第4章 机电系统运动方程及其解法

1、第四章机电系统运动方程及其解法 研究机电系统（包含机电装置）的特性，通常包含三个论题(l)对系统的物理分析：(2)系统的运动微分方程（以F简称运动方程）的建立；(3)系统的运动方程的求解第一、二章针对机电装置论述了第一个论题。本章将论述后两个论题，重点阐明能导出机电系统运动方程的拉格朗日方程，运动方程求解的概貌，以及部分常用的求解方法41建立机电系统运动方程的两种方法机电系统的运动方程包括若干个电路的电压平瘴方程和机械系统的转矩（或力）平衡方程。 参见式（2-1）式(2-4)，应甩电学、力学的基本定律写出机电系统动态的电压平衡方程和转矩（力）平衡方程，前者比静止电路多一项运动电动势，后者比纯机

2、械系统多一项电磁转矩（力），合在一起多出一对机电耦台项。因而，加以按电磁感应定律导出的运动电动势表达式，以及应用虚位移原理导出的电磁转矩（力）表达式，把电与机械两方的量及其方程联系在一起，就构成完整的机电系统运动方程。这种建立运动方程的方法是把处在运动状态的机电系统作为动态耦合电路来看待，故称为动态耦合电路法。这也是电机学中常用的方法。 在学过机电类比以后，我们有可能设想：可以不去区别机、电对量的物理含义和和符号，而统一用任一方（如电系统物理量的符号来表示另一方的对应量；同时考虑到，保守系统中的力与电压都可以表示为储能的函数，因而使用某个特定的能量函数来建立一个普遍的方程-拉格朗日方程，即通过

3、机电系统的某个特定的能量函数的积分求极值来导出它的运动方程。这种方法称为变分原理法。一般说来，建立机电系统运动方程的方法就是上述两种。动态耦合电路法列的运动方程是一组关于系统微增变化的方程，是以“微分原理”作为出发点，而变分原理法是以联系机电系统总体运动的“积分原理”作为出发点。普遍认为动态耦合电路法的物理意义比较清楚，易于理解，但对多变量的机电系统，需要有较高的见解和判断力才能写出它的运动方程；变分愿理法应用拉格朗日方程可以机械地导出机电系统的运动方程，并能自动导出机电耦合项，步骤比较单一和系统化，在解决较复杂系统的难题时发挥了明显作用，已成为动力学中一种很有效的技术。它的缺点是应用较多数学

4、，较难洞察物理过程，而机械处理问题的方法又往往使人忽视问题的物理意义。42拉格朗日方程 同一个机电系统，应用动态耦台电路法和变分原理法导出的运动方程完全一样。当某一机电系统的运动方程用一种方法导出后，便能由此推导出另一种方法。因此我们取两个简单的实例，用动态耦合电路法列出运动方程来导出拉格朗日方程，使我们一开始就能从物理概念上理解拉格朗日方程，然后才对它作普遍性的解释。一、保守弹簧振子系统的拉格朗日方程设一理想的没有外力和损耗的弹簧振子系统如图4-1所示。振子的质量为m，弹簧的刚性系数为K。以系统静止时振子的中心为水平位移x的原点。若加外力使振子沿x方向到某一位移后外力消失，则振子在弹簧力的作

5、用下将在x方向作往复运动。其运动方程是弹簧弹力fx=kx与振子惯性力的平衡式，即 （4-1） 这保守系统包含的动能T和位能V分别为 （4-2） （4-3） 图4-1 弹簧振子系统设想用能量的函数来表示运动过程中的力，则 （4-4） （4-5） 上两式表明惯性力仅与系统的动能有关，而弹力仅与系统的位能有关。把这两式代入式（4-1），得 令特定的能量函数=系统动能T系统位能V则上式可化为 (4-6)这式就是一个保守系统的拉格朗日方程，其中掣称为拉格朗日函数，是系统的一个能量函数，也是系统的一个状态函数，故又称拉格朗日状态函数。二、单边激励机电装置的拉格朗日方程非保守的机电系统以单边激励机电装置图1

6、-4所示电磁铁为例，重画如图4-2参照式（1-6），其电路的电压平衡方程为 (4-7) 图4-2电磁铁设通电的衔铁位移x =0，则通电后具有质量m，刚性系数K和阻力系数Rv的衔铁系统，在电磁力作用下力的平衡方程为 (4-8)整个装置的能量除电源输入电能外，有： (4-9)采用f-e类比，磁能为电磁系统的广义功能，对应的磁共能为广义动共能。此外，装置还有机械损耗和电阻损耗，损耗通常引用损耗函数F来反映，各项F的大小等于所对应损耗的一半，参看表33第二横栏，可得 (4-10)根据以上两组式子，运动方程中各项力和电压可用能量的函数表达如下：用以上各分式的关系代换运动方程式(47) 和式(48)中的各

