闻邦椿非线性振动第11章

1、第第11章章 非线性方程解的某些物理性质非线性方程解的某些物理性质 1 1当恢复力为非线性时固有频率是振幅的函数当恢复力为非线性时固有频率是振幅的函数 2. 2. 非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统 3. 3. 强迫非线性振动系统的振动有滞后与跳跃现象强迫非线性振动系统的振动有滞后与跳跃现象 4. 4. 共振曲线有稳定与不稳定区段共振曲线有稳定与不稳定区段 5 5 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应 6.6.多个简谐激振力作用下的组合振动多个简谐激振力作用下的组合振动 7.7.非线性振动系统叠加原理是不适用

2、的非线性振动系统叠加原理是不适用的 8.8.存在频率俘获现象存在频率俘获现象 9. 9. 某些非线性振动系统会出现自激振动某些非线性振动系统会出现自激振动 10. 10. 某些非性系统会产生混沌运动某些非性系统会产生混沌运动 第第11章章 非线性方程解的某些物理性质非线性方程解的某些物理性质 非线性方程式的解与线性方程式的解在物理方面有本质的区别非线性方程式的解与线性方程式的解在物理方面有本质的区别, , 主要表现在以下几个方面：主要表现在以下几个方面： 1 1当恢复力为非线性时固有频率是振幅的函数当恢复力为非线性时固有频率是振幅的函数杜芬方程，即恢复力含有位移的三次方项的非线性方程，其固杜芬

3、方程，即恢复力含有位移的三次方项的非线性方程，其固有频率的近似值为有频率的近似值为 (11-1)(11-1)对于分段线性的非线性系统，其固有频率为对于分段线性的非线性系统，其固有频率为 (11-2)(11-2) kb A 34222sin211eekkM或或 (11-3)(11-3) 从上面两个式子可看出从上面两个式子可看出, , 对于装有硬弹簧的硬式非线性振动系对于装有硬弹簧的硬式非线性振动系统统, , 固有频率固有频率 随振幅随振幅A A的增大而增加的增大而增加; ; 而对于装有软弹簧的软式而对于装有软弹簧的软式非线性系统非线性系统, ,固有频率随振幅固有频率随振幅A A的增大而减小。的增

4、大而减小。图图11-111-1表示固有频率表示固有频率与振幅的关系曲线。与振幅的关系曲线。曲线曲线1 1所示的是固有频率所示的是固有频率 随振幅的增大而增随振幅的增大而增加加; ; 曲线曲线2 2所示的是固有频率随振幅的增大而减小所示的是固有频率随振幅的增大而减小; ; 而而直线直线3 3是线性是线性振动系统的固有频率振动系统的固有频率, ,它是一个常量它是一个常量, , 不随振幅的变化而变化。不随振幅的变化而变化。 11411614024MkkeAeAeA 图图11-1 固有频率与振幅的关系曲线固有频率与振幅的关系曲线 假如对某振动系统进行振幅逐渐减小的衰减试验，测假如对某振动系统进行振幅逐

5、渐减小的衰减试验，测出其振动位移与时间的关系曲线出其振动位移与时间的关系曲线, ,若当振幅减小时若当振幅减小时, ,振动周振动周期期T T随振幅的减小而减小随振幅的减小而减小, ,则为硬式非线性系统则为硬式非线性系统; ;若振动周若振动周期随振幅的减小而增大期随振幅的减小而增大, , 则为软式非线性系统则为软式非线性系统; ;若振动周若振动周期不随振幅大小而变化则为线性振动系统。如期不随振幅大小而变化则为线性振动系统。如图图11-211-2所示所示, , 左图为硬式非线性振动系统的试曲线左图为硬式非线性振动系统的试曲线, ,而右图为软式非线而右图为软式非线性的振动曲线。性的振动曲线。 图图11

6、-2 试验得出的振动曲线试验得出的振动曲线 2. 非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统 非线性振动系统的共振曲线非线性振动系统的共振曲线, ,即振幅与频率关系曲线即振幅与频率关系曲线( (幅频曲线幅频曲线) )和相位与频率的关系曲线和相位与频率的关系曲线( (相频曲线相频曲线) )和线性振动系统有本质的区别和线性振动系统有本质的区别。图图11-311-3中的中的a,ba,b和和c c分别示出分别示出 在简谐干扰力作用下硬式和软式非在简谐干扰力作用下硬式和软式非线性系统的幅频曲线及相频曲线。线性系统的幅频曲线及相频曲线。图图11-3 非线性振动系统

