。2) 已知电荷分布，求电位：304q)(rrrrrECq41)r(N1iii0rr点电荷群Cdq41)r( v0rr连续分布电荷1) ) 电位的引出以点电荷为例推导电位：31rrrrrr)r(4q)(0rrrEC4q)r(0rr, 0E 根据矢量恒等式0dl,dS,dV:dq 3) E与 的微分关系E 在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：zyxzyxeeeE00E？ ( )0E 0？ ( )4) E与 的积分关系llEdd00pp0ppd)p()p(dlE

11、ddzzdyydxx设P0为参考点参考点pdplE)( 根据 E 与 的微分关系，试问静电场中的某一点图2.2.1 E与 的积分关系5) ) 电位参考点的选择原则 场中任意两点的电位差与参考点无关。 同一个物理问题，只能选取一个参考点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如：点电荷产生的电场：Cr4q000rC0rr4q00C表达式无意义0RrR4qr4q00R4qC0 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点； 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。6) 电力线与等位线（面） E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E E的方向一致，若 是电力线的长度元，E E

12、 矢量将与 方向一致，l dl d0dlE故电力线微分方程dzEdyEdxEzyx在直角坐标系中：微分方程的解即为电力线 E E 的方程。当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。 在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即C)z ,y,x(等位线(面)方程:例1.2.1 画出电偶极子的等位线和电力线 。)(dr 在球坐标系中：21120210prrrr4q)r1r1(4q20r20pr4r4cosqdep )sincos2(r4qr30peeEErdEdrr电力线微分方程（球坐标系）：2122221221)cosrd4dr(r)cosrd4dr(r，代入上式，得sinDr 解得线方程为

13、将 和代入上式，ErE等位线方程（球坐标系）：cosCr ，Crp204coscos2drr2用二项式展开，又有，得dr cos2drr1 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。p图1.2.2 电偶极子r1r2电力线与等位线（面）的性质： E线不能相交; E线起始于正电荷，终止于负电荷; E线愈密处，场强愈大; E线与等位线（面）正交；图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线图2.2.4 点电荷与接地导体的电场图2.2.5 点电荷与不接地导体的电场图2.2.6 均匀场中放进了介质球的电场图2.2.7 均匀场中放进了导体球的电场图2.2.8 点电荷位于一块介质上方的电场图2.2.9 点电荷位于一块

14、导平面上方的电场例例2.2.12.2.1 等量异号线电荷的几何轴相距为2b。求：周围的电位和场强E。解：解：1）线电荷）线电荷产生的电位产生的电位rrrrrrrrrrQPrrQP000000ln2d2dln2d2d00lElE y x P(x,y,z） （ b,o) (b,0)rr+式中r+和r分别为场点P到正、负电荷的距离，r0+和r0-分别为参考点到正、负线电荷的距离。 )rrrrrrrr000000lnln2)ln(ln2（参考点选在y轴r0+=r0-，简化为 rrln022222222)()kybxybxrr（由叠加原理可得整理可得222222)12()0()11(kbkybkkxa1

15、h1a2h2a2h2h3a3a4h4a4h4a3h3a2h2h1a1可见：可见： 的的等位面为一族偏心圆柱面等位面为一族偏心圆柱面圆柱面的几何轴线在y=0平面上，与z轴平行；值不同，k值将不同，几何轴位置h和半径a随之不同。xy等位面bb2222222222222222)11() 1() 1(4)12(hbkkkkbkbbkbkba即 222hba等位面与线电荷的相对位置具有如下关系 ：h1h1a1a1a2a2h2h2a3h3h3a3a4a4h4h4xybb 对上式等号两端取散度；对上式等号两端取散度； 利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，得利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，得2.2.2