7、项，可得 再对机械系统也引用动共能，它与动能相等。由此得装置的总动能T=Wm+Tme,总动共能T+Tme而本例的总位能V=Vmec。将上式中损耗函数统一用总损耗函数取代，其它的能量函数统一用拉格朗日函数=总动共能T总位能V取代。并且q、x等都用广义坐标q代表； 等都用广义速度代表；外加的u，f等都用外来广义驱动力Q代表。至此，式(4-12)的两个分式就可用统一形式的方程表示如下：扩展k =1，2，N，则这式就是一般的非保守系统拉格朗日方程，它对机电以外的其它很多物理系统也普遍适用。 对线性系统，系统的总动共能与总动能相等，则拉格朗日函数=T- V=T-V。 对保守系统，总损耗函数F=0和外来广

8、义驱动力Qk=0，则拉格朗日方程简化到与实例一的式( 4-6)一致，即 三、关于拉格朗日方程的普遍性解释 一般的非保守系统拉格朗日方程为式中，广义坐标qk=qk(t)是时间的函数；N为广义坐标个数，也即运动方程式的个数。方程前两项是保守力： 为广义惯性力；为广义惯性力以外的保守力，包含广义弹力和电磁力等。后两项是非保守力： 是对应损耗的广义阻力，又称损耗力，其中Rk是代表电阻R、机械阻力系数Rv等的广义损耗系数；Qk=Qk(t)为外来广义驱功力。方程的实际含义是系统在动力平衡时，作用在每一广义坐标上的广义力总和等于零。 由于应用拉格朗日方程来导出机电系统的运动方程，其关键在于选择广义坐标，明确

9、拉格朗日函数，因而进一步阐明如下。 1广义坐标时选择 一般地说，描述一个质点在空间的位置需要三个坐标，描述一个质点在空间中运动的即时状态需要三个坐标及其三个速度。但实际上，各质点（或元件）的位置和速度常受到几何的或运动的约束，使每个质点的自由度和独立坐标都小于三个如图4-3所示的单摆，摆长l定，即摆锤空间位置的约束条件为z=0和x2+y2=l2因此描述单摆即时状态的独立变量只需要一个坐标和一个速度，如和就够了。同理，描述动力系统的即时状态需要若干对坐标和它对时间的导数速度。对一个有约束的s个质点（或元件）所组成的系统，它的自由度或独立坐标一定小于3s个因而分析系统中质点（或元件）的个数和约束条

10、件，判定系统的自由度，选择出不多不少的能独立变化的坐标，才是拉格朗日方程中的广义坐标（在完整约束系统中，广义坐标的个数就是系统的自由度数）。设一个机电系统的广义坐标有电的n个，机械的m个，共n+m=N个，表示为qk，其中k=1，2，N（以下对k值常省去此说明）。则相应的广义速度 也有N个。系统的即时状态就取决于N对qk和 的即时值。因而广义坐标qk和广义速两者就是系统的动力变量。有时还使用广义动量pk来取代广义速度，即由广义坐标qk和广义动量pk组成系统的动力变量，来描述动力系统的即时状态。表4-1列出了机电系统中通常选用的动力变量。其机电对应关系采用f-e类比。表4-1 机电系统的动力变量动

11、力变量机械系统电系统平移运动旋转运动广义坐标qk位移xk角位移电荷qk广义速度 速度 角速度电流ik广义动量pk动量pk角动量pk磁链k 2拉格朗日函数拉格朗日函数定义表达式为 =T V (4-6) 按表4l选用动力变量，机电系统的总动共能包含机械系统的动能Tme。和电磁系统的磁共能Wm，即 其中 当系统为线性时，磋共能与磁能相等，从而总动共能与总动能相等，得 T T=Tme+Wm (4-20)机电系统的总位能V=V(qk，t)包含机械系统的弹簧位能Vmec和电磁系统的电场能We，即 V=Vmec+We (4-22) 当系统为线性时，电场能可简化为 可见，拉格朗日函数是广义坐标、广义速度、时间

12、三者的函数，即 当系统为线性时，拉格朗日函数就等于总动能与总位能之差即最后还应指出，动力变量可有不同的选择方案，相应的系统的特定能量函数也可有不同的选择方案，例如还有汉密尔登函数H，在稳定的保守系统中它定义为系统的总动能与总位能之和但对机电系统，通常都用拉格朗日函数。*4-3变分原理和拉格朗日方程的应用条件一、由汉密尔登原理推导拉格朗日方程汉密尔登原理是一种积分形式的变分原理，是在一定时间内从约束许可的一切可能运动中提供一条判断真实运动的准则具体可表述为：对完整约束的保守动力系统，作拉格朗日函数在时间t1和t2之间的积分函数泛函I，即则系统从t1状态到t2状态的一切可能运动中，只有真实运动的泛

