王清林毕业论文

1、本科毕业设计（论文）不等式的证明与应用 学 院_应用数学学院_ 专 业_信息与计算科学_ 年级班别_2010级（2）班_ （信息计算方向） 学 号_ 3110008342_ 学生姓名_王清林_ 指导教师 李建平 2014年5月30日摘 要在数学中不等式十分重要，而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分。在本文中，初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法、换元法、构造法等等。在高等数学不等式的证明中经常利用一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式、绝对值不等式、伯努利不等式等等。通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实

2、际应用问题。关键词 不等式；比较法；著名不等式；应用AbstractInequality is very important in mathematics, inequality and proof is an important part of knowledge. In this paper, the elementary mathematics inequality analyst is often used with comparison method, synthetic method, analysis method, the reduction to absurdity, zoo

3、m method, mathematical induction, change element method, construction method and so on. In higher mathematics inequality analyst frequently use some famous inequalities, such as: average inequality, cauchy inequality, Jensen's inequality,holder inequality, inequality of absolute value, Bernoulli

4、 inequality and so on. By studying these proofs, can help us to solve some problems in practical application.Key words inequality; comparison method; famous inequalities; application 目 录1 绪论.1 1.1 不等式的研究背景.1 1.2 不等式的研究方法和目的.3 1.3 论文的研究内容.42 不等式及其性质.5 2.1 不等式的基本概念.5 2.2 不等式的性质.53 不等式的证明方法.6 3.1 比较法.6

5、 3.1.1 差值比较法.63.1.2 商值比较法.63.2 综合法.73.3 分析法.73.4 反证法.83.5 放缩法.83.6 数学归纳法.93.7 换元法.93.7.1 几何换元法.93.7.2 利用对称性换元，化繁为简.103.7.3 增量换元法.10 3.7.4 三角换元法.11 3.7.5 均值换元法.11 3.7.6 向量换元法.12 3.7.7 和差换元.12 3.7.8 局部换元.133.8 构造法.13 3.8.1 构造函数.13 3.8.2 构造方程.133.8.3 构造图形.14 3.8.4 构造数列.14 3.8.5 构造向量.153.9 应用不等式证明不等式.16

6、3.9.1 均值不等式.16 3.9.2 柯西不等式.163.9.3 詹森不等式.17 3.9.4 赫尔德不等式.17 3.9.5 绝对值不等式.18 3.9.6 伯努利不等式.184 不等式的应用204.1 解不等式(组).204.2 求函数的定义域.204.3 求函数的值域.214.4 求函数的最值.214.5 确定函数的有界性.224.6 讨论函数的单调性.224.7 证明极限.234.8 求解析几何的范围.24结束语.25参考文献.26致谢.281 绪论1.1 不等式的研究背景不等式是数学基础理论的一个重要组成部分，它是刻画现实世界中不等式关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，是研究

7、数量大小关系的必备知识，是我们进一步学习数学和和其他学科的基础和工具。数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起，东欧国家有一个较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家。目前，对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事情，分别是：Chebycheff在1882年发表的论文和1928年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲，Hardy，Littlewood和Polya的著作Inequalities的前言中对不等式的哲学(philosophy)给出了有见地的见解：一般来讲初等的不等式应该有初等的证明，证明，证明应该是“内在的”，而且应该给出等号成立的证明(

8、Generally an inequality that is elementary should be given an elementary proof，the proof should be “inside” the theory it belongs to，and finally the proof should try to settle the cases of equality )。A.M.Fink认为，人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式(One should try to state and prove an inequality so that it cannot be

9、generalized)。Hardy认为，基本的不等式是初等的(The fundamental inequalities are elementary)。自从著名数学家G.H.Hardy，J.E.Littlewood和G. Polyad的著作Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以来，数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场，成为一门新兴的数学学科，从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合，它已发展成为一套系统的科学理论。20世纪70年代以来，国际上每四年在德国召开一次一般不等式(General Inequalities)国际学术会

10、议，并出版专门的会议文集。不等式的理论也是2000年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会(“The Third World Congress of Nonlinear Analyses”)(WCNA-2000)的主题之一。2000和2001年在韩国召开的第六届和第七届非线性泛函数分析和应用国际会议(International Conference on Nonlinear Functional Analysis and Applications)与2000年在我国大连理工大学召开的ISAAC都将数学不等式理论作为主要的议题安排在会议日程之中。2001年的不等式国际会议INEQUALITI

