电磁场与电磁波基础(第6章)

1、第第6 6章章 自由空间中的自由空间中的电磁波电磁波 J自由空间是一个没有电荷因而也就自由空间是一个没有电荷因而也就不存在电流的空间。不存在电流的空间。 这并不是说在这并不是说在整个空间中没有源存在，而只是指整个空间中没有源存在，而只是指在我们所感兴趣的区域不存在源，在我们所感兴趣的区域不存在源，这个区域应有这个区域应有 =0和和 =0。 J这样，一般形式的麦克斯韦方程式组就变得特别简单，即为：这样，一般形式的麦克斯韦方程式组就变得特别简单，即为： 0E/EBt 0B2/cBEt 自由空间？自由空间？自由空间中存在着电波（自由空间中存在着电波（ 波）和磁波（波）和磁波（ 波）？波）？BE表明：

2、变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场产生变化的表明：变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场产生变化的电场，二者相互依存。电场，二者相互依存。 (波长波长)观看波形图观看波形图1. 波的数学形式波的数学形式J J6.6.波的数学描述波的数学描述自变量为（自变量为（z-vtz-vt）的函数）的函数f f（z-vtz-vt）表示以速度）表示以速度 v v 沿着沿着 Z Z 方向传播的行波（方向传播的行波（Traveling waveTraveling wave） 沿着沿着 Z Z 方向传播的行波方向传播的行波 以速度以速度v v向前传播的波向前传播的波任何变量为任何变量为(z-vt)(z-vt)的函数

3、所描述的波是随时间变化沿着的函数所描述的波是随时间变化沿着z z轴正方向传播轴正方向传播; ;任何变量为任何变量为(z+vt)(z+vt)的函数所描述的波则是随时间变化沿着的函数所描述的波则是随时间变化沿着z z轴负方向传播轴负方向传播 222221tvz则表示一个随时间和空间变化的任意函数，例如，力、则表示一个随时间和空间变化的任意函数，例如，力、位移或概率。位移或概率。 v表示函数表示函数 的传播速度的传播速度例例：试试证证vtzgvtzf满足一维波动方程满足一维波动方程 证明：证明： 首先考虑函数首先考虑函数 ffzvtfzvtfzvtz则有则有问问题题vtz 以以和和为变量的函数满足一

4、维波动方程？为变量的函数满足一维波动方程？vtz 二阶导数二阶导数 22ffzvtz函数函数 对时间的导数则为对时间的导数则为 ff zvtf zvtv fzvtt 22222ff zvtv fzvttt所以有所以有 222221ffvtz根据叠加定理，我们就证明了根据叠加定理，我们就证明了 满足一维波动方程。满足一维波动方程。 f zvtg zvt并且并且对于函数，对于函数， 也可以得出类似的结果。也可以得出类似的结果。 gg zvt6.2 6.2 均匀平面波与三维波动方程均匀平面波与三维波动方程 定义定义平面波，是三维波中最简单的一种。这个波在空间平面波，是三维波中最简单的一种。这个波在空

5、间传播过程中，对应于任意时刻传播过程中，对应于任意时刻t t，在其传播空间具，在其传播空间具有相同相位的点所构成的等相位面（也称为波阵面有相同相位的点所构成的等相位面（也称为波阵面即波源发出的电磁波经相同时间到达的各点组成的即波源发出的电磁波经相同时间到达的各点组成的面。面。 ）为平面，于是就称其为平面波。）为平面，于是就称其为平面波。 观看波形图观看波形图均匀平面波是研究起来最简单同时也是最均匀平面波是研究起来最简单同时也是最容易理解的。容易理解的。均匀（均匀（UniformUniform）: :在任意时刻，在所在的在任意时刻，在所在的平面中场的大小和方向都是不变的。平面中场的大小和方向都是

6、不变的。 理解理解 在距离电磁波的激励源很远处，球面波阵在距离电磁波的激励源很远处，球面波阵面上的一小部分可视为平面，该处的电磁波可面上的一小部分可视为平面，该处的电磁波可称为均匀平面电磁波。称为均匀平面电磁波。 或或2222222221tvzyx三维三维波动方程：波动方程：22221tv三个一维波叠加起来所得到结果也将会满足三维波动三个一维波叠加起来所得到结果也将会满足三维波动方程方程 证明：证明：vtzZvtyYvtxX（三个一维波叠加）（三个一维波叠加）（代入三维波动方程）（代入三维波动方程）2222222zyxvtzZvtyYvtxXzyx222222222222222zvtzZyvt