16、 2.2.2 真空中的高斯定律真空中的高斯定律1. 1. 静电场的散度静电场的散度高斯定律的微分形式高斯定律的微分形式0) ()(rrE真空中高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式dV)(41)(V30rrrrrrE点电荷产生的电场点电荷产生的电场其物理意义表示为其物理意义表示为0E0E0E 高斯定律说明了高斯定律说明了静电场是一个有源场静电场是一个有源场，电荷就是场的散度（通量源），电，电荷就是场的散度（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。力线从正电荷发出，终止于负电荷。2. 2. 高斯定律的积分形式高斯定律的积分形式式中式中 n n 是闭合面包围的点电荷总数。是闭合面包围的点电

17、荷总数。 VV0dV1dVEn1ii0Sq1dSE散度定理散度定理图图2.2.11 2.2.11 闭合曲面的电通量闭合曲面的电通量 E的的通量仅与闭合面通量仅与闭合面S 所包围的净电荷所包围的净电荷有关。有关。图图2.2.12 2.2.12 闭合面外的电荷对场的影响闭合面外的电荷对场的影响 S面上的面上的E是由系统中是由系统中全部电荷产生的。全部电荷产生的。电场强度垂直于导体表面；电场强度垂直于导体表面； 导体是等位体，导体表面为等位面；导体是等位体，导体表面为等位面； 导体内电场强度导体内电场强度E为零，静电平衡；为零，静电平衡； 电荷分布在导体表面，且电荷分布在导体表面，且。0E 任何导体

18、，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。 （ ） 一导体的电位为零，则该导体不带电。一导体的电位为零，则该导体不带电。 （ ） 接地导体都不带电。（接地导体都不带电。（ ） 2.2.3. 2.2.3. 电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律1. 1. 静电场中导体的性质静电场中导体的性质图图2.2.13 2.2.13 静电场中的导体静电场中的导体dVR)(41V2R0erPR1R1R2RedVR1)(41V0rPdVR)(41dVR)(41V0V0rPrP矢量恒等式：矢量恒等式：uu)u(FFF图图2.2.14 2.2.14 体积体积V V内电偶极

19、矩内电偶极矩 产生的电位产生的电位dSR)(41dVR)(41 Sn0V0erPrP散度定理散度定理 令令PpnpeP 极化电荷体密度极化电荷体密度极化电荷面密度极化电荷面密度) () ()(dSR41dVR41rSp0Vp0rr) () ()(dSR41dVR41rSp0Vp0rr 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 。0p 这就是电介质极化后，由面极化电荷这就是电介质极化后，由面极化电荷 和体极化电荷和体极化电荷 共同作用在共同作用在真空真空 中产生的电位。中产生的电位。0pp) )() )()(VS3pf3pf0dSdV41rrrrrrrrrE 根据

20、电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和0dSdVVSnePP)()()(VSpfpf0dSdV41rrrrr 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为3. 3. 电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律a a）高斯定律的微分形式）高斯定律的微分形式0fE0pfE（真空中）（真空中）（电介质中）（电介质中）定义定义电位移矢量电位移矢量（ DisplacementDisplacement）PED0则有则有 D电介质中高斯定律的微分形式电介质中高斯定律的微分形式代入代入 , ,得得Pp)(1fPE0f0)(

21、PE其中其中相对介电常数；相对介电常数；介电常数，单位（介电常数，单位（F/mF/m）er1 EEEEEPED0re00e001)( 在各向同性介质中在各向同性介质中 D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。1S1dSD( )( )2S2dSD( )( )2321r4qDDD( )( )q qq q D D 的通量与介质无关，但不能认为的通量与介质无关，但不能认为D D 的分布与介质无关。的分布与介质无关。 D D 通量只取决于高斯面内的自由通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的电荷，而高斯面上的 D D 是由高斯面是由高斯面内、外的系统所有

22、电荷共同产生的。内、外的系统所有电荷共同产生的。B B） 高斯定律的积分形式高斯定律的积分形式DdVdVVVDqdSSD散度定理散度定理图图2.2.16 2.2.16 点电荷点电荷q q分别置于金属球壳的内外分别置于金属球壳的内外图图2.2.15 2.2.15 点电荷的电场中置入任意一块介质点电荷的电场中置入任意一块介质例例2.2.4 已知半径为已知半径为R的无限长圆柱体的无限长圆柱体内均匀分布体电荷内均匀分布体电荷 ，介电常数为，介电常数为，试由试由D=求柱内外的求柱内外的E。 解：解：由于由于 的分布具有轴对称性，的分布具有轴对称性， 因此因此 D 的分布也具有轴对称性，的分布也具有轴对称