13、函I具有极值。 在数学上，泛函取得极值的必要条件是泛函的变分为零。所雠汉密尔登原理还可表述为：对完整约束的保守系统的真实运动而言，泛函I的变分为零，于是，动力学的基本方程概括为最简洁的形式，即 函数的变分是假定自变量不变，仅由于函数本身形式的改变而得到的函数的任意改变量。对于，自变量是t，则设t不变，使N个广义坐标分别有变分，并在始点( t =t1)和终点(t=t2)上都有零值，即 这种不依赖于t的变分称为不含时变分，变分运算可以与对t的微分或积分变换运算顺序。因而，广义速度的变分。由和引起的拉格期日函数改变量为 式中是的主要部分，它和是同阶的微增量，称为的一次变分，简称为变分对泛函I的变分，

14、把变分号移到积分号内，可得 将上式代入式( 4-34)，并考虑式(4-29)和式(4-30)，则得 因为，是任意的，它们互不依赖，所以满足上式的充分必要条件为 上式称为N欧拉拉格朗日方程用在动力系统中就是保守系统的拉格朗日方程如系统的被确定，该方程可给出系统真实运动的路线，即可导出系统的运动方程。二、应用拉格明日方程的錾要条件系统中各质点（或元件，下同）的位置和速度常受到几何的和运动的约束几何约束只限制质点的坐标，表现为坐标的函数方程，如 f (x，y，z)=0和f (x，y，z，t)=0运动约束则不仅限制质点的坐标，而且还限制质点速度的投影，运动约束方程中含有坐标的导数项，如运动约束又分两种

15、，一种可以通过积分转变为几何约束；另一种不能积分为几何约束几何约束和可积分的运动约束统称为完整约束。凡是仅受完整约束的系统称为完整约束系统，不可积分的运动约束称为非完整约束。含有非完整约束的系统称为非完整约束系统。由s个质点组成的完整约束系统，假定受K个方程的约束。由于它的运动约束通过积分可转化为几何约束，K个约束都可表达成几何约束方程，于是全部3s个坐标中只有( 3sK)个独立坐标，其余K个坐标可表达为(3S-K)个独立坐标的函数。这( 3S-K)既是系统的自由度数，又是广义坐标的个数，因为动力系统独立的广义坐标变分的个数就是系统的自由度数，所以广义坐标的变分都互相独立。在非完整约束系统内，

16、至少有一个非完整约束方程不能转变为几何约束，对系统的坐标没有约束，于是只减少系统的自由度数，而不减少系统的独立坐标数。所以非完整约束系统的自由度数小于广义坐标数，广义坐标的变分不是都独立的。 由式( 4-36)得出式(4-37)的条件是广义坐标的变分全部互相独立因而一般的拉格朗日方程只适用于完整约束系统，而不适用于非完整约束系统。 通常的电磁铁、维电器、交流电机等都是完整约束系统，都可用拉格朗日方程导出运动方程；但必须指出，换向器电机是非完整约束系统，因为换向器绕组的轴线取决于电刷的位置，在空间是固定的，与绕组转动无关。换向器绕组轴线的坐标不反映其旋转的真实情况，通常称为准坐标，以区别于敏捷于

17、绕组本身的轴线的真坐标。如用准坐标来表达拉格朗日函数和套用一般的拉格朗日方程，将产生错误的结果。4-4应用拉格朗日方程建立机电系统运动方程应用拉格朗日方程建立完整约束的机电系统的运动方程，不仅是用能量观点统一处理了机电双方相互作用的运动规律问题，而且方法单一，可以机械地求得运动方程并自动导出机电耦合项，这一优点是很可贵的。其推导步骤如下：(1)根据系统的约束条件，选择广义坐标qk和广义速度； (2)确定总损耗函数F或广义损耗系数Rk：列出外来广义驱动力Qk； (3)用qk和表示系统的总动共能T 和总位能V，并写出拉格朗日函数； (4)将以上结果代入拉格朗日方程式(4-15)；或代入方程的另一写

18、法如下：经求导后即可得到N个运动方程式。 【例4-1】一电磁铁如图4-4所示。已知电压为u，电阻为R线圈电感是L（x），正在提升质量为m的动铁。不计动铁的运动阻力。试用拉格期日方程导出电磁铁的运动方程。【解】电方面是单边激励，机械方面的动铁只在垂直方向运动，因此选择电荷q和动铁的垂直位移x为广义坐标。设动铁通电前位移x=0，电磁铁的动力变量和外来广义驱动力列于表4-2（若不把重力mg作为外力处理，令Q2 =0，则考虑动铁有位能为mgx也可，读者可自行验证）。表4-2点的k=1机械的k=2qkqxiQkumg总损耗函数 F = 因L（x）仅是x的函数，磁路是线性的。因而总动能 T=+总位能 V=