7、的非线性振动系统的幅频曲线幅频曲线与与相频曲线相频曲线 a.) 幅频曲线幅频曲线; b ) 相频曲线相频曲线 对于方程对于方程(11-1)(11-1)所示的非线性系统所示的非线性系统, , 其一次近似解可由下式所其一次近似解可由下式所示示 (11-4)(11-4) 对于分段线性的非线性振动系统，其一次近似解可表示为对于分段线性的非线性振动系统，其一次近似解可表示为 (11-5)(11-5)2222043arctg,43cosMAbkcMbAkFA242242040161141,40161141cosMAeAeAekkcarctgMAeAeAekkFA 如果如果阻力系数阻力系数c c 很小很小,

8、 ,相位差角相位差角 , , 。此时上式成为此时上式成为 (11-6)(11-6)按照上式按照上式, ,可画出可画出 的关系曲线，当的关系曲线，当 时，时，可求出上述代数方程的解。可求出上述代数方程的解。由由图图11-3 a11-3 a看出看出, ,共振曲线的头部向右倾斜，此曲线为硬式非共振曲线的头部向右倾斜，此曲线为硬式非线性系统的共振曲线线性系统的共振曲线; ;图图11-3 b11-3 b 所示的共振曲线的头部向左倾斜所示的共振曲线的头部向左倾斜, ,此曲线为软式非线性系统的共振曲线。此曲线为软式非线性系统的共振曲线。 或018000cos 10cos4321012035kMkkAekeF

9、AeAeAeffeAeA 与feA 03.3.强迫非线性振动系统的振动有滞后与跳跃现象强迫非线性振动系统的振动有滞后与跳跃现象 对于非线性系统对于非线性系统, , 如果我们使激振力幅保持不变如果我们使激振力幅保持不变, ,而缓慢地增加激振频率而缓慢地增加激振频率, , 振动系统的振幅将沿着振动系统的振幅将沿着图图11-411-4箭箭头所示的方向逐渐增大头所示的方向逐渐增大, ,当增加至最大值时当增加至最大值时, ,将会出现降幅将会出现降幅跳跃跳跃, ,接着振幅将逐渐减小。接着振幅将逐渐减小。 反之反之, , 逐渐减小振动频率逐渐减小振动频率, ,振幅将渐渐增大振幅将渐渐增大, ,增至某一增至某

10、一点之后点之后, ,又会出现增幅跳跃又会出现增幅跳跃, ,此后此后, ,振幅将逐渐减小。振幅将逐渐减小。 这种跳跃现象在线性振动系统中是不可能出现的。这种跳跃现象在线性振动系统中是不可能出现的。 图图11-4 强迫非线性振动系统出现的跳跃现象和滞后现象强迫非线性振动系统出现的跳跃现象和滞后现象 a ) 硬式非线性振动系统的幅频曲线，硬式非线性振动系统的幅频曲线，b ) 软式非线性振动系统的幅频曲线，软式非线性振动系统的幅频曲线， c ) 非线性振动系统的相频曲线，非线性振动系统的相频曲线， 由由图图11-411-4看出看出, , 返回过程的跳跃总是落后于前进过程的跳跃。返回过程的跳跃总是落后于

11、前进过程的跳跃。这种现象这种现象, ,我们称它为滞后现象我们称它为滞后现象, , 这种滞后现象在线性振动系统中这种滞后现象在线性振动系统中也是不会出现的。也是不会出现的。4. 4. 共振曲线有稳定与不稳定区段共振曲线有稳定与不稳定区段 在简谐干扰力作用下的非线性振动系统在简谐干扰力作用下的非线性振动系统, ,共振曲线中有稳定区共振曲线中有稳定区与不稳定区。共振曲线上的两次跳跃之间的线段是不稳定的与不稳定区。共振曲线上的两次跳跃之间的线段是不稳定的, , 而其而其它部分的线段是稳定的。对于线性振动系统它部分的线段是稳定的。对于线性振动系统, ,当阻尼为正时当阻尼为正时, ,振动通振动通常是稳定的

12、。当阻尼为零时常是稳定的。当阻尼为零时, ,仅在共振条件下振动是不稳定的仅在共振条件下振动是不稳定的图图11-5 非线性振动系统共振曲线上的稳定区与不稳定区非线性振动系统共振曲线上的稳定区与不稳定区 5 5 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应 在简谐激振力作用下的非线性系统在简谐激振力作用下的非线性系统, ,其强迫振动不一定是简谐其强迫振动不一定是简谐振动振动, ,其响应的波形通常由各次谐波组成其响应的波形通常由各次谐波组成, , 这些波形除了与激振力这些波形除了与激振力频率相同的谐波外频率相同的谐波外, ,还含有频率为激振频率还含有频率为激振频率 的几分

