第6章振动与波

1、 振动与波（振动与波（Oscillation and Wave）六、六、 振动振动Oscillation前言：前言：振动和波是物理中的重要领域。振动和波是物理中的重要领域。1 1）大量存在）大量存在。（一般讲，小物体作急速振动；（一般讲，小物体作急速振动； 大物体振动较慢。）大物体振动较慢。）2 2）是宇宙两大运动之一）是宇宙两大运动之一无无“序序”运动；运动；分子热运动、银河星系的运动；分子热运动、银河星系的运动；有序运动；有序运动；有规序的运动。其中一类就是周期有规序的运动。其中一类就是周期运动，振动就是一种周期运动。运动，振动就是一种周期运动。周期运动特点：有周期和平衡位置。运动系统经过

2、一周周期运动特点：有周期和平衡位置。运动系统经过一周期时间以后又回到原来的状态；物体运动总是在一个特期时间以后又回到原来的状态；物体运动总是在一个特定位置附近往复进行。定位置附近往复进行。弹簧振子弹簧振子振动振动-描写某一系统状态的物理量在一定范围描写某一系统状态的物理量在一定范围 内作周期性变化，则这系统的运动称为振动。内作周期性变化，则这系统的运动称为振动。X（一）、简谐振动（一）、简谐振动（Simple harmonic motion） 简谐振动：简谐振动：我们所要研究的我们所要研究的x-t曲线，即位移时间曲线曲线，即位移时间曲线 是纯余弦曲线的振动，即余弦式振动。是纯余弦曲线的振动，即

3、余弦式振动。1、简谐振动的特点：、简谐振动的特点： （以弹簧振子为例）（以弹簧振子为例）（1）、弹簧振子的振动：）、弹簧振子的振动：xt振子在弹性力和惯性两因素相互作用振子在弹性力和惯性两因素相互作用下在平衡位置附近往复运动。下在平衡位置附近往复运动。（2）、简谐振动运动微分方程：）、简谐振动运动微分方程：设振子设振子m在某一位置在某一位置x,由胡克定律和牛顿第二定律有：由胡克定律和牛顿第二定律有：22fkxd xfmdt 22d xkxdtm 20km令2220d xxdt解此微分方程：解此微分方程：cos()xAtA：振幅；：振幅；：初相位。：初相位。（由初始条件决定（由初始条件决定的待定

4、常数。）的待定常数。）（3）、简谐振动的特点：）、简谐振动的特点：运动学特征：运动学特征：222d xaxdt a与与x恒成正比且反向恒成正比且反向cos()xAtx是是t的余弦函数的余弦函数动力学特征：动力学特征：fkx 合外 要证明一个运动是简谐振动，可以从是否满足下面要证明一个运动是简谐振动，可以从是否满足下面三个方程之一为依据。三个方程之一为依据。fkx cosxAt2220d xxdtcos()xAtsin()sin()mdxvAtdtVt 2cos()cos()mdvaAtdtat 2、简谐振动中的位移、速度和加速度、简谐振动中的位移、速度和加速度（1）、）、A-振幅振幅mV-速度

5、振幅速度振幅ma-加速度振幅加速度振幅tx（2）、）、x-t曲线、曲线、v-t曲线和曲线和a-t曲线：曲线：vtattxav3、简谐振动的周期、频率和圆频率：、简谐振动的周期、频率和圆频率：作简谐振动的物体，其运动状态每经过一个相同的时间作简谐振动的物体，其运动状态每经过一个相同的时间T就重复一次，时间就重复一次，时间T就称为振动的就称为振动的周期周期。振动学中把振动学中把1秒内物体完成振动的次数称为秒内物体完成振动的次数称为频率频率。1T把把 秒内物体完成振动的次数称为秒内物体完成振动的次数称为圆频率圆频率。22T2cos ()cos(2 )2tTtT一个振动系统的周期、频率或圆频率决定于什

6、么因素？一个振动系统的周期、频率或圆频率决定于什么因素？弹簧振子：弹簧振子：2kmmTkk为弹簧的倔强系数为弹簧的倔强系数m为质点质量为质点质量由系统本身性质决定，称固有圆频率（或角频率）；T称固有周期。例例1：试确定单摆的固有圆频率及周期。：试确定单摆的固有圆频率及周期。mlmgf22 daldt22 sindmgmldt22sin dmgmldt当 角很小时，220dgdtl 2glTlg0 cost微分方程的解为 sinmg小球受的切向分力：小球受的切向分力：小球受的切向加速度：小球受的切向加速度：根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律单摆的小角摆动是简谐振动，其振动的角频率和周期为：单摆的小