23、性， D只有只有 Dr 分量，且只与分量，且只与 r 有关。有关。 柱内（柱内（r R） ，有体电荷分布，满足，有体电荷分布，满足D = 柱外（柱外（r R），无体电荷），无体电荷=0，满足，满足 D = 0应分两个区域分别求解应分两个区域分别求解D 在柱坐标系下展开简化在柱坐标系下展开简化001)Dr(rrrD1）在柱内（在柱内（r R时）时）00)(1rDrrr由不定积分求解由不定积分求解 rDrrr)(1221crDrr得通解得通解 rCrDr1121 (rR)其中其中C1为积分常数，因为积分常数，因r = 0处处D = 0，故，故C1=02）在柱外（在柱外（r R）000)(1rDrr

24、r不定积分求解得不定积分求解得 (R r)rCDr22其中积分常数其中积分常数C2由分界面边界条件确定由分界面边界条件确定rreD211rreDE211(rR)rreD211前面已求得圆柱体内前面已求得圆柱体内圆柱体外的通解为圆柱体外的通解为rCDr22由于由于r = R处无面电荷，根据边界条件：处无面电荷，根据边界条件： D1n=D2n2221RC则得则得 rrReD222rrReDE2222RRC212即即因此，圆柱体外的电场因此，圆柱体外的电场可见，电荷只分布在可见，电荷只分布在r 2 的圆柱内，圆柱外无电荷分布。的圆柱内，圆柱外无电荷分布。 例例2.2.5 已知圆柱坐标系中已知圆柱坐标

25、系中r2时，时， ；r2时，时， ，求电场中的体电荷分布，求电场中的体电荷分布。rreD202rr eD2145解解：r2时：时：4153454512211rrr)rr(rrD020122)rr(rrDr2时：时：2.3 2.3 静电场的基本方程静电场的基本方程 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件2.3.1 2.3.1 静电场的基本方程静电场的基本方程 静电场是一个静电场是一个无旋、有源场无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：简洁的数学形式为：0 Ef D)(E)(ED0dllEqdSSD解：根据解：根据静电场的旋度

26、恒等于零静电场的旋度恒等于零的性质的性质, ,zyxzyxAAAzyxeeeAzxyyzxxyzyAxAxAzAzAyAeee)()()(0 例例2.3.12.3.1 已知已知 试判断它能否表示个静电场？试判断它能否表示个静电场？ ，zyxz5y4x3eeeA对应静电场的基本方程对应静电场的基本方程 ，矢量，矢量 A 可以表示一个静电场。可以表示一个静电场。0E 能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场? ?例例2.3.2 试判断真空中的下列表达式是否可能是静电场？试判断真空中的下列表达式是否可能是静电场？若可能，求相应的电荷密度若可能，求相

27、应的电荷密度 yxxyeeE322yxyxeeE231解:0231yxzyxzyxeeeEE1可能是静电场，其体电荷密度为可能是静电场，其体电荷密度为12302301z)(y)y(x)x（）（EDyxyxeeE2310322xyzyxzyxeeeE05)2()3(zzzyyxxeeeE2决不可能是静电场。决不可能是静电场。 yxxyeeE322 以分界面上点以分界面上点P P作为观察点，作一作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（小扁圆柱高斯面（ ）。）。 0L n1n2DD2 2、电场强度、电场强度E的衔接条件的衔接条件 以点以点P P 作为观察点，作一小矩形作为观察点，作一小矩形回路（回路（ ）。