19、0抗拉格朗日函数 = TV=+逐项带入式（4-5）后求导，就可得电磁铁的运动方程。先取k=1求激励回路的电压方程： 得 再取k = 2，求动铁的力平衡方程： 得 式（4-39）和式(4-40)即为本题所求。可见运动电动势和电磁力 这一对机电耦合项都自动正确地从上述步骤导出。 图4-5 例4-1的电机示意图【例4-2】 一台p对极隐极电动机如图4-5所示。i设罐路是线性的；定子单相绕组a，电阻为Rs，电感为Ls，电源电压为ua（t），转子两相正交绕组b和c，各自短路，电阻Rb= Rc=Rr，电感Lb=Lc=Lr；定、转子绕组的互感是a、b两绕组轴线之间的机械角位移的函数，Lab=Lba=Mcos

20、 p；Lac=Lca=Msin p；转子的转动惯量为J，旋转阻力系数为，转轴上负载转矩为Tmec，不计轴的扭转变形。试用拉格朗日方程导出电动机的运动方程。【解】确定电机的动力变量，广义损耗系数，以应外来广义驱动力。列表如丧4-3所示。表4-3定子绕组aK=1转子绕组bK=2转子绕组cK=3机械转子K=4qkqaqbqciaibicRkRaRrRcQkua(t)00Tmec 遥项代入式( 4-38)：k=l时，可导出定子绕组a的电压方程，K=2时，可导出转子绕组b的电压方程，K=3时，可导出转子绕组c的电压方程，显然，式( 4-41)、(4-42)(4-43)和(4-44)合起来就是电动机的运动

21、方程。前三式中含有的项都是运动电动势，是后一式右边那项就是电磁转矩。4-5 机电系统运动方程解法概述要确定机电系统对给定激励的响应，分析其运行特性，就要求其运动方程的解，至少要化解和判别出方程的特性。 机电系统的运动方程，一般可分为以下三类：(l)常系数线性微分方程；(2)变系数线性微分方程；(3)非线性微分方程。一个微分方程为线性的充分必要条件是适用叠加原理和有均匀性。如式中t为自变量，f（t）为激励函数，因变量x为响应函数。若系数a1、a0为常量或t的函数，由于方程中x与其导数都不高于一次，可以证明方程适用叠加原理和有均匀性，这是一个两阶线性微分方程，其中a1、a0为常量的，叫常系数线性微

22、分方程；若a1、a0或其一为t的函数，叫变系数线性微分方程。 若方程中的因变量或其导数项高于一次，或出现因变量与其导数的乘积项，则方程将不适用叠加原理，就是非线性微分方程。叠加原理不仅用来辨别方程是否线性，而且是线性微分方程求解的主要依据。如多个激励时，可逐个解出单一激励的响应，然后把这些响应叠加得总响应。 机电系统的运动方程多数是非线性微分方程，其中除少数特殊情况外，现在还无通用的解析求解法。过去用的图解法或手算数值解法，不但是近似的，而且相当麻烦，电子计算机的发展，使非线性微分方程可以采用模拟计算机仿真或状态变量分析法用数字计算机求解，后者将在第八章内介绍。当然，电子计算机也可用来解线性微

23、分方程。 应用计算机求解非线性微分方程的重要性是不言而喻的，但它需要有实际数值才能计算。若仅要求定性地知道系统的变化趋向和各种因素的作用，则用计算机求解未必最好。因此在某些允许条件下，将非线性微分方程线性化，然后进行求解，这在工程上也是个重要的解题手段。 对变系数线性微分方程，除了一阶方程有一定解以外，一般的高阶变系数线性微分方程无一定的求斛方法。常用的方法有两种：一种是方程解用幂级数来表达；另一种是换元法，即旋转电机中的坐标变换法，在旋转电机不考虑磁路饱和影响时，绕组电感仅是角位移口的周期函数，其运动方程的系数为周期性变化，在恒转速下应用坐标变换法可变换成常系数线性微分方程，这将在下一章详细