7、角摆动是简谐振动，其振动的角频率和周期为：例例2：判断下列运动是否是简谐振动？并说明理由。：判断下列运动是否是简谐振动？并说明理由。（1）拍皮球时，皮球的运动。设球与地面碰撞为弹性碰撞。）拍皮球时，皮球的运动。设球与地面碰撞为弹性碰撞。（2）细线悬挂一小球，令其在水平面内作匀速率圆周运动。）细线悬挂一小球，令其在水平面内作匀速率圆周运动。（3）小滑块在半径很大的光滑球面上作小幅度滑动。）小滑块在半径很大的光滑球面上作小幅度滑动。（4）在均匀加速上升的升降机顶上竖直悬挂的单摆的运动。）在均匀加速上升的升降机顶上竖直悬挂的单摆的运动。解解： （1）不是简谐振动。）不是简谐振动。 原因：皮球受重力作

8、用，原因：皮球受重力作用， mg不随位移而变化。不随位移而变化。（2）不是简谐振动。无平衡位置。但是）不是简谐振动。无平衡位置。但是 在竖直平面上的投影的在竖直平面上的投影的 运动是简谐运动是简谐 运动。运动。mlmgTcos()xAt为圆周运动角速率，A为圆周运动的半径。oxmgR（3）是简谐振动。）是简谐振动。2222sin(0d xmgmdtd xgxdtRgR切向方向负号表示力指向平衡位置，使 减少）与简谐振动微分方程一致mglasin(mgmam aa切绝切相切牵）（4）是简谐振动。）是简谐振动。切向方向受力：切向方向受力：222222sinsin()0d xaaadtmgm aax

9、d xxmgmaldtld xgaxdtlgal切相切牵切相切牵）与简谐振动微分方程一致总结：要求会建立一维谐振动的微分方程。总结：要求会建立一维谐振动的微分方程。分析振动方向受力分析振动方向受力按牛顿第二定律建立方程按牛顿第二定律建立方程方程变化方程变化振动微分方程振动微分方程amgTa切相a切牵sinmgcosmg4、简谐振动的周相：、简谐振动的周相：（1）、定义：）、定义：cos()xAtsin()sin()mdxvAtdtVt 2cos()cos()mdvaAtdtat 周相（用角度表示）周相（用角度表示）周期周期 (用时间表示）用时间表示）T()t（2）、特点：）、特点：（1）一定的

10、周相对应一个确定的运动状态。）一定的周相对应一个确定的运动状态。（2）一定的运动状态对应一定的周相。）一定的运动状态对应一定的周相。（3）周相差表示了两作同周期振动物体在同一时刻运动）周相差表示了两作同周期振动物体在同一时刻运动 状态的差异。状态的差异。同相：同相：21()()0(2)ttn或两振动完全同步两振动完全同步(21) )n或反相：反相：两振动步调完全相反两振动步调完全相反超前：超前：21()()tt落后：落后：21()()tt0AXoXo txXo-AXo2/2/3 tx2 tx tx tx) 2/() 0(AXo例例3：判断以下说法是否正确？并说明理由。：判断以下说法是否正确？并

11、说明理由。（1）质点作简谐振动时，从平衡位置运动到最远点需时）质点作简谐振动时，从平衡位置运动到最远点需时1/4周期，因此走过该距离的一半需时周期，因此走过该距离的一半需时1/8周期。周期。（2）如下图所示，看来）如下图所示，看来x(t)曲线似乎在曲线似乎在v(t)曲线的前方，曲线的前方，即即x(t)的极大值处于邻近的极大值处于邻近v(t)极大值的右侧，故说位移极大值的右侧，故说位移x比比速度速度v领先领先/2（3）位移）位移cos()xAt两次对两次对t求导可得加速度求导可得加速度2cos()aAt 二者括号中二者括号中()t是一样的，是一样的，故说故说x与与a同相。同相。sin()vAt

12、解解（1）不对。因为简谐振动的速度）不对。因为简谐振动的速度不是常数，故经过相等距离所需时间不同。不是常数，故经过相等距离所需时间不同。（2）不对。由）不对。由x-t、v-t图比较图比较x、v的位移时，应从的位移时，应从t=0看看起，如图所示，起，如图所示，v的第一极大值在的第一极大值在x的第一极大值左方，的第一极大值左方，故，故，v比比x领先领先/2（3）不对。比较两个量的位相时，应都写成余弦（或）不对。比较两个量的位相时，应都写成余弦（或正弦）函数，并使前面的系数同号。正弦）函数，并使前面的系数同号。与与cos()xAt比较位相时，比较位相时，2cos()aAt 应写成：应写成：2cos(