28、）。 0L 0lElE1t21t1t 1t2EE2.3.2 2.3.2 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件1 1、 电位移矢量电位移矢量D的衔接条件的衔接条件分界面两侧分界面两侧 E 的切向分量连续。的切向分量连续。 分界面两侧的分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当的法向分量不连续。当 时，时，D 的法向分量连续。的法向分量连续。0图图2.3.2 2.3.2 在电介质分界面上应用环路定律在电介质分界面上应用环路定律SSDSDn2n1则有则有qdSD 根据根据 0dllE根据根据 则有则有 图图2.3.1 2.3.1 在电介质分界面上应用高斯定律在电介质分界面上应用高斯定律 表明：表明：（1

29、 1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（量；（2 2）导体表面上任一点的）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度就等于该点的自由电荷密度 。 当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为： 0EDt2n2t2t 1n1n2EEDD图图2.3.3a 2.3.3a 导体与电介质分界面导体与电介质分界面在交界面上不存在在交界面上不存在 时，时，E、D满足折射定律。满足折射定律。222111n2n1cosEcosEDD2211t2t 1sinE

30、sinEEE2121tantan折射定律折射定律图图2.3.3 2.3.3 分界面上分界面上E线的折射线的折射0)2dE2dE(limdlimn2n10d212121lE21因此因此表明表明: : 在介质分界面上，电位是连续的。在介质分界面上，电位是连续的。3 3、用电位函数、用电位函数 表示分界面上的衔接条件表示分界面上的衔接条件 设点设点1 1与点与点2 2分别位于分界面的两侧，其间分别位于分界面的两侧，其间距为距为d d， , ,则则0d nED,nED22n22n211n11n1nn2211表明表明: : 一般情况下一般情况下 , ,电位的导数是不连续的。电位的导数是不连续的。)0(图

31、图2.3.4 2.3.4 电位的衔接条件电位的衔接条件对于导体与理想介质分界面，用电位对于导体与理想介质分界面，用电位 表示的衔接条件应是如何呢？表示的衔接条件应是如何呢？解：忽略边缘效应解：忽略边缘效应xeE1221021ddUxeE1221012ddUx1121e EExe22110SSq2211EE02211UdEdE图（图（a a）02211qSS2211图（图（b b） 例例2.3.32.3.3 如图如图(a)(a)与图与图(b)(b)所示平行板电容器所示平行板电容器, ,已知已知 和和 , ,图图(a)(a)已知极板间电压已知极板间电压U0 , , 图图(b)(b)已知极板上总电荷

32、已知极板上总电荷 , ,试分别求其中的电场强度。试分别求其中的电场强度。12121,S,S,d,d20q（a a）（b b）图图2.3.5 2.3.5 平行板电容器平行板电容器 2.4 2.4 静电场边值问题静电场边值问题 唯一性定理唯一性定理2.4.1 2.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程与拉普拉斯方程推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：2泊松方程泊松方程E0EED常数 DEEE 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。例例1.4.11.4.1 列出求解区域的微分

33、方程列出求解区域的微分方程 时当 002拉普拉斯方程拉普拉斯方程22222222zyx拉普拉斯算子拉普拉斯算子00221233321.4.2 1.4.2 静电场的边值问题静电场的边值问题图图2.4.1 2.4.1 三个不同媒质区域的静电场三个不同媒质区域的静电场 为什么说第二类为什么说第二类边界条件边界条件与导体上给定电荷分与导体上给定电荷分布或边界是电力线的条布或边界是电力线的条件是等价的？件是等价的？)(sfn2S已知场域边界上各点电位值图图2.4.2 2.4.2 边值问题框图边值问题框图自然自然边界条件边界条件参考点电位 有限值rrlim边值问题微分方程边界条件场域场域边界条件边界条件分

34、界面分界面衔接条件衔接条件第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即022nn221121)(sf1S)(sfn2S)()(sfn3S解析法解析法数值法数值法实测法实测法模拟法模拟法定性定性定量定量边值问题边值问题研究方法研究方法计算法计算法实验法实验法作图法作图法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法模拟电荷法模拟电荷法积分法积分法分离变量法分离变量法镜像法、电轴法镜像法、电轴法微分方程法微分方程法保角变换法保角变换法数学模拟法数学模拟法物理模拟法物理模拟法图图1