24、介绍。 对常系数线性微分方程，则不论什么激励总可用解析法求出响应。著名的解析法有经典解法、傅氏变换法和拉氏变换法，并以拉氏变换法用得最多。有些工程问题如系统稳定性、谐波成分等的研究，我们感兴趣的不是解的数值结果，而是方程的特性和系统的行为，这时常应用传递函数，频率响应，框图法或信号流图法来分析。此外，有些用常系数线性微分方程描述的系统，对于正弦激励的稳态响应引用阻抗参数概念，既有明确的物理意义又易于求解，这时应用一个等效电路来表达一组常系数线性微分方程，这一方法也得到广泛使用。 总之，机电系统的运动方程按其不同的类别、特定条件、研究范围和目的，可有不同的求解方法，掌握运动方程的多种基本解法是解

25、决工程问题的基础和重要手段，应认真学习。4-6传递函数、框图和流图法一，传递函数和频率响应系统的特性可用给定激励下具有的输出响应表示。在机电系统中，常用的给定激励有脉冲函数、阶跃函数和正弦函数。 对线性系统应用叠加原理，任何激励的响应可分解为许多具有不同幅值的脉冲响应的叠加，由于脉冲函数具有突变性质，单位脉冲响应可用来有效地描述系统的暂态特性，并在分解线性系统时广泛应用拉氏变换法，因而定义系统单位脉冲响应的拉氏变换式，也就是在复频域内系统对F(p)=1的响应为复频域内的传递函数，记作G( p)。下面用两阶常系数线性微分方程为例，进一步说明传递函数。设某一系统的运动方程为 (4-45)式中a1、

26、a0为常数，对方程取拉氏变换，得 即 （4-46）根据上述传递函数G(p)的定义，F(p)=1，x(0+)=x (0+)=0，代人上式得 （4-47）则 X(p)=G(p)F(p)+(p+ a1) x(0+)+ x (0+) ( 4-48)由上两式可见：(l)改变激励函数只改变F(p)，不同的初始条件只使x(0+)和x (0+)不同，而传递函数G(p)保持不变G(p)仅与系统的参数有关，并包含了运动方程中有关系统本身的一切资料，因此可用来描述系统的自然特性，替代运动方程来分析系统；(2)复频域内传递函数也可定义为：在零初始条件下，系统的输出对输入的拉氏变换之比，即 G(p)= ( 4-49)G

27、(p)还是以p代替系统运动方程中 所得特征函数的倒数。 根据傅氏分析的重要性质，任何一个周期函数都可以展开为含有许多正弦分量的傅氏级数，任何一个非周期函数可以表达为傅氏积分。故对于线性系统的任何激励的响应，还可用系统对各种频率正弦波的响应的叠加来研究。于是，向系统输入随时间正弦变化、单位幅值、频率可以从零连续增大到无穷大的激励函数，在系统输出端获得的响应称为频率响应。它只取决于系统的参数，反映了在不同频率的正弦激励下输入与输出之间的大小和相位关系，常用来描述系统的稳态特性。 因为正弦函数可表达成相应复数相量的虚部，在相量运算中,则微分方程中j；又稳态时方程解中暂态分量为零。所以，频率响应也可定

28、义为：正弦激励下，系统输出对输人之比，记作G（j）。若把传递函数G(p)中的p都换成j，即得频率响应G（j）。故频率响应是传递函数G(p)的一个特例，是复数p为纯虚数j的特殊情况。 此外，令微分算子D=，,从运动方程直接求得系统输出对输入之比，称为实时域内的传递函数，记作g(D)在模拟计算机模拟系统运动方程时常用到g(D)。对线性系统，g(D)与G(p)在形式上完全相同，只要把复频率p替换为微分算子D，就能由G(p)求得g(D)，或反之。但是，g( D)与G(p)的含义是截然不同的，G(p)须经拉氏反变换才能从复频城内回到实时城内。用方框和传递函数表示线性系统如图4-6所示。 图4-6 用方程

29、表示线性系统【例4-3】在圈4-7所示RLC电路中，设u1(t)为输入量，u2(t)为输出量。求这电路的传递函数。图4-7 例4-3的RLC电路【解】电路的微分方程为 u1(t)= +Ri+ u2(t)= 在零初始条件下F，上两式取拉氏变换，得 复频域内和实时域内传递函数G(p)和g(D)分别为G(p) = = g(D) = = = 把G(p)中的p换为j，得频率响应为 G(j)= = =式中，= 为系统的自然频率，=为阻尼比。引用这两个参数可间接反映系统的暂态特性。G(j)还可用其幅值、相位或幅值与相位一起随频率变化的曲线图来描述。 对复杂的线性系统，应用微分方程组来求解系统的传递函数并不容