13、)aAt可看出可看出a与与x反相。反相。若比较若比较v与与x的位相，的位相，v应写成：应写成：cos()2vAt则则v比比x领先领先/2振幅和初相的值是由初始条件决定的；振幅和初相的值是由初始条件决定的；初始条件：初始条件：t=0时的初位移时的初位移 、初速度、初速度0v)cos(tAx)sin(tAv由：由：00()varctgx解之：解之：22002vAx0sinvA 以以t=0代入：代入：0cosxA由振动的周期性，可知，只要研究一个周期内不同时刻由振动的周期性，可知，只要研究一个周期内不同时刻的函数的函数()t，即可知整个周期性运动，比用时间，即可知整个周期性运动，比用时间t描述方便、

14、直接。描述方便、直接。0 x（3）、振幅）、振幅A、初位相、初位相 的确定：的确定：5、振动的能量、振动的能量： （以弹簧振子为例）（以弹簧振子为例）动能：动能：222211sin ()22kEmvmAt势能：势能：22211cos ()22pEkxkAt系统机械能：系统机械能：)(cos21)(sin2122222tkAtmA221122kpEEEmvkx2km22221122mAkAA结论由弹簧振子可推广到一切简谐振动！结论由弹簧振子可推广到一切简谐振动！从简谐振动的机械能守恒推导建立简谐振动的微分从简谐振动的机械能守恒推导建立简谐振动的微分方程：方程：221122mvkxE求导求导0dv

15、dxmvkxdtdt小结：小结：（1）振动动能和振动势能均随时间作周期性变化，其数）振动动能和振动势能均随时间作周期性变化，其数值在值在 之间重复变化。如果振动的周期为之间重复变化。如果振动的周期为T，则则 和和 变化的周期为变化的周期为T/2。（2）振动动能、振动势能的变化并不同步，动能最大时）振动动能、振动势能的变化并不同步，动能最大时势能为零，势能最大时，动能为零。势能为零，势能最大时，动能为零。（3）振动的总能量保持不变。）振动的总能量保持不变。2102k AkEpE22dvd xdxvdtdtdt0dvdxmvkxdtdt220d xkxdtm一振动是否是简谐振动的判据：一振动是否是

16、简谐振动的判据：fkx 2220d xxdtcosxAt2211()(22dxmkxEdt恒量)6、简谐振动的旋转矢量表示法：、简谐振动的旋转矢量表示法：x质点质点P任意时刻位置由任意时刻位置由At、质点质点P在在x轴上的投影作简谐振动：轴上的投影作简谐振动：cos()xAt旋转矢量法优点：形象化，尤其是使旋转矢量法优点：形象化，尤其是使 相位和圆频率具体化。相位和圆频率具体化。用一匀速转动的矢量来研究简谐振动的方法用一匀速转动的矢量来研究简谐振动的方法称旋转矢量法。其中轨迹圆称为参考圆。称旋转矢量法。其中轨迹圆称为参考圆。pA确定确定p用旋转矢量法确定初位相：用旋转矢量法确定初位相： txx

17、0v 0v 3232x0v 0v 0v 2323x0v x430v 0v 43求振动方程步骤：求振动方程步骤：1、首先确定系统是作简谐振动。、首先确定系统是作简谐振动。2、据简谐振动方程、据简谐振动方程cos()xAt确定确定A、 、即可。即可。例例4：一定滑轮的半径为：一定滑轮的半径为R，质量为，质量为M，其上挂一轻绳，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为绳的一端系一质量为m的物体，另一端与固定的轻弹簧相的物体，另一端与固定的轻弹簧相连，如图，设弹簧的倔强系数为连，如图，设弹簧的倔强系数为k，绳与滑轮间无滑动，绳与滑轮间无滑动，并忽略轴的摩擦力及空气阻力，现将物体从平衡位置拉下并忽略轴的摩擦力及

