输油管的布置讲座

1、一 问题的提出 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出您的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2. 设计院目前须对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示。其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域）。图中各字母表示的距离（单位：）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若管线铺设的费用

2、均为每千米7.2万元。 管线经过城区还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司A具有甲级资质，公司B和C具有乙级资质）进行了估算。估算结果由下表所示： 工程咨询公司ABC附加费用（万元/千米）212420 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送 B 厂成品油的每千米6.0万元，公用管线费用仍为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案。二 问题的数学背景 Fermat ( Steiner ) 点：到三角形三个顶点距离之

3、和最小的点。 到两定点和一条定直线距离之和最小的点。 （可以称之为拟Fermat点）三 模型与求解问题一 模型一 基于几何方法的解析模型 假设铁路线近似为一条直线。两家炼油厂到铁路线的距离分别为a和b (不妨假设 )，两垂足的距离为l。 添加点P作为两家炼油厂成品油的集运点。容易见到， P到铁路线的一段管道(共用管道)必然与铁路线垂直(垂线最短) ，AP与BP两部分管道必然关于该条垂线对称(直线上取点，到两定点距离之和最小)。 考虑共用管道和非公用管道费用相同时，问题就 是前述的拟Fermat点问题。ba 根据拟Fermat点的性质，只要从A、B两点分别 向铁路线引倾角为 的直线，其交点就是所

4、求的P； 从作图过程可以看到，可能出现两种例外情况： (1) 当 时，A点将位于B点所引直线下方。 最佳方案就是把车站建在C点，将管道直接铺设在 AB和AC连线上；(见下图(a)633lab (2) 当 时，所引直线将交于铁路线下方。最佳方案是将管道交汇点放在铁路线上。根据直线上取点到两定点距离之和最小的反射原理，可以确定P点的位置。(上图(b) 33lba 如果考虑共用和非共用管道费用不同(假定 非共用管道费用是共用管道的k倍), 上述纯几何的 方法不再适用。但是，PA与PB的对称性以及PH垂直于铁路线的性质并未改变，因此可以用几何结合解析的方法建模。 设PH长度为y. 根据对称原理， PA

5、加PB的最小值可以表示成y的函数 原问题的数学模型成为： 22)(lybyaaytskylyba0.)2(min22 根据k的不同取值，可分为以下两种情况： (1) k=1 即共用非共用管道费用相同。容易解得当且仅当 时，( ) 取最小值： 以上又因为已知参数的不同，会有两种例外： 1a) , 这时应取 ，相应的有 ， ； 1b) 即 , 这时应取 相应的 ， ； )(yg)3321*lbay （)3(21*)(lbayglba330* ybaalx*22)(*)(balygalba)3321（lab33ay *0*xalabyg22)(*)()(321*abcx (2) 1k2 即费用不同。

6、同样可以利用一元函数求 极值的方法得，当且仅当 时 取最小值： 同样，根据参数的不同取值也有两种例外： 2a)当 时，应取 ，相应的有 ， 2b)当 时，应取 ，相应的有 ，)4(21*2lkkbay)(yg)(4(21*(2abkklx)(42bakkl0*ybaalx*22)(*)(balyg)(42abkklay *0*xkalabyg22)(*)(lkkbayg24)(21*)(模型二解析模型 以A厂到铁路线的垂线AC为x轴，以铁路线CD为y轴，C为原点，建立坐标系。 设 P 的坐标为(x, y) ( ), 非共用管道的费用单价为p,共用管道费用为非共用管道的k倍，则管道总费用为 原问

7、题可归结为：kyybxlyaxyxf2222)()()(),(minaylx0,0kpyybxlyaxp)(2222aylxts00. . 为求解该模型，可作如下分析： 一旦y固定，上述模型退化成为x的一元函数优化问题 容易验证当且仅当 即 时，有最小值 于是，原问题仍转化成lxtsybxlyaxxf0.)()()()(min2222ybyaxlxybayalx2)(22)2(ybalaytskyybalyg0.)2()(min22四 模型与求解问题二 (1) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用 根据三家咨询公司的资质，对他们的结果进行加权平均，得到最终估计值。计算公式 其中 为赋予三家公司

8、的权，它们应满足 一种可以考虑的方法是将 按从1.0到 分别计算w的值以及相关的结果。 例如：常用的权值取法有0.4:0.3:0.3；0.5:0.25:0.25等等，相应的附加费用值w分别为21.5、21.6万元。1jjwwj132132131 (2) 由于城区油管铺设费用大大高于郊区，因此 不用考虑将共用管道（如果需要）建在城区； (3) 假设输油管在城乡结合处Q点的坐标为 共用管道在郊区铺设，则总费用的数学模型为 记 ，上式等价于 讨论该问题的解析解：),(zc22)()()()3(2minclzbpwczaptppw22)()(2)3()(minclzbtczazg 先对函数 求导： 当

9、且仅当 时， 取最小值 相应的，P点坐标为 ， 数值解（略） 注：真正意义上的解析解还需考虑z在边界上的情况。22)()()(21)( clzbzbtzg14*2tclbz)(zg)(143*)(2cltcbazg)33*(21),*(3(21(czaazc)(zg五 模型与求解问题三 考虑各部分管道费率不等的情况。 分别用 记AP、PQ、PH、BQ段管道的费率，并设P、Q两点的坐标分别为 、 则总费用的表达式为 其中 均为已知。 这是一个三元函数，问题的数学模型归结为求该函数的最小值。 ),(yx4321,kkkk),(zc2243222221)()()()()(),(zbclkykyzxc

10、kyaxkzyxFlcbaki, 由于管道费率不同，AP、PQ关于垂线PH的对称性将不复存在。 利用多元函数微分学的知识求极值： 求函数的驻点，令 。这是一个三元的根式方程，直接求解较为繁琐。222221)()()()(yzxcxckyaxxkxF224222)()()()()()(zbclzbkyzxcyzkzF3222221)()()()()(kyzxcyzkyaxyakyF0zFyFxF 这里利用几个方位角(见下页图) 的三角函数： 将方程改写为： (1) (2) (3)cos)(22yaxxcos)()(22yzxcxcsin)()(22zbclzb0coscos21kk0sinsin321kkk0sinsin42kk 由得： 由得： 两式相加，整理得： 分别代入和，得： 222221coscoskk2223223221sinsin2sinkkkkk322122232sinkkkkk432122232sinkkkkk312221232sinkkkkk 由 解得： 再由 解得： 其中 最后，由 解得：43212223222)()(sinkkkkkzbclzb22122232423212223)(4)(kkkkkclkkkbzcyzyacot)(cot)（c