30、易。此时可将系统分解为若干基础单元，求出各单元的传递函数，应用下述图解法求解。二、框图法 框图是系统的一种图解，是一些指明系统变量流动方向的单向运算方框的相互连接图。每个方框表示单个元件或一组元件组成的基础单元，并且一个方框只用一个传递函数加以说明。然后根据整个系统内的因果关系，应用规定的符号把每个输入、输出连接起来构成系统的框图，在许多情况下，不必建立和求解系统的运动方程，只要应用一套变换规则，经过归并和简单的运算处理就可把系统框图简化成一个等效框图，很快写出系统的传递函数，这种用框图把运动系统分解和合成的分析方法称为框图法因为框图能清楚地把系统中输入、输出、扰动处和信号流动方向表示出来，比

31、用微分方程容易看出更改单个元件或环节对系统的影响，以及各元件或环节在系统总响应中的相互联系。所以，框图在很多工程学中已被广泛使用。 与传递函数相对应，框图也有复频域内框图和实时域内框图之分。本小节主要讲前者，它常用来研究线性系统在零初始条件下的一般性能（如稳定度，响应速度等）；当初始条件不为零时，则通常要把初始条件作为一种输入单独表示出来。实时域内的框图不需另行考虑初始条件，又可用来描述非线性系统，这将在下节中结台模拟计算机仿真加以介绍。 表4-4和表4-5分别列出框图的基本符号及其等效变换。表4-4 框图的基本符号表4-5的前7项不难理解。第8项原来框图是一个含有反馈回路的系统典型框图。X是

32、被控制的输出量，F是基准输入量R是与输出量成正比的反馈变量，在负反馈（图中号取号）时，F与R之差为误差变量E它通过相当于放大器的方框G产生和控制输出量X其中G称为前向传递函数，H称为反向传递函数，称为闭环传递函数，当H=1时称为直接反馈。这个等效变换可按原来框图的变量关系证明如下： (FHX)G=X （4-50）即 FG=XGHX (4-51)【例4-4】试将图4-8所示的两节RC电路用框图表示，并加以简化。 图4 8 例4 4的电路【解】先引入三个中间变量u2，i1，i2 如图所示，使四个元件各用一框图表示。各元件的电压与电流关系为R1 ： i1 = C1 ： u2 = R21： i2 =

33、C2 ： u3= 取拉氏变换后的方程为R1： I1(p) = C1: U2(p) = R2： I2 (p) = C21: U3(p) = 据此可画出四个元件框图如图4-9的四个分图所示（当熟练后，可直接按照电路中各元件的电压与电流关系画出元件框图）。 （a） （b） （c） （d） 图4-9 图4-8电路的元件框图（a）R1;（b）C1;（c）R2;（d）C2把四个元件的框图顺着各变量的流向从输入到输出全部连接起 来，得图4-10（a）所示的电路框图。按照等效变按规则逐步简化框图，依次得到图4-10(b)，(c)，(d)，(e)，(f)。最后可写出电路的传递函数为G(p)= (4-52) （a

34、） （b） （c） （d） （e） （f） 图4-10 图4-8电路框图及其简化(a)图4-8电路的框图；(b)第一个求和点移到方框后面，量后一个分裂点移到方框前面；（c）第一、二个求和点交换位置，并消去两个反馈回路；（d）中间两个方框串联合并；(e)消去反馈回路；（f）三个方框串联合并。三、信号流图法 信号流图是系统的又一种图解，相应的信号流图法比框图法更加简便，现在已出现一门普通信号流图代数学，导出了许多可写出系统任两个变量间函数关系的公式，使用范围日益扩大。 信号流图简称流图，是由一些称为支路的定向直通线段和称为节点的小圆点连接起来的网络图。每个节点对应一个称为点信号的系统变量或常量，信

35、号只沿着支路上标出的箭头方向流动，每条支路旁还标有支路传递函数，单向地把一端节点的点信号乘上支路传递函数流给另一端节点多支路节点的点信号，等于所有输入支路流给它的信号的总和。仅有输出支路的节点称为源节点或源点，仅有输入支路的节点称为汇节点或沟点，除了源点（信号就是它本身）以外，流图上每个节点流图（包括该节点及其全部输入支路）都对应一个说明该节点信号成因的方程，由不包括源点在内的全部节点方程构成的方程组就是系统微分方程的变换式。例如图4-11所示有四个节点和六条支路的流图。X1是源点，X1=X1，其它三个节点X2、X3、X4的方程构成线性方程组，如下 图4-11 一个典型的流图 (4-53)信号

36、流图中，连续的单向的支路组合称为路径。从源点通向沟点的途中，每个节点只通过一次的路径称为正向路径。例如图4-11中只有两条正向路径，即X1X2X3X4和X1X3X4 。起始和终止在同一节点上，其它各节点只通过一次的路径称为回路，或称为环。只有一条支路的回路称对自环，是环的一个特例。没有公共节点时若干个回路称为不相接回路。正向路径中各个支路传递函数的乘积称为正向路径传递函数。回路中各个支路传递函数的乘积称为回路传递函数。从源点到一个指定节点的总传递函数称为图传递函数。与框图法类似，流图也可以简化，以便写出系统传递函数。流图的简化规则如表4-6所示，其中要说明两点：(1)规则3可用于中间节点有多条