18、空气阻力，现将物体从平衡位置拉下一微小距离一微小距离 ，然后放手，从放手瞬间开始计时，并，然后放手，从放手瞬间开始计时，并以平衡位置为坐标原点，以平衡位置为坐标原点，OX向下为正向，求：向下为正向，求：（1）证明物体作简谐振动。）证明物体作简谐振动。（2）写出振动方程。）写出振动方程。0lRk1T1T2T2TmgaMRmk0l1xox解：选物体、定滑轮、弹簧组成振动系统，受力分析如图解：选物体、定滑轮、弹簧组成振动系统，受力分析如图系统平衡时系统平衡时对物体：对物体：10mgT对定滑轮：对定滑轮：120TR TR对弹簧：对弹簧：21Tkx（ 为系统平衡时弹簧伸长量）为系统平衡时弹簧伸长量）1x

19、1mgkx当物体拉一微小距离，作振动，取任一时刻，有：当物体拉一微小距离，作振动，取任一时刻，有：11mgTmaTmgma12122aT RT RITTIR21()Tk xx（ 为弹簧总伸长量）为弹簧总伸长量）1xx联立方程求得：联立方程求得：2222()0IkxmaRd xkxIdtmR 即：222kkIMmmR令其中其中212IMR初始条件：初始条件：0000,0txl v时2200002vAxxl10cos ()0 xA0cos()2kxltMm振动方程：振动方程：例例5：已知一简谐振动的位移曲线如图，写出振动方：已知一简谐振动的位移曲线如图，写出振动方程。程。xt0241解：由图知解：

20、由图知A=4。据。据0t 时时2Ax 0v 1t 0 x 0v 时时作出旋转矢量图作出旋转矢量图x0v 0v A由图得初位相由图得初位相3 矢量在矢量在1秒内转过了秒内转过了12 得得56所以振动方程：所以振动方程：54cos()63xt（二）、（二）、谐振动的合成谐振动的合成（Superposition of Harmonic Oscillation)1 1、同（振动）方向、同频率的两个谐振动的合成、同（振动）方向、同频率的两个谐振动的合成 设两简谐振动均沿设两简谐振动均沿x轴进行，位移分别：轴进行，位移分别：111cos()xAt222cos()xAt（1 1）、三角函数法）、三角函数法2

21、1xxx)cos()cos(2211tAtA)cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctgtx1x2xx结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后 仍为同频率仍为同频率 的谐振动的谐振动 （2 2）、旋转矢量法）、旋转矢量法)cos(111tAx)cos(222tAxA1A2A1YX22x1xx11sinA22sinAA1A2A与与角速度相同角速度相同则则A的量值在旋转过程中不变。的量值在旋转过程中不变。222121222121221221212212cos2cos()2cos()AAAA AAA

22、A AAAA A所以所以)cos(212212221AAAAA0t 时A1A2A1YX22x1xx11sinA22sinA讨论：讨论：a)22112211coscossinsinAAAAarctg11221122sinsincoscosAAtgAA0t 时由几何关系可证，由几何关系可证，t时刻时刻A在在ox轴上投影为：轴上投影为：)cos(tA21xxxb）A:)cos(212212221AAAAA212(0 1 2nn 、 、）两振动同相两振动同相则则12AAA振动加强振动加强21(21)(0 1 2nn 、 、）两振动反相两振动反相12AAA则则振动减弱振动减弱若若12AA则则0A 共同作

23、用下静止共同作用下静止一般情况：一般情况：1212()AAAAA例例6：求振动：求振动15cos(3)3xt247 cos(3)3xt和和的合振动方程，并用旋转矢量表示。的合振动方程，并用旋转矢量表示。解：合振幅解：合振幅22121221222cos()457257 cos()332AAAA A初周相：初周相：11221122sinsincoscosAAarctgAA11221122sinsincoscos45sin7sin3345cos7cos334333AAarctgAAarctgarctg或1A2AAOx3画出矢量图：画出矢量图：由图可见，应取由图可见，应取43，于是合振动方程：，于是合

24、振动方程：42cos(3)3xt* *2 2、同方向、不同频率的两个谐振动的合成、同方向、不同频率的两个谐振动的合成 设两简谐振动均沿设两简谐振动均沿x轴进行，位移分别：轴进行，位移分别：1111cos()xAt2222cos()xAt21且，A1A2A1YX22x1xx11sinA22sinAcos()xAtA1A2A1YX22x1xx11sinA22sinA12AAa如图：若2112022t 1时：=22112121()()222tttttttt1111则 时刻有：=211222tttt1所以：22121221212cos()()AAAA At讨论（特殊情况）：讨论（特殊情况）：2121即