7、yYxvtxXvtzZvtyYvtxX 类似地有类似地有 vtzZvvtyYvvtxXvt 22222这样便证明了函数这样便证明了函数: vtzZvtyYvtxX满足三维波动方程满足三维波动方程 22221tv6.3 6.3 电波与磁波电波与磁波 已知已知方程二两边取旋度得方程二两边取旋度得()(/)EBt 假设假设 是空间和时间无关的函数是空间和时间无关的函数, ,那么我们就可以将上式右边的运那么我们就可以将上式右边的运算顺序交换算顺序交换, ,并在其左边运用矢量三重积恒等式，有并在其左边运用矢量三重积恒等式，有 B与上一节中给出的与上一节中给出的三维波动方程形式相同三维波动方程形式相同 2

8、()EEBt （2)EEtt21 （c222EEt21c0E/EBt 0B2/cBEt 关于电波关于电波2001c由于由于上式还可表示为上式还可表示为22020EEt 0此式又被称为亥姆霍兹方程（此式又被称为亥姆霍兹方程（Helmholtz equationHelmholtz equation）。）。亥姆霍兹磁场方程的导出亥姆霍兹磁场方程的导出变化的电场产生磁场变化的电场产生磁场两边取旋度得两边取旋度得2/cBEt 假设假设 是空间和时间无关的函数是空间和时间无关的函数, , 左边运用矢量三重积恒等式，有左边运用矢量三重积恒等式，有 E2()/cBEt 22cBBEt 与上一节相类似的推导，与

9、上一节相类似的推导，我们可以推断在自由空间中也存在着以我们可以推断在自由空间中也存在着以光速传播的磁波光速传播的磁波 亥姆霍兹磁场方程亥姆霍兹磁场方程22020BBt 0关于磁波关于磁波理想介质理想介质 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 在时谐时情况下，将在时谐时情况下，将 、 ，即可得到复即可得到复矢量的亥姆霍兹方程。矢量的亥姆霍兹方程。222t tj 瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量22222200ttEEHH222200kkEEHH()k 0yxzEEEExyz由于由于 设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想介质。均匀平面波沿介质。均

10、匀平面波沿 z 轴传播，则电场强度和磁场强度均不是轴传播，则电场强度和磁场强度均不是 x和和 y 的函数，即的函数，即0 ,0EEHHxyxy0zEz0zE 222222dd0 ,0ddEHk Ek Hzz2220zzEk Ez同理同理0yxzHHHHxyz0zH 结论：结论：均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播 方向方向 横电磁波（横电磁波（TEM波）波）6.4 6.4 自由空间中的均匀平面波自由空间中的均匀平面波 1jjj111 m( )eeexkzkzxxEzAE1jjj11 m1 m1( , )Reeeecos()xkztxxxx

11、Ez tEEtkz0)(d)(d222zEkzzExxk)()(zEezExx设电场只有设电场只有x 分量，即分量，即jj12( )eekzkzxEzAA其解为：其解为：可见，可见， 表示沿表示沿 +z 方向传播的波。方向传播的波。j1ekzA 的波形的波形1mcos()xEEtkz 解的物理意义解的物理意义 第一项第一项2jjj222 m( )eeexkzkzxxEzAE2jjj22 m2 m2( , )Reee ecos()xkztxxxxEz tEEtkz 第二项第二项沿沿 z 方向方向传播的波传播的波11111j1xyyxzxxzEkHeeEee EeEzjEH 由由 ，可得，可得 )

12、(11yxHE其中其中 称为媒质的称为媒质的本征阻抗本征阻抗。在真空中。在真空中377120000 相伴的磁场相伴的磁场 同理，对于同理，对于j222ekzxxxEe Ee A22)(1EeHz磁场与电场相互磁场与电场相互垂直，且同相位垂直，且同相位 结论：结论：在理想介质中在理想介质中，均匀平面波的电场强度与磁场强度相均匀平面波的电场强度与磁场强度相 互垂直，且同相位。互垂直，且同相位。1. 均匀平面波的传播参数均匀平面波的传播参数周期周期T ：时间相位变化：时间相位变化 2的时间间隔，即的时间间隔，即（1）角频率、频率和周期）角频率、频率和周期角频率角频率 ：表示单位时间内的相位变化，单位