37、输入支路和多条输出支路，中间节点消去后，原通过该节点的各路径与对应支路的传递函数分别保持不变。规则4是规则3的流图当d =0和X2 = X3.时的特例；(2)规则5可用于X2节点有多条输入支路和多条输出支路当消去传递函数为b的自环时，应将所有输入支路的传递函数分别除以（1b），或用X2替代X2，将所有输出支路的传递函数分别除以(1b )。 信号流图也可以不简化，应用公式来计算图传递函数G(p)，其中最基本的梅森公式为 （4-5）式中：N为正向路径数；Gk为第k条正向路径的传递函数；为流图行列式，=1所有回路的传递函数之和 十所有不相接回路每次取两个回路传递函数的乘积之和 一所有不相接回路每次取

38、三个回路传递函数的乘积之和 十所有不相接回路每次取四个回路传递函数的乘积之和为第k条正向路径的路余因子，即 =除去第k条正向路径及与它相接的回路，余下的流图的值表 4-6 流图的简化规则【例4-5】试画出图4-8所示两节RC电路的流图，并求出传递函数。【解】参照例4-4，引入 、 、，列出四个元件拉氏变换后的方程如下： 据以上方程，对应分别画出四个节点流图如图4-12的四个分图所示。 图4-12 图4-8电路的节点流图 （a）；（b）；（c）；（d） （a） （b） （c） （d） （e） 图4-13 图4-8电路的流图及其简化（a）电路的原流图；（b）简化前后两条回路（规则4）；（c）消去前

39、一个自环（规则5）；（d）简化回路（规则4）后两个自环合并（规则2）；（e）消去自环（规则5）后串联合并（规则1）。把四个节点流图从输入到输出连成电路的流图如图4-13（a）所示。下面用两种方法求解传递函数：1、简化流图求传递函数按照等效简化规律逐步简化流图，依次得图4-13（b）、（c）、（d）、（e）。由图4-13（e）可得电路的传递函数为 2、应用梅森公式求传递函数据图4-13（a）的流图可得：正向路径数N=1，经过所有节点，其传递函数为有3条回路：A: ， B: ， C: , 不相接回路有2个：回路A与回路C。因此行列式为 正向路径与其他相连的回路除去后没有流图，则路余因子为1 =10

40、 =1代入公式，G(p)= 本例表明，用流图的两种方法求解G(p)，与例4-4用框图法求解结果都完全一致。47 方程线性化和模拟计算机仿真一、非线性微分方程线性化机电能量转换是一个非线性过程，机电系统的运动方程几乎都是非线性微分方程。如系统在小信号和小振幅运动时，则可将非线性微分方程线性化后求解。非线性方程线性化的要点是：当系统变量离开稳定运行点的偏差足够小时，将偏差量（或称微增变化量）的两次或多次乘积各项都略去。具体如下。先设个变量为稳定运行点的常量（以下标为0的大写字母表示）与偏差量（以下标为1的小写字母表示）之和。如机电装置中 （4-55） 对方程的变量乘积项，用上式代入后略去偏差量的乘

41、积项。例如。对非线性参数则可对稳定运行点按泰勒级数展开，然后略去偏差量的乘积项，求得偏差量的乘积项，求得线性比。以非线性电感为例，x2 （4-56）并 （4-57）将上述经线性化后的变量和参数，代人非线性方程，即可求得以偏差量表示的线性微分方程。以上是对方程线性化的一般说明。通常在线性化前，还应证明系统有稳定运行点；最后还需估算线性化近似的准确度。图4-14 例4-6的电磁铁【例4-6】图4-14所示的直流电磁铁。设无电时x=0，已知u，R,，m，Re，K咀匣L(z)一啬。为了分析这电磁铁微小扰动的响应，试将它的运动方程线性化。 【解】 仿例4-1，写出这装置的运动方程为 (4-58)式中是运

42、动电动势，是电磁力。由于方程中含有变量与变量的乘积项，两个方程都是非线性微分方程。 首先确定装置的稳定运行点存在的范围。设装置在某一稳定运行点工作时电压U0、电流I 0、电感L0，位移X0 皆为常量。代入式(4-58)则得 RI0=U0 (4-59) (4-60)上式左边是弹力，右边是电磁力fm，都是X0的函数。在0 X0 范围内分别作曲线如图4-15所示。两曲线的交点才是满足上式的运行点。 图4-15 电磁铁的稳定运行点当Uo =U 01时，两曲线无交点，说明电磁力总大于弹力，砖铁被吸合到x=的位置； 当U0=U02时，两曲线只有一不稳定运行点B； 当U0=U03时，两曲线有两交点； C为稳