25、两分振动频率都较大，频率即两分振动频率都较大，频率差较小差较小为突出不同频率产生效果，设两分振动振幅相等，初位为突出不同频率产生效果，设两分振动振幅相等，初位相均为零，即：相均为零，即：12120AAa得得,合振动初相：合振动初相：01122coscoscosxatxatxAt即合振幅：合振幅：2212122121222212212221212cos()()2cos()021 cos()22cos ()22 cos()2AAAA Ataaatatatat可见，合振动位移是以较高角频率可见，合振动位移是以较高角频率 变化变化;而合振动的振幅是以较低频率而合振动的振幅是以较低频率 变化，范围变化，

26、范围在在 之间。之间。2122120 2a21212 cos()cos()22xatt上式也可由三角函数关系上式也可由三角函数关系: :coscos2coscos22直接得到直接得到（但不能准确解释其物理意义！（但不能准确解释其物理意义！), 所以所以,合振动位移：合振动位移：122由前知若两分振动振幅相等，初位相相等但若两分振动振幅相等，初位相相等但不不为零，即：为零，即：12120AAa合振动位移为多少合振动位移为多少? ?2121122 cos()cos()222xatt111222coscoscosxatxatxAt亦即（）（）（）1212AAa时情形又如何？1212AA时情形又如何？

27、1xt2xtxttx拍：由两个频率都较大而频率差又很小的同方向的简谐拍：由两个频率都较大而频率差又很小的同方向的简谐 振动合成时，产生合振幅时而加强时而减弱的周期振动合成时，产生合振幅时而加强时而减弱的周期 性变化现象。性变化现象。一拍：合振幅变化的一个周期。一拍：合振幅变化的一个周期。拍频：单位时间内拍出现的次数。拍频：单位时间内拍出现的次数。若振幅变化的周期为若振幅变化的周期为T拍拍,2)(22121tTt拍212拍T21212/1拍T拍现象的频率等于两个分振动频率之差。拍现象的频率等于两个分振动频率之差。12120AAa 时*3、互相垂直的同频率谐振动的合成、互相垂直的同频率谐振动的合成

28、11cos()xAt22cos()yAt以上两式实为质点运动的运动方程，消去以上两式实为质点运动的运动方程，消去t即可得质点运动的轨迹方程。即可得质点运动的轨迹方程。)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx(1)012轨迹方程简化为：轨迹方程简化为：21AyxA22yxS)cos(2221tAAYXS12A1A2任意时刻位移：任意时刻位移：可见，仍是简谐振动。可见，仍是简谐振动。12(2)21AyxA YX1222212AyAxYXYX2/12(3)(4)2/121222212AyAx轨迹为一般椭圆轨迹为一般椭圆210210顺时针方向运动顺时针方向运动逆时针方向运动逆时

29、针方向运动210/2、(5)*4、相互垂直的不同频率简谐振动的合成、相互垂直的不同频率简谐振动的合成周相差：周相差：2121()()t随时间变化随时间变化当当 和和 相差不大时，相差不大时， 随时间由随时间由 缓慢缓慢变化，轨迹由直线变成椭圆，又由椭圆变成直线。变化，轨迹由直线变成椭圆，又由椭圆变成直线。0 2a21如果如果21和和相差较大时，合振动复杂，但若相差较大时，合振动复杂，但若21:为整数比时，能得到稳定的封闭轨道曲线。在图上就是为整数比时，能得到稳定的封闭轨道曲线。在图上就是图形与图形与OX轴、轴、OY轴相交点的数目比。轴相交点的数目比。 *(三）阻尼振动（三）阻尼振动（Dampe

30、d Oscillation） 强迫振荡（强迫振荡（Forced Oscillation）1、阻尼振动、阻尼振动能量减小的原因：能量减小的原因：1）阻力的存在）阻力的存在2）引起邻近质点振动，以波的形式向周围传播）引起邻近质点振动，以波的形式向周围传播 能量。能量。因能量耗散而衰减的振动称因能量耗散而衰减的振动称阻尼振动。阻尼振动。又因能量与振幅平方成正比，又称又因能量与振幅平方成正比，又称减幅振动。减幅振动。振动物体速度不太大时，阻力正比速度振动物体速度不太大时，阻力正比速度22220202rfb v k xdxmb v k xd tdxbd xkxd tmd tm rfbv且且回复力回复力kx据牛顿第二定律有：据牛顿第二定律有：22d xmbvkxdt 220d xb dxkxdtm dtm即：即：阻尼振动微分方程阻尼振动微分方程20km2bm令令不存在阻力时的固有频率不存在阻力时的固