13、为：表示单位时间内的相位变化，单位为rad /s 频率频率 f ：1(Hz)2fT t T o xE 的曲线的曲线m(0, )cosxEtEt2(s)T2T自由空间中均匀平面波的传播特点自由空间中均匀平面波的传播特点（2）波长和相位常数）波长和相位常数k 的大小等于空间距离的大小等于空间距离2内所包含内所包含的波长数目，因此也称为的波长数目，因此也称为波数波数。2(rad/m)k波长波长 ：空间相位差为空间相位差为2 的两个波阵面的间距，即的两个波阵面的间距，即相位常数相位常数 k ：表示波传播单位距离的相位变化表示波传播单位距离的相位变化 o xE z的曲线的曲线m( ,0)cosxEzEk

14、z21(m)kf2k（3）相速（波速）相速（波速）) sm(1ddktzv真空中真空中：87900113 10 (m/s)14 101036vc Ckzt由由相速相速v：电磁波的等相位面在空间电磁波的等相位面在空间 中的移动速度中的移动速度相速只与媒质参数相速只与媒质参数有关，而与电磁波有关，而与电磁波的频率无关的频率无关故故得到得到均匀平面波的相速为均匀平面波的相速为dd0tk z2、理想介质中的均匀平面波的传播特点、理想介质中的均匀平面波的传播特点xyzEHO理想介质中均匀平面波的理想介质中均匀平面波的 和和EH 电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（电场、磁场与传播方向之间相互垂

15、直，是横电磁波（TEM 波）。波）。 无衰减，电场与磁场的振幅不变。无衰减，电场与磁场的振幅不变。 波阻抗为实数，电场与磁场同相位。波阻抗为实数，电场与磁场同相位。 电磁波的相速与频率无关，无色散。电磁波的相速与频率无关，无色散。 能量的传输速度等于相速。能量的传输速度等于相速。 根据前面的分析，可总结出理想介质中的均匀平面波的传播根据前面的分析，可总结出理想介质中的均匀平面波的传播特点为：特点为：6.5 6.5 波的极化波的极化 ( , )( , )( , )xxyyE z te Ez te Ez t 1cos()xxEEtkz2cos()yyEEtkz其中其中在空间中的一点，电场在空间中的

16、一点，电场 可表示为可表示为 E均匀平面波是横波，即对于沿着均匀平面波是横波，即对于沿着z方向传播的波来说，其场量方向传播的波来说，其场量没有没有z方向的分量，但却可以有方向的分量，但却可以有x、y方向的分量，如方向的分量，如 和和 。xEyE并且并且 以及波的传以及波的传播方向三者之间播方向三者之间构成了一个相互垂直构成了一个相互垂直的正交系统的正交系统 ,yye e 式中式中 分别为分别为 和和 的振幅，的振幅， 分别为分别为 和和 的的相位。相位。12,E ExEyE,xy xEyE定定义义均匀平面波传播过程中，在某一波阵面上，电场矢量的均匀平面波传播过程中，在某一波阵面上，电场矢量的振

17、动状态随时间变化的方式为波的极化振动状态随时间变化的方式为波的极化( (或称为偏振或称为偏振) ) 一般情况下，一般情况下， 和和 这两个分量的振幅和相位不一定这两个分量的振幅和相位不一定相同，所以在同一波阵面上，合成场量的矢量的振动状相同，所以在同一波阵面上，合成场量的矢量的振动状态（大小和方向）随时间变化的方式也就不同。态（大小和方向）随时间变化的方式也就不同。 yExE极化（极化（polarizationpolarization）通常是用电场矢量）通常是用电场矢量 的尖端在的尖端在空间随时间变化的轨迹来描述的。空间随时间变化的轨迹来描述的。 E分类分类1. 如果矢量的尖端在一条直线上运动

18、，称之为如果矢量的尖端在一条直线上运动，称之为线极化波。线极化波。 2. 如果矢量的尖端的运动轨迹是一个圆，则称之为如果矢量的尖端的运动轨迹是一个圆，则称之为圆极圆极化波。化波。 3. 椭圆极化波：椭圆极化波：电场电场 的尖端的运动将描绘出一个椭圆。的尖端的运动将描绘出一个椭圆。 E一般椭圆极化波方程推导一般椭圆极化波方程推导 1cos()xxEEtkz2cos()yyEEtkz1cos()cossin()sinxxxEtkztkzE2cos()cossin()sinyyyEtkztkzE注注意意12sinsincos()sin()yxyxyxEEtkzEE12coscossin()sin()