13、之一的几分之一, , 即频即频率率 为的次谐波响应及频率为激振频率为的次谐波响应及频率为激振频率 的整数倍的整数倍, ,即频率即频率 为的超谐波响应为的超谐波响应( (n,m为正整数为正整数) )。 次谐波振动和超谐波振动在性质上有两点不同次谐波振动和超谐波振动在性质上有两点不同, ,即即 (1) (1) 超谐波响应在一般的非线性系统中或多或少是存在的超谐波响应在一般的非线性系统中或多或少是存在的, ,而而次谐波响应则只在一定条件下才产生。次谐波响应则只在一定条件下才产生。 (2) (2) 当系统中存在阻尼时当系统中存在阻尼时, ,阻尼只影响超谐波振动的振幅阻尼只影响超谐波振动的振幅, ,但对

14、但对于次谐波振动于次谐波振动, ,只要阻尼大于某一定值只要阻尼大于某一定值, ,就会阻止次谐波振动的出现就会阻止次谐波振动的出现。 由于存在次谐波与超谐波振动由于存在次谐波与超谐波振动, ,非线性系统共振频率的数目将非线性系统共振频率的数目将多于系统的自由度。多于系统的自由度。/ nm 当激振频率接近于系统固有频率的整数倍当激振频率接近于系统固有频率的整数倍, ,例如等于固有频率例如等于固有频率的的3 3 倍时倍时, ,该系统将出现振幅较大的而频率等于固有频率的次谐波该系统将出现振幅较大的而频率等于固有频率的次谐波共振共振; ; 而当激振频率接近系统固有频率的几分之一而当激振频率接近系统固有频

15、率的几分之一, ,例如三分之一例如三分之一时时, ,则该系统将出现振幅较大的其频率等于固有频率的超谐波共振。则该系统将出现振幅较大的其频率等于固有频率的超谐波共振。图图11-6 11-6 非线性振动系统的次谐波振动与超谐波振动非线性振动系统的次谐波振动与超谐波振动 6.6.多个简谐激振力作用下的组合振动多个简谐激振力作用下的组合振动作为例子，某系统作用有两个激振力为作为例子，某系统作用有两个激振力为 ，则该系统不仅会出现频率为则该系统不仅会出现频率为 , ,而且会而且会出现频率等于两个激振频率之和或之差的组合频率的振动出现频率等于两个激振频率之和或之差的组合频率的振动, ,即即 例如例如, ,

16、 等。等。 在某些情况下在某些情况下, ,组合频率的振动较其它频率的振动要多得多组合频率的振动较其它频率的振动要多得多, , 现在我们举例说明组合频率振动的产生过程。现在我们举例说明组合频率振动的产生过程。 假设某一非线性振动系统作用有两个频率的激振力假设某一非线性振动系统作用有两个频率的激振力, ,其运动微其运动微分方程式如下分方程式如下: : (11-7) (11-7)FtFt1122coscos和 1212122233,为正整数mnnm,2112121222 ,tFtFxbxx2211320coscos 方程的一次近似解为方程的一次近似解为 (11-8)(11-8)代入以上方程代入以上方

17、程 (11-9)(11-9)我们可以利用以下三角函数表示上式的右边部分我们可以利用以下三角函数表示上式的右边部分: : (11-10) (11-10) x tAtAt11122 coscos coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscosxxb AtAtFtFtbAtA AttA AttAtFtFt 0211223112213311222121 221222332112233 cos,cos,cos,cos,cos,cos,cos,cos,121212211221332222tttttttt 将这些项代入前式将这些项代入前式, ,我们可以求出含有以下各种频率的振动响我

18、们可以求出含有以下各种频率的振动响应应, , 除了除了 外外, ,还有高次谐波还有高次谐波 , ,以及组合频以及组合频率率 。 下面举例说明下面举例说明, ,若若 按照按照前面的公式前面的公式, ,会出现以下各种频率的振动会出现以下各种频率的振动: : 20,80,100,120,140,220,300,320,340 20,80,100,120,140,220,300,320,340 和和 360 1/sec360 1/sec。12和3312t和222212211221 ,和1210011201 / sec,/ sec,7.7.非线性振动系统叠加原理是不适用的非线性振动系统叠加原理是不适用的

19、在求解线性振动问题时，我们普遍采用叠加原理在求解线性振动问题时，我们普遍采用叠加原理, , 但对于非线但对于非线性振动系统性振动系统, ,不能应用叠加原理。如有以下线性方程不能应用叠加原理。如有以下线性方程 (11-11)(11-11)可将上面的方程分解成以下两个方程可将上面的方程分解成以下两个方程 (11-12)(11-12) 原方程的解原方程的解 是由上面两个方程的解是由上面两个方程的解 叠加而成即叠加而成即 (11-13)(11-13) xxxF tF t 20212 xxxF t 2021 xxxF t 2022 x t ( ) x txt12和 x tx txt 12 对于线性微分方