43、定运行点，A为不稳定运行点。 可见，电源电压必须小于U02，才能对式（4-58）线性化。先按式（4-55），设变量为常量与偏差量之和： （4-61）然后把电感按式（4-56）和式(4-57)表达为 （4-62） 再把上两式代入( 4-58)得 （4-63） （4-64）上两式用式( 4-59)和式(4-60)代入化简，并略去全部变量乘积项，即得电磁铁线性化后的运动方程为 （4-65）最后估算一下线性化近似准确度。例如可从与正确的比较入手，设x1的最大摆幅引起的;则L0(1+ )=L0 ;而 L0(1)1 = L0，表明在电感上产生的4%误差，等等。 二、模拟计算机仿真 当系统是大扰动情况，或方

44、程线性化后求解不能满足要求时，可应用模拟计算机来直接模拟系统或模拟它的非线性微分方程组，在显示记录装置上获得定量的解，并可研究改变任一参数对输出响应的影响。这对机电装置的优化设计及其模拟试验都是很有价值的。在模拟计算机中系统方程的变量都用电压表示，系统方程的仿真模型是在一块插孔板（称为模拟编排板）上，用插接线把有关的模拟运算部件互相连接起来组成的。一台模拟计算机备有许多可选用的模拟运算部件，每个模拟运算部件实现一种（或几种）数学运算。基本的线性运算部件有乘一个常数用的常系数器，符号变换器，加法器，积分器等；非线性运算部件有乘法器，函数发生器，典型非线性部件等。表4-7列出了这些部件的符号和功能

45、，在近代模拟计算机中还有大量的模拟存储部件，数学逻辑部件，以及数模混合运算部件等。本小节不作介绍。 要用模拟计算机建立系统的仿真模型，并进行调试，运行及解题，通常要先画出该系统的模拟计算机运算框图，简称模拟图。它实质是上节讲过的一种实时域内的框网，具有两大特点: 表(l)模拟图中一般不用微分器。因为微分器会放大高频干扰，引起计算机电路不稳定。所以在模拟图中，徽分运算总化为逆积分运算。例如变量u的两阶导数，是靠两个积分器串联在输入端上获得的，如图4-16所示。 图4-16 两阶导数模拟图一般画不包含微分器的模拟圈有两条途径：一是把系统的运动方程适当地移项，改写成最高阶导数项等于其它各项之和的形式

46、，然后应用表4-7的符号对应画出多次积分的模拟图；另一是按照框图法，从系统的基础单元出发，直接画出系统的模拟图。两条途径画的模拟图都要尽量简化，使应用的模拟运算部件减至最少。 （2）系统变量应用模拟计算机的电压表示，由于机器电压有规定的最大值（如l00V或10V），因此先要恰当选择变量的幅度比例尺，使实际变量的最大值和幅度比例尺之积接近(0.91)模拟机的最大允许电压值，它既不应过大，又不应过小，以免影响解题的准确度；其次，考虑记录装置等许可响应时间，还要恰当选择时间比倒尺，使模拟机上复现系统的动态过程时间（实际时间乘以时间比例尺）在几秒（或几分）之内，利于观察研究系统的动态特性。于是，实用的

47、模拟图应该是引入比例尺后的模拟图。通常引入比例尺也有两条途径：一是在系统的运动方程中，引入幅度和时间比例尺，把方程转换成数量上适合模拟计算机运行的微分方程，然后画出模拟图；另一是先画出系统的模拟图，然后按比例尺修改图中的系数，得到引入比例尺后的模拟图。 【例4-7】RLC串联电路如图4-17所示。已知：R=1L=100mHC=100和u=100V。开关闭合时定为图t=0此时i(0+)=0，q（0+）= 1000。试画出求解电路电流用的模拟运算框图。 图4-17 例4-7的RLC电路【解】电路的微分方程为移项后最高阶导数项等于其它各项之和，即 (4-66)为使解题具有一般意义，数据暂不代入。设时间比例尺为a，电源电压和电流的幅度比例尺分别为1和2，则得 （4-67）上式代入式( 4-66)，整理得 （4-68）据此画得系统方程的模拟运算框图如图4-18（a）所示。图中三个方框当其系数确定后要修正为实用的常系数器。假如模拟机电压的最大值是100V，则根据已知数据确定比例尺：，u=100V，取=1 (a) (b)图4-18 例题4-17电路的模拟运算框图，imax= A=100A，取=1；电路的自然振荡角频率，