19、yxyxxyEEtkzEE 上式分别平方后相加得上式分别平方后相加得 2222212122cos()sin ()yxyxxyxyEE EEEEE E这是一个非标准形式的椭圆方程，它表明一般情况下这是一个非标准形式的椭圆方程，它表明一般情况下 和和 的合成波矢量的端点轨迹为一椭圆，即合成波为的合成波矢量的端点轨迹为一椭圆，即合成波为椭圆极化波。椭圆极化波。 xEyE将两式分别乘以将两式分别乘以 和和 后相减得后相减得 sinysinx将两式分别乘以将两式分别乘以 和和 后相减得后相减得 cosycosx特殊情形特殊情形情况情况1 1 （直）线极化（直）线极化(1)(1)212( , )( , )

20、0yxEz tEz tEE或或12( , )( , )yxEz tEz tEE 这是直线方程，它说明这是直线方程，它说明: :平面波平面波在自由空间传播时，在不同时在自由空间传播时，在不同时刻、不同位置，电场强度的两刻、不同位置，电场强度的两个分量虽取不同的值，但其电个分量虽取不同的值，但其电场矢量的端点总是在一条直线场矢量的端点总是在一条直线上变化上变化（如右图所示）（如右图所示）. .所以该所以该波是线极化波，该直线在第一、波是线极化波，该直线在第一、三象限。三象限。线极化波(1) 21arctan()EconstE当当 ，其中，其中 为整数，则椭圆为整数，则椭圆方程变为方程变为 ()2x

21、ym0,1, 2,m 情况情况2 2 （直）线极化（直）线极化(2)(2)212( , )( , )0yxEz tEz tEE12( , )( , )yxEz tEz tEE 这也是直线方程，其电场矢量的这也是直线方程，其电场矢量的端点也是在一条直线上变化，端点也是在一条直线上变化，该直线在第二、四象限，如下图该直线在第二、四象限，如下图所示，所以该波也是线极化波。所示，所以该波也是线极化波。线线极极化化波波(2) (2) 21arctan()EconstE当当 ，其中，其中 为整数，则为整数，则椭圆方程变为椭圆方程变为 ()(21)xym0,1, 2,m 或或直线（直线（ 电场电场 ）和）和

22、x x轴之间轴之间的夹角的夹角 满足满足 Exy 0yx线极化（第一、三象限）线极化（第一、三象限）线极化（第二、四象限）线极化（第二、四象限）线极化演示线极化演示情况情况3 3 右旋圆极化右旋圆极化2220( , )( , )xyEz tEz tEcos()( , )2arctanarctan()( , )cos()yxtkzE z ttkzE z ttkz右旋圆极化波右旋圆极化波 当当 ，并且，并且 ，则椭圆方程变为，则椭圆方程变为 ()/ 2xy120EEE这是一个以这是一个以 为半径的圆的方程，故为圆极化波。为半径的圆的方程，故为圆极化波。 0EE 电场电场 与与x x方向的夹角将由动

23、点坐标方向的夹角将由动点坐标 和和 决定决定( , )xEz t( , )yEz t即即合成波电场的大小不随时间改变，但方向却合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时间变化，电场的矢端在一个圆上并以角随时间变化，电场的矢端在一个圆上并以角速 度速 度 旋 转 。 电 场 矢 端 的 旋 转 方 向旋 转 。 电 场 矢 端 的 旋 转 方 向 与电磁波传播方向成右手螺旋关系，称为右与电磁波传播方向成右手螺旋关系，称为右旋圆极化波。旋圆极化波。情况情况4 4 左旋圆极化左旋圆极化2220( , )( , )xyEz tEz tEcos()( , )2arctanarctan()( , )cos

24、()yxtkzE z ttkzE z ttkz 左旋圆极化波 当当 ，并且，并且 ，则椭圆方程变为，则椭圆方程变为 ()/ 2xy 120EEE这也是一个以这也是一个以 为半径的圆的方程，故为圆极化波。为半径的圆的方程，故为圆极化波。 0EE 电场电场 与与x x方向的夹角将由动点坐标方向的夹角将由动点坐标 和和 决定决定( , )xEz t( , )yEz t即即从上式可以看出，电场与从上式可以看出，电场与x x轴的夹角将随时轴的夹角将随时间间t t的增加而变小。电场矢端的旋转方向的增加而变小。电场矢端的旋转方向 与电磁波传播方向成左手螺旋关系，称为左与电磁波传播方向成左手螺旋关系，称为左旋