11、ES于2001年7月9日至14日在罗马尼亚University of the West召开。历史上，华人数学家在不等式领域做出过重要贡献，包括华罗庚、樊畿、林东坡、徐利治、王忠烈、王兴华等老一代数学家。最近几年我国有许多数学工作者始终活跃在国际数学不等式理论及其应用的领域，他们在相关方面做出了独特的贡献，引起了国内外同行的注意和重视。例如王挽澜教授、石焕南教授、杨必成教授、高明哲教授、张晗方教授、杨国胜教授等。20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮。20世纪80年代杨路等教授对几何不等式研究的一系列开创性工作，将我国几何不等式的研究推向高潮；在代数不等式方面，王挽澜教授

12、对Fan ky不等式的深入研究达到国际领先水平。祁峰教授及其所领导的研究群体在平均不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果；对分析不等式，胡克教授于1981年发表在中国科学上的论文一个不等式及其若干应用5，针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为“一个杰出的非凡的新的不等式”，现在称之为胡克(HK)不等式。胡克教授对这个不等式及其应用作了系统二深刻的研究。目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果。例如匡继昌先生的专著常用不等式一书由于供不应求，在短短的几年内已经出版了第二版，重印过多次。对于数学专著来讲，这是少有的现象。第二本较有影响的专著是王松桂

13、和贾忠贞合著的矩阵论中不等式。另外，国内还有一个不等式研究小组比较活跃，主办一个不等式研究通讯的内部交流刊物，数学家杨路先生任顾问。综上所述，数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达，已有突飞猛进的发展。不等式广泛用于自然科学、工程科学、国民经济(如金融、管理等)、人文社会科学(如语言学、心理学、历史、文学、艺术等)相关学科。则学生对不等式知识积累的多少，不等式知识的学习，将直接影响到其他数学内容及相关学科的学习。因此，学习不等式是很有必要的。1.2 不等式的研究方法和目的方法：文献研究法：对国内外的比较有代表性的研究成果进行全面的研究分析，主要查阅期刊网中的文献及相关著述的书籍，进而把握不等式在

14、数学中的证明与应用。描述性研究法：结合所学知识，对不等式的证明与应用进行分析，然后进行归纳和整理。目的：在有关高等数学书中，不等式的类型和解题方法有很多，解题时往往选择不到最有效的方法。如何针对不同类型的不等式，选择最有效的解题方法，也就尤为重要。与此同时，对不等式归纳、总结的教材和论文并不是很多，加之有些问题的处理并不完善，所以对不等式证明的方法进行归纳和总结，并结合具体实例进行探讨是非常有必要的。其一，本文完善了不等式在数学中的应用研究，通过对不等式的学习，能够增强学生自主探究数学问题的能力，同时掌握数学问题的立足点和基本思想。其二，通过本论文的研究，希望为数学教学提供一定的参考价值，论文

15、系统地描述了部分不等式的证明与应用。最后，通过不等式应用探究，增强学生数学应用意识和掌握如何应用结论的基本方法，并培养学生看问题、想问题和解决问题的思维。1.3 论文的研究内容不等式是数学研究的一个基本问题，不等式的思想也贯穿在数学的许多领域，在许多方面都有应用，所以有效的证明不等式很重要。虽然在“数学分析”和许多论文中都有不等式的相关内容，但仅限于某个知识领域的应用，并没有对不等式证明方法及应用进行全面系统的概括和总结，所以在此将对不等式证明的常用方法、一些著名不等式的具体应用进行系统的归纳和总结，以便对不等式有进一步的理解和认识。本文仅总结了本人较熟悉的不等式，对它们进行证明和一些应用。本

16、文参考了许多图书、期刊及学术论文，将不等式的证明与应用系统地叙述出来。第1章介绍全文的研究背景、研究方法和目的、研究内容。第2章介绍了不等式及其性质第3章归纳了不等式证明第4章总结了不等式的应用2 不等式及其性质作为表达同类量之间的大小关系的一种数学形式，不等式必须在定义了大小关系的有序数集上研究，一般在实数域(有时在有理数域) 上讨论。由于复数域内无法定义大小关系，所以复数域与不等式“无缘”。2.1 不等式的基本概念定义1 用不等号连结两个解析式所成的式子，叫做不等式。常用的不等式有两类：“>”和“<”，叫做严格不等式；“”和“”叫做非严格不等式。下面引进一个特殊符号“”，它表示

17、“>”、“<”中的任意一种；有时还使用“”，表示与同一命题中的“”相反的不等式。定义2 形如的式子，叫做关于变元(或未知元)的不等式。2.2 不等式的性质不等式的主要性质可概括如下：(1) (对逆性)若，则；反之，若，则。(2) (传递性) 若，则。(3) (加法单调性)若，则。(4) (乘法单调性) 若，则；若，则。(5) (相加法则)若，则。(6) (相减法则)若，则。(7) (相乘法则)若，则。(8) (相除法则)若，则。(9) (乘方法则)设，若，整数，则。(10) (开方法则)设，若，整数，则。3 不等式的证明方法不等式的证明方法多种多样，以下列举了一些常用方法，并举例说