20、程式，以下的叠加是成立的对于线性微分方程式，以下的叠加是成立的 (11-14)(11-14) 如果方程不是线性的，而是非线性方程，由于高次项存在，因如果方程不是线性的，而是非线性方程，由于高次项存在，因此叠加原理是不适用的，即出现了以下不等式此叠加原理是不适用的，即出现了以下不等式 (11-15)(11-15) 如果在非线性系统中应用叠加原理，所得结果就会和实际的结如果在非线性系统中应用叠加原理，所得结果就会和实际的结果出现较大的差异，而其结果往往是错误的。果出现较大的差异，而其结果往往是错误的。nnnnnntxtxtxxdddddd2121 xxxx xxxxxxxx xx xxxx1221

21、21 2221222123131221 22231323233 ,txtxtxtxxtxtxxddddddd2ddddd22212221212218.8.存在频率俘获现象存在频率俘获现象在线性振动系统中，如果同时存在频率为在线性振动系统中，如果同时存在频率为 两个简谐两个简谐振动，则当这两个频率比较接近时，会产生拍振。两个频率相差越振动，则当这两个频率比较接近时，会产生拍振。两个频率相差越小，拍振周期越大。当两个频率相等时，拍振才消失，两个振动就小，拍振周期越大。当两个频率相等时，拍振才消失，两个振动就合成为一个简谐振动。合成为一个简谐振动。在非线性振动系统中，则不如此。例如，自激振动系统以频

22、率在非线性振动系统中，则不如此。例如，自激振动系统以频率 自振时，若受到频率为自振时，若受到频率为 相接近的激振力的作用，相接近的激振力的作用，则只出现一个频率的振动，即频率则只出现一个频率的振动，即频率 进入同步，这一现象进入同步，这一现象称为称为“频率俘获频率俘获”。能产生频率俘获现象的频带，称为频率俘获区。能产生频率俘获现象的频带，称为频率俘获区域。域。在工程中已得到广泛应用的由两台感应电机分别驱动的激振器在工程中已得到广泛应用的由两台感应电机分别驱动的激振器激励的自同步振动机，就是利用频率俘获原理而进行工作的。激励的自同步振动机，就是利用频率俘获原理而进行工作的。 图图11-6 11-

23、6 示出示出 和和 的关系。对于线性系统的关系。对于线性系统, , 此二个参数此二个参数之间的关系是：只当之间的关系是：只当 , , 才等于零。对于非线性系统才等于零。对于非线性系统, ,例如对自激振动系统例如对自激振动系统, , 当当 小于某一定值时小于某一定值时, , 频率频率 将吻合而出现频率俘获现象。图中的将吻合而出现频率俘获现象。图中的 为频率俘获为频率俘获区。区。 和 的，且和 和 0 0时 0 0和 0 在工程中在工程中, , 频率俘获现象已得到广泛的应用频率俘获现象已得到广泛的应用, , 由两台感应电动由两台感应电动机分别驱动的并装于同一振动系统中的两个偏心转子激振器机分别驱动

24、的并装于同一振动系统中的两个偏心转子激振器, , 就是就是利用这一原理而进行工作的。目前在工业部门中应用的数以万计的利用这一原理而进行工作的。目前在工业部门中应用的数以万计的自同步振动机基于这一原理。图自同步振动机基于这一原理。图11-711-7表示了双激振电机表示了双激振电机( (转轴上带转轴上带有偏心块的电动机有偏心块的电动机, ,作激振器使用作激振器使用) )驱动的振动机的示意图。驱动的振动机的示意图。 试验试验曾指出曾指出, , 当两台激振电动机单独运转时当两台激振电动机单独运转时, , 其转数分别为其转数分别为962962转转/ /分和分和940940转转/ /分分, , 而当同时运

25、转时而当同时运转时, ,其转数同为其转数同为950950转转/ /分分, , 这就是所谓的这就是所谓的频率俘获。频率俘获。图图11-7 11-7 的关系的关系 0和 图图11-8 由两台振动电机驱动的自同步振动机的工作原理图由两台振动电机驱动的自同步振动机的工作原理图 9. 9. 某些非线性振动系统会出现自激振动某些非线性振动系统会出现自激振动 在线性系统中自由振动总是衰减的在线性系统中自由振动总是衰减的, , 严格的周期运严格的周期运动只可能在周期干扰力的作用下产生的强迫振动。而在非动只可能在周期干扰力的作用下产生的强迫振动。而在非线性振动系统中线性振动系统中, , 即使存在阻尼即使存在阻尼, , 也可能珠周期运动。能也可能珠周期运动。能量的损失可以由输入该系统的能量得到补偿量的损失可以由输入该系统的能量得到补偿, , 输入能量的输入能量的时间和大小由振动系统本身进行调节时间和大小由振动系统本身进行