25、圆极化波。旋圆极化波。 右旋圆极化波右旋圆极化波o oE Ex xy yx xE E E Ey ya a 左旋圆极化波左旋圆极化波o ox xE Ey yx xE Ey yE Ea a右旋椭圆极化波右旋椭圆极化波 一般情形一般情形其它情况下，合成波电场的大小和方向都随时间其它情况下，合成波电场的大小和方向都随时间 改变，其端点在一个椭圆上旋转。改变，其端点在一个椭圆上旋转。当当 时，随着时间的推移，时，随着时间的推移，电场的矢量端点按照顺时针方向向左扫出了电场的矢量端点按照顺时针方向向左扫出了一个椭圆，于是将这种波称为左旋椭圆极化一个椭圆，于是将这种波称为左旋椭圆极化波。波。 ()0 xy左旋

26、椭圆极化波左旋椭圆极化波 当当 时，与时，与 相比相比 ， 的相位超前，因此在一个固定点的相位超前，因此在一个固定点上，上， 将先达到最大值，然后才轮将先达到最大值，然后才轮到到 达到最大值。这说明，随着达到最大值。这说明，随着时间的推移，电场时间的推移，电场 的矢量端点按照的矢量端点按照逆时针方向向右扫出了一个椭圆，于是将这逆时针方向向右扫出了一个椭圆，于是将这种波称为右旋椭圆极化波。种波称为右旋椭圆极化波。 ()0 xy( , )xEz t( , )yEz t( , )xEz t( , )yEz t( , )E z t波的极化取决于发射源，波的极化取决于发射源，波的极化特性在工波的极化特性

27、在工程上具有很重要的应用程上具有很重要的应用 1. 1. 当利用极化波进行工作时，接收天线的极化当利用极化波进行工作时，接收天线的极化特性必须与发射天线的极化特性相同，才能获得特性必须与发射天线的极化特性相同，才能获得好的接收效果，这是天线设计中最基本的原则之好的接收效果，这是天线设计中最基本的原则之一。一。 2. 2. 天线若辐射左旋圆极化波，则接收天线在接收天线若辐射左旋圆极化波，则接收天线在接收到左旋圆极化波的时候，就接收不到右旋圆极化到左旋圆极化波的时候，就接收不到右旋圆极化波，反之亦然，这称为圆极化波的旋相正交性。波，反之亦然，这称为圆极化波的旋相正交性。 3. 3. 在很多情况下，

28、无线电系统必须利用圆极化才在很多情况下，无线电系统必须利用圆极化才能进行正常工作。能进行正常工作。 例如，由于火箭等飞行器在飞行过程中，其状例如，由于火箭等飞行器在飞行过程中，其状态和位置在不断变化，因此火箭上的天线姿态也态和位置在不断变化，因此火箭上的天线姿态也在不断地改变，此时如用线极化的发射信号来遥在不断地改变，此时如用线极化的发射信号来遥控火箭，在某些情况下，可能出现火箭上的天线控火箭，在某些情况下，可能出现火箭上的天线收不到地面控制信号，从而造成失控。如采用圆收不到地面控制信号，从而造成失控。如采用圆极化发射和接收，则从理论上讲将不会出现失控极化发射和接收，则从理论上讲将不会出现失控

29、情况。目前，在电子对抗系统中，大多采用圆极情况。目前，在电子对抗系统中，大多采用圆极化波进行工作。化波进行工作。证明证明： 试用复数法证明，一个线极化平面波可由左旋和右旋试用复数法证明，一个线极化平面波可由左旋和右旋两个圆极化波合成得到。两个圆极化波合成得到。设线极化波电场只在设线极化波电场只在x x方向上，即空间电场表示为方向上，即空间电场表示为 0ikzxEE ee改写为改写为11()()ikzikzxyxyEE eie eE eie e式中式中 1012EE根据定义可知：上式中的第一项代表左旋圆极化波，而第根据定义可知：上式中的第一项代表左旋圆极化波，而第二项则代表右旋圆极化波，证毕。二项则代表右旋圆极化波，证毕。 式中第一项中的式中第一项中的 说明，说明， 的相位比的相位比 的相位超前的相位超前 和和 分量的振幅相等，均为分量的振幅相等，均为 yE0/ 2E/ 2ixEyExE例题例题11ikzikzxyEe iE ee iE e (1)()()2211i kzi kzxye E ee E e 依题 E 说明下列各式表示的均匀平面波的极化形说明下列各式表示的均匀平面波的极化形式和传播方向。式和传播方向。例题例题传播方向为沿传播方向为沿 方向的