18、明。3.1 比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一。比较法是直接作出所求证不等式两边的差(或商)，然后推演结论的方法，可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。3.1.1 差值比较法比较两个实数、的大小时，根据，欲证 ，只需证。它的应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。例1 已知：，求证： 。证明 因为，则故得 。3.1.2 商值比较法一般在，均为正数时，借助或来判断其大小，步骤为：作商变形判断（大于1或小于1）。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。例2 设，求证：。证明 因为 所以 ，而 故 。3

19、.2 综合法综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。例3已知，求证：证明 因 则 1= 又因为 故 。3.3 分析法从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。例4 已知、为正数，求证：证明 要证：只需证： 即：因为 成立故原不等式成立。3.4 反证法先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾

20、，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。例5 已知，是大于1的整数，求证：.证明 假设 则 即 故 这与已知矛盾，所以。3.5 放缩法在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。例6 求证： 证明 故得证。3.6 数学归纳法对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，

21、还能证明不等式在时也成立，那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立。例7 证明不等式.证明（1）当时，左边=1，右边=2，左边<右边，不等式成立。（2）假设时，不等式成立，即。那么当时， 这就是说，当时，不等式成立。由（1）（2）可知，原不等式对任意自然数n都成立。3.7 换元法 在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。3.7.1 几何换元法例8 设是三角形的三边长，求证。证明 ，其中均大于0，则欲证的不等式等价于而证毕。在ABC中，内切圆交AB、BC、CA分别于D、E、F，如图，则可设，其中均大于0，几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意

22、两边之和大于第三边的不等关系的功效。3.7.2利用对称性换元，化繁为简例9 设，求证：。证明 令则 ,原不等式可化为:,将代入上式得:,又由已知条件可知,成立,而上述过程可逆,因此原不等式成立。3.7.3 增量换元法若一变量在某一常量附件变化时，可设这一变量为该常量加上另一个变量。例10 n个正数他们的和是1，求证证明 利用增量代换可设，3.7.4 三角换元法指将不等式中的字母换成角的三角函数形式再用三角知识解题。例11 已知，求证： 证明 由，可设则3.7.5均值换元法例12 已知且，求证：。证明 因为且所以设 则 即原不等式得证。3.7.6 向量换元法 利用来考虑问题的一种方法。例13 设

23、任意实数满足，求证： 证明 设，则有由，再两边平方得所以即3.7.7 和差换元 在题中有两个变量，可设，这称为和差换元法。例14 对任意实数，求证证明 设只需证则右边-左边成立所以即3.7.8 局部换元例15 已知，求证：证明 令，则所要证的不等式等价于，即等价于成立则得证3.8 构造法 通过构造函数、方程、图形、数列、向量等来证明不等式。3.8.1 构造函数（三角代换法）借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。例16 已知：，求证：。证明 原式可化为令，则 不等式得证。 3.8.2 构造方程（判别式法）通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明

24、的不等式。例17 已知，求证：。证明 构造 则 由知： 有两个不等的实数根 所以当时，显然成立。故不等式得证。3.8.3 构造图形（借助几何法）借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。例18 已知：，且，求证：。证明 (如图)以为斜边，为直角边作.延长AB至D，使，延长AC至E，使，过C作AD的平行线交DE于F，则，令，所以 又，即，所以 。 3.8.4 构造数列 根据题目的具体结构与特点，构造数列来证明。例19 证明对于一切大于1的正整数n，有证明 构造数列 因为 所以数列为递增数列，又因为n是大于1的正整数，所以，当且仅当时等号成立。故原不等式成立。3.8.5 构造向量有一类分式

25、不等式可通过构造向量并利用来证明。例20 已知，试证。证明 构造向量 由有 平方整理后，可得 故不等式得证。 在不等式证明中，利用已知不等式常能收到事半功倍的效果。以下讨论几个数学中广泛使用的著名不等式。3.9 应用不等式证明不等式3.9.1 均值不等式一般地，假设为n个非负实数，它们的算术平均值记为，几何平均值记为 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系： 即，当且仅当时，等号成立。例21 已知a，b，c为互不相等的正数，且，求证：证明 因为故原不等式得证。3.9.2 柯西不等式对任意两组实数,有，当且仅当与对应成比例，即时等号成立。例22 证明不等式：证明 因为， 根据柯西不等式，可得 把