35、.4.3 边值问题研究方法框图边值问题研究方法框图 例例2.4.22.4.2 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，的正方形，铅皮半径为铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接有电源，并且在两导体之间接有电源 U U0 0，试写出该电缆中静电场的边值问题。，试写出该电缆中静电场的边值问题。 解：解：根据场分布对称性，确定场域。根据场分布对称性，确定场域。0yx22222（阴影区域）（阴影区域）场的边值问题场的边值问题0bx0byby0bxU),(及00y0 xayx22

36、2),(0 xayb0 x),(0yaxb0y),(图图2.4.4 2.4.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面缆心为正方形的同轴电缆横截面 解：解：只与r有关，与无关、与z无关。 例例2-6 同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2，电压为U，试由拉普拉斯方程2=0，求介质中的E分布。 介质中无电荷分布，满足2=0，在圆柱坐标系下展开简化为 000)(1rrrr不定积分求解得 rCr1通解为 21lnCrCU由场域边界的电位值确定积分常数C1和C2，设外导体r=R2处为电位参考点，0ln)(2212CRCR内导体r=R1处电位为U，则 UCRCR2111ln)(联立求解得 121lnRRUC2122

37、lnlnRRRUC因而同轴电缆介质中rRRRURRRUrRRU21221212lnlnlnlnlnlnrrRRlnrUreeE12U解：解：空间电荷分布以x=0平面左右对称，与y、z无关；因此，和E的分布也具有对称性, 且只与x有关。在直角坐标系下展开，泊松方程简化为例例2-7已知自由空间中，体电荷密度为axex0)(由泊松方程求电位及场强E。 0 x0(x)a/xxe0022( x 0)a/xxe0022( x 0时axex00212通过一次不定积分，得 1001)(Ceaxax再次不定积分，得通解 210201CxCeaax设分界面x=0处为电位参考点，则 0202aC 由于分界面x=0上

38、没有面电荷，即 010 x因而 020000201axaeaax (x0) 两个区域中场强解可合并为 )1020axeaxa（3）电场强度可通过电位梯度运算得到 xaxxaxxxaxxaxxeaaeaxeaaeaxeeeEeeeE)1 ()()1 ()(000000222000000111两个区域中场强解可合并为)(1 (00 xaxeaeE2. 2. 唯一性定理的重要意义唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性：可判断静电场问题的解的正确性： 唯一性定理为静唯一性定理为静电场问题的多种解法电场问题的多种解法( (试试探解、数值解、解析解等）探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根

39、据。提供了思路及理论根据。平板电容器外加电源平板电容器外加电源U U0 0)(,TheoremUniquness定定理理称称之之为为静静电电场场的的唯唯一一性性的的解解是是唯唯一一的的拉拉斯斯方方程程泊泊松松方方程程或或拉拉普普位位微微分分方方程程满满足足给给定定边边界界条条件件的的电电在在静静电电场场中中)(,唯一性定理 1.2.4.3 2.4.3 唯一性定理唯一性定理解：解：判断依据是解的唯一性定理：既满足泊松方程 ， 又满足边值d-0=U002Ud0001221绝不是解； 例例2-8 试判断以下电位表达式哪个是图示问题的正确解？xddUx)2(20203xdU4xddUx)2(02010

40、0202)2(2UxddUx 0 d x 例2-8题图Ud00222是正确解。Ud00323也是正确解。Ud004204也不是解。例例2-9 同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2，中间为两种介质，介电常数分别为1和2，分界面过直径（如图示），电压为U ,试说明两种介质中的E相同。 1 R1 2 U R2 例2-9题图012解：解： 1中无体电荷， 满足0222中无体电荷，满足两种介质中满足的泊松方程相同。 1的内边界（R1半圆柱面）与2的内边界（R1半圆柱面）等电位1； 1的外边界（R2半圆柱面）与2的外边界（R2半圆柱面）等电位2； 由于介质分界面过直径，两侧只有切线分量，介质分界面衔接条件

41、为E1t= E2t。两种介质中的边界条件也相同，根据解的唯一性定理可知，因此其解答唯一，即E1= E2。2.5 2.5 镜像法与电轴法镜像法与电轴法2.5.1 2.5.1 镜像法镜像法边值问题边值问题：（导板及无穷远处）（导板及无穷远处）（除（除 q 所在点外的区域）所在点外的区域）（S S 为包围为包围 q 的闭合面）的闭合面）s2qd00SD1.1.平面导体的镜像平面导体的镜像 镜像法镜像法: : 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布, ,虚设电荷的虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。个数、大小与位置使场的解答满足

42、唯一性定理。图图2.5.1 2.5.1 平面导体的镜像平面导体的镜像 上半场域边值问题上半场域边值问题：0r4qr4q0002（除（除 q 所在点外的区所在点外的区域）域） （导板及无穷远处）（导板及无穷远处）（S S 为包围为包围q 的闭合面）的闭合面）sqdSD（方向指向地面方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为整个地面上感应电荷的总量为EEEpcos20pr4q2E 23220 xh2qh/)(2322p0pxh2qhE/)(xdx2xh2qhdS02322Sp/)(02122xh1qh/)(q例例2.5.12.5.1 求空气中一个点电荷求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况

43、。在地面引起的感应电荷分布情况。q解解: : 设点电荷设点电荷 离地面高度为离地面高度为h，则则q图图2.5.2 2.5.2 点电荷点电荷 在地面引起的感应电荷的分布在地面引起的感应电荷的分布q2. 2. 导体球面镜像导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。1) 1) 边值问题边值问题：（除（除q点外的导体球外空间点外的导体球外空间) )000r2导球面0r4qr4q2010pcoscosRb2RbrRd2Rdr2222210bqdqR2RdqRbq22222222cos)()()(0bqdq0Rd

44、qRbq22222222)()(qdRqdbqdRb2球面上任一点电位为位于球内设镜像电荷,q2)图图2.5.3 2.5.3 点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像由由叠加原理叠加原理，接地导体球外任一点，接地导体球外任一点P P的电位与电场分别为的电位与电场分别为2010pr4qr4q)(210r1dRr14q21r220r210Pdr4qRr4qeeE图图2.5.5 2.5.5 点电荷位于接地导体球附近的场图点电荷位于接地导体球附近的场图 镜像电荷不能放在当前求解的镜像电荷不能放在当前求解的场域内。场域内。镜像电荷等于负的感应电荷镜像电荷等于负的感应电荷图图2.5.4 2.5

45、.4 接地导体球外的电场计算接地导体球外的电场计算 在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置解解: : 边值问题：边值问题：( ( 除除 q q 点外的导体球外空间）点外的导体球外空间）0d000Ssr2SD常数球面 ( ( S S 为球面面积为球面面积 ) )例例2.5.22.5.2 试计算不接地金属球附近放置一点电荷试计算不接地金属球附近放置一点电荷 时的电场分布。时的电场分布。 q任一点电位及电场强度为：任一点电位及电场强度为：)()(210210drRdrRr14qrqrqrq41)(21r22r21r20drRdrRr14qeeeE

46、q qd dp pr rr r1 1r r2 2+ + q q - - q q R Ro ob b图图2.5.6 2.5.6 点电荷对不接地金属点电荷对不接地金属 球的镜像球的镜像感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。S,0dSD正负镜像电荷绝对值相等。正负镜像电荷绝对值相等。0,constS正镜像电荷只能位于球心。正镜像电荷只能位于球心。 试确定用镜像法求解下列问题时，其试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位镜像电荷的个数，大小与位置置? ?补充题补充题：图图1.7.8 1.7.8 点电荷对导体球面的镜像点电荷对导体球面

47、的镜像图图1.7.7 1.7.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图点电荷位于不接地导体球附近的场图 不接地导体球面上的正负感应电荷不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷的绝对值等于镜像电荷 吗吗? ? 为什么？为什么？q3. 3. 不同介质分界面的镜像不同介质分界面的镜像ttEE21nnDD21边值问题边值问题：012022( (下半空间下半空间) )( (除除 q q点外的上半空间点外的上半空间) ) qqqqqq211图图2.5.9 2.5.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像点电荷对无限大介质分界面的镜像sin sinsincos coscos2r24q2r14q2r14q2r