26、上述两个不等式相加，再除以 即可得成立。3.9.3 詹森不等式若为上凸函数，则对任意，有 例23 证明不等式，其中均为正数.证明 设 由的一阶和二阶导数可见，在时为严格凸函数.依詹森不等式有从而即又因所以 3.9.4 赫尔德不等式对任意的非负数有 其中,满足，其中当且仅当成比例时取等号。例24 设为正常数，求证： 证明 即3.9.5 绝对值不等式例25 已知求证证明 因为，所以故得证。3.9.6 伯努利不等式对实数，在或时，有成立；在时，。例26 设是自然数，证明：证明 等式两边同时除以得：而则所以得证。4 不等式的应用 不等式理论在数学研究和科学技术中有着广泛的应用。本文主要介绍解不等式(组

27、)，运用不等式求函数的定义域、值域，求解函数的最值，研究函数的有界性和单调性，解决极限问题，解析几何的范围。4.1 解不等式(组)不等式的解法可以与方程的解法作类比，只是方程的解集通常是离散的，而且在许多情形下只含有限多个数值解；而不等式的解集通常是连续的，往往以区间形式给出，含有无限多个数值解。例27 解不等式解 原不等式同解于下面的不等式组:即也就是所以，原不等式的解集为4.2 求函数的定义域函数的定义域在原问题没有指明的情况下，就是使函数解析式有意义的自变量的容许值集合。例28 求函数的定义域解 满足解不等式组，得所以函数的定义域为4.3求函数的值域 函数的值域是对应于函数定义域的函数值

28、集合。例29 求函数的值域解 原式中，将原式化为解出，得上式的定义域是因此，所给函数的值域是4.4 求函数的最值 由不等式，当且仅当时取等号，可通过此不等式求最值问题。例30 求函数的最小值解 因为所以当时，有最小值4。4.5 确定函数的有界性 若存在正数M，对于函数的定义域(或其子集)内的一切值都有成立，那么叫做在定义域(或其子集)上的有界函数；否则这个函数就是无界的。例31 证明函数是有界函数证明 的定义域为R，当2R时，因此，是有界函数。4.6 讨论函数的单调性对于给定区间E上的函数，如果对于任意，有，则称在区间上是增函数(或者说是单调递增的)。反之，如果，则称在区间上是减函数(或者说是

29、单调递减的)。例32 讨论函数的单调性解 函数的定义域是，当时， 因为，所以的正负取决于的正负。1 当时，有所以则2 当时，有 则3 当时，有 则。4 当，有则。因此，函数在区间上是减函数；在区间上是增函数。4.7 证明极限不等式在极限证明中有许多运用。例33 证明证明 令，则；由伯努利不等式得或现任给正数，由上式可见当时，有，即4.8 求解析几何的范围 解析几何的范围问题主要指直线或圆锥曲线以及两者位置关系中字母参数的范围。例34 已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两个交点，分别为，求的斜率的取值范围。解 设直线的斜率为，由条件易知，则直线的斜率为，直线的方程为：并代入双曲线方程

30、得： (1)由与双曲线有两交点，方程(1)中得，以去换得所以即且，故取值范围是。结束语 本论文将多种常见的不等式的证明方法列出，并列举了几种著名不等式证明不等式方法，这仅仅是我所熟知的一些不等式证明方法。不同的不等式有不同的证明方法，每一种证明方法都有例题说明，在于更好地分析不等式的证明方法。证明不等式时，应全面分析、思考问题，文中的证明方法可以解决部分题型；而有的题型认真研究可化为熟悉的题型来解决。不等式的证明中，有些题型有多重求解方法，应该研究分析，争取用最合适的证明方法使证明过程简化，让读者容易明白。不等式的应用中，叙述了一些不等式在数学中的基础应用，这样对不等式的认识会更加清晰。参考文

31、献1 祁峰.浅谈数学不等式理论及其应用J.焦作大学学报，2003，(2)：59-64.2 李长明,周焕山.初等数学研究M.北京:高等教育出版社,1995：252-263.3 肖丽娜.不等式的几种证明方法J.中国电子商务，2012，(5)：141-142.4 韩新生.激励_讨论_发现_分析法证明不等式J.中学数学，2003，(3)：26-28.5 周顺钿.用反证法证明不等式J.中学数学研究，2004，(4)：35-36.6 张淑英.用放缩法证明不等式J.学周刊C版,2011，(3)：134.7 刘艳.数学归纳法的原理及应用J.山西经济管理干部学院学报，2011，19(3)：135-137.8 柳思彤，魏春强.例谈用换元法证明不等式J.大观周刊，2012，(27)：159-160.9 邬炬.例谈不等式证明的几种特殊方法J.商情，2009，(21)：75.10 胡如松.垂足三角形的几个有趣性质及其猜想J.福建中学数学，2004,(5):23-25.11 陈炳堂