48、24q2r14q2r14qq q2121q2 q212和和 中的电场是由中的电场是由 决定，其有效区在下半空间，决定，其有效区在下半空间， 是等效替代自由电荷与极是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。化电荷的作用。 2 q qq2qqqqq1221221 即即图图2.5.10 2.5.10 点电荷点电荷 位于不同介质位于不同介质平面上方的场图平面上方的场图q 中的电场是由中的电场是由 与与 共同产生，其有效区在上半空间，共同产生，其有效区在上半空间， 是等效替代极化电是等效替代极化电荷的影响。荷的影响。 q qq1图图2.5.11 2.5.11 点电荷点电荷 与与 分别置于分别置于 与与 区域中

49、区域中 为求解图示为求解图示 与与 区域的电区域的电场，试确定镜像电荷的个数、大小场，试确定镜像电荷的个数、大小与位置。与位置。121q2q12例例2-11 无限大接地导板上有一凸起的半球体，正上方有一点电荷q，求:半球体上的最大场强。 d R 例 2-11 题图 q 2）撤去导电平面，用-q和-q代替感应电荷 3）由叠加原理计算A点最大场强 zzAbRqdRRdqeeE2020)(4)()(4zzbRqdRRdqee2020)(4)2(4解：解：1）撤去半球面，用q代替球面感应电荷， qdRq例2-11解图 q r1 A q -q -qr2 r3 r4b Rd例例2-12 半径R=0.1m的

50、不接地导体球原先带电量Q=10-6库仑，离球心距离d=0.2m处有一点电荷q=10-5库仑，求点电荷q受力。 例2-12题图解：解：先确定镜像电荷的大小和位置 65105102 . 01 . 0qdRq05. 02 . 01 . 022dRb66610610510 qdRQq由库仑定律可分别求得点电荷之间的作用力 2025. 245)05. 02 . 0(36104)105(10)(4296520bdqqF5 .13454) 2 . 0(36104)106(104296520 dqqF由叠加原理可知点电荷所受到的电场力为F = F + F = 20+13.5 = 6.5 牛顿。思考思考:本例中

51、点电荷q与导体球Q带同号电荷为何相吸？2.5.2 电轴法边值问题： （导线以外的空间）02 根据唯一性定理，寻找等效线电荷电轴。Sd电荷分布不均匀常数导体,ASDSd电荷分布不均匀常数导体,BSD1.问题提出2.5.12 长直平行圆柱导体传输线能否用高斯定理求解？ 由等效电轴共同产生的电位 Crr120ln2 （x，y） h h b b x y r1 r2 图 2-13 R R 将两圆柱导体撤去，其表面电荷用两根线电荷密度分别为 ，相距为2b的等效电轴代替。 两根长直平行圆柱导体的电场，由于邻近效应，导线表面的电荷分布不均匀 。2. 两根细导线产生的电场Cln2Cln2Cln2d212021P

52、2202110Q011以y轴为参考点, C=0, 则 22220120Pybxybx22)()(lnln当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。常数令：P22222Kybxybx)()(hh图2.5.13 两根细导线的电场计算pbbyxo2a、h、b三者之间的关系满足 222222222hb1K1Kb1KbK2ba)()(2222221KbK2yb1K1Kx)()(等位线方程为：1KbK2a,0, )b1K1K( h222 圆心坐标圆半径应该注意到,线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即)(bhbhbha222根据 及E线的微分方程 ， 得E线方程为 xyEEdxdy4Kb2K

53、yx212212)(E图2.5.14 两细导线的场图 若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。 若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？感应电荷是否均匀分布？3. 电轴法例2.5.3 试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。22ahb:,)a确定电轴位置建立坐标系120p210Pln2)11(2)b21eeE:位圆柱导线间的电场与电( 以 轴为电位为参考点 )y 用置于电轴上的等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法,称为电轴法。解：图2.5.15 平行圆柱导体传输线电场的计算4）圆柱导体外电位分布为 21222212)()(ln2ln2ybxy

54、bxrr5）圆柱导体外的电场强度可由E=求得,也可由叠加原理求得 )()(22222210ybxybxrreeEEE对于图示A点， 11RhxA（正值）, 0Ay)()(2)()(2111011110 xxxARhRbRhbRhbeeeE 对于图示B点， )(22RhxB（负值）, )()(2)()(2222022220 xxxBRhRbRhbRhbeeeE0By 镜像法（电轴法）小结 镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质； 镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷（电轴）的个数（根数），大小

55、及位置； 应用镜像法（电轴法）解题时，注意：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。 电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。电容的计算思路： UQCdUQlEE设工程上的实际电容：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。2.6.1 2.6.1 电容电容UQC pf,f(F法拉），定义： 单位： 例2.6.1 试求球形电容器的电容。解：设内导体的电荷为 ,则q,qdSSDr20r2r4q,r4qeEeDabab4q)b1a1(4qEdrU00ba同心导体间的电压abab4UqC0球形电容器的电容aC04当b时（孤立导体球的电容）图2.6.1

56、球形电容器2.6 2.6 电容及部分电容电容及部分电容1. 已知导体的电荷，求电位和电位系数中的其余带电体，与外界无任何联系，即1n1KK.0q 静电独立系统D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统 线性、多导体(三个以上导体)组成的系统； 部分电容概念21211110 qq以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为22212120qq2211002022110010 qbqbqbqaqaqa)( 210qqq图2.6.2 三导体静电独立系统2.6.2 2.6.2 多导体系统多导体系统 部分电容部分电容nnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121

57、111qqqqqqqqqqqq)qqqq(qnk210 q电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；ii, 自有电位系数，表明导体i上电荷对导体i电位的贡献；j , i互有电位系数，表明导体j上的电荷对导体i电位的贡献 ；写成矩阵形式为（非独立方程）注： 的值可以通过给定各导体电荷 ,计算各导体的电位 而得。q以此类推(n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方程2. 已知带电导体的电位，求电荷和感应系数 1q 1nnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121111qqq静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；ii,自有感应系数，表示导体 电位对导体 电荷的贡献

58、；iiji,互有感应系数，表示导体j电位对导体i电荷的贡献。 通常， 的值可以通过给定各导体的电位 ，测量各导体的电荷 而得。q 3. 已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容)()(q2k2k1k1kk)(nkknknkn0k0k2k2k1k1kUCUCUCUC UCq （矩阵形式）式中：C部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；knkn2k2k1k1kC,C,C（互有部分电容）；)(Cknkk2k1k0k（自有部分电容）。kknkk2k1k)(部分电容性质: 所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的 值有关； 互有部分电容i , jj , iCC ，即为对称阵；

59、 C (n+1) 个导体静电独立系统中，共应有 个部分电容；2)1n(n 部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。 例2.6.2 试计算考虑大地影响时，二线传输线的各部分电容及二线输电线的等效电容。已知 如图示：haad ,2201221221121101)()(CCCC32) 12(22) 1(nn21122010,CCCC解: 部分电容个数, 如图 (b)。由对称性得线电荷与电位的关系为图2.6.4 两线输电线及其电容网络静电网络与等效电容 令,0, 121则利用镜像法，输电线两导体的电位ddhah2202014ln212ln21ddh4ln21Chd2dh4aln21C0dh4

60、ahd2ln21Cah2ln21C1220202202122012010为)ad ,rrln2(120)3(）得）代入式（将式（2322012122112110C)(C0)(CC1)2(图2.6.5 两线输电线对大地的镜像联立解之得addh4h2ln2CC2202010二线间的等效电容：)dh4ddh2ln(2CCCCCC2202010201012e22222202112)ddh4(ln)ah2(lnddh4ln2CC图2.6.6 两线输电线及其电容网络202021212121210101UCUCqUCUCq令0, 0101Uq01212UC012 C0号导体接地，得2020210101UCq