概率论与数理统计课程总结

1、概率论与数理统计概率论与数理统计课程总结课程总结第一章第一章 主要内容及要求：主要内容及要求：1 1）熟练掌握事件的关系与运算法则：包含、和、）熟练掌握事件的关系与运算法则：包含、和、积、差、互不相容、对立等关系和德摩根定律积、差、互不相容、对立等关系和德摩根定律. .会会用事件的关系表示随机事件用事件的关系表示随机事件. .,BA ,BA,ABBA BA ,BAABA , BA AAAA ,退 出前一页后一页目 录.; BABA2）掌握概率的定义及性质，会求常用的古典概型）掌握概率的定义及性质，会求常用的古典概型中的概率；中的概率；)()()()3(APBPABPBA )(1)()1(APA

2、P )()()()()()2(APBAPABPBPABP退 出前一页后一页目 录3）熟练运用条件概率的定义，事件的互不相容性，）熟练运用条件概率的定义，事件的互不相容性，事件的独立性质事件的独立性质. ;) 1 (BPABPBAP 退 出前一页后一页目 录( (2)2)互不相容事件互不相容事件: : AB = ;(3) A与与B相互独立相互独立：P (A | B) = P ( A )退 出前一页后一页目 录4）熟练运用加法公式，乘法公式，全概率公式，）熟练运用加法公式，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式贝叶斯公式.（1 1）加法公式）加法公式: : 对试验对试验E 的任意两个事件的任意两个事件A

3、 和和B 有有P(AB ) = P(A ) + P(B ) - P(AB ) 若若A和和B互不相容互不相容，有，有P(AB ) = P(A ) + P(B )(2)(2)乘法公式乘法公式设设P ( B ) 0，则有则有P ( AB ) = P ( B ) P ( A|B )若若P ( A ) 0，有有P ( AB ) = P ( A ) P ( B|A )退 出前一页后一页目 录若事件若事件A与与B相互独立相互独立P (AB) = P ( A ) P ( B )(3)(3)全概率公式：全概率公式：设随机试验设随机试验E的样本为的样本为 ，A ， B1，B2 ，Bn 为为 的一个有限划分，且的一

4、个有限划分，且P(Bi) 0, i = 1, 2, , n ; 则则有有 niiiBAPBPAP1)|()()(退 出前一页后一页目 录(4)(4)贝叶斯公式贝叶斯公式设随机试验设随机试验E的样本为的样本为 ，A ， B1，B2 ，Bn 为为 的一个有限划分，且的一个有限划分，且P(Bi) 0, i = 1, 2, , n ; 则则 niiijjjBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(第二章第二章 主要内容及要求：主要内容及要求：1）掌握随机变量分布函数的定义及性质）掌握随机变量分布函数的定义及性质:)(xXPxF F (x) 是一个是一个单调单调不减右连续的函数；不减右连续的

5、函数； ; 1)(0 xF退 出前一页后一页目 录 bXaP aFbF ; 1)(lim, 0)(lim xFxFxx2）掌握离散型随机变量分布律的定义和性质，会）掌握离散型随机变量分布律的定义和性质，会 求离散型随机变量的分布律；求离散型随机变量的分布律；X 1x 2x ， nx P 1p 2p ， np ;0 npn，有有对对任任意意的的自自然然数数. 1 nnp退 出前一页后一页目 录,1,2,3,iiP Xxpi3）掌握连续型随机变量概率密度的性质：）掌握连续型随机变量概率密度的性质：会确定密度函数中的未知参数，会确定密度函数中的未知参数，掌握分布函数与概率密度的关系，掌握分布函数与概

6、率密度的关系，会运用概率密度求连续型随机变量取值落在实轴某会运用概率密度求连续型随机变量取值落在实轴某一区间上的概率一区间上的概率. xdttfxF;)()()3(; 1)()2( dxxf)()()5(1221xFxFxXxP ;)(21 xxdxxf).()()4(xfxF 退 出前一页后一页目 录(1)0)(xf4）两点分布，一次贝努里试验，）两点分布，一次贝努里试验，A发生的次数；发生的次数；X B ( 1, p ), nkppCkXPknkkn，101 ，210! kekkXPk 6）泊松分布；）泊松分布；n比较大比较大,p比较小比较小, =np， X P ( ),5）二项分布，）二

7、项分布，n重贝努里试验，重贝努里试验，A发生的次数发生的次数. 若若 X 表示表示n重贝努里试验中成功出现的次数，重贝努里试验中成功出现的次数，则则 X B ( n , p ),退 出前一页后一页目 录7）均匀分布）均匀分布: X U a , b8）指数分布）指数分布: X Exp ( 其其它它01bxaabxf 000 xxexfx 退 出前一页后一页目 录9）正态分布及其性质：正态分布及其性质：理解一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系，理解一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系，会查表求概率，正态变量的线性变换仍然是正态变会查表求概率，正态变量的线性变换仍然是正态变量量. :10，N

8、X xexx2221 退 出前一页后一页目 录 :2 ，NX xexfx22221 )(xXPxFX)( x).()( abbXaP),(2 NX若若 .)( ,2 abaNbaXY 有有退 出前一页后一页目 录 xx 1)(0,1 .XN第三章主要内容及要求：第三章主要内容及要求：1）掌握二维离散型随机变量分布律的定义；会求）掌握二维离散型随机变量分布律的定义；会求二维离散型随机变量的分布律；二维离散型随机变量的分布律；2）掌握二维连续型随机变量概率密度的性质：会）掌握二维连续型随机变量概率密度的性质：会运用概率密度求二维连续型随机变量取值落在平面运用概率密度求二维连续型随机变量取值落在平面

9、某一区域上的概率某一区域上的概率. GdxdyyxfGYXP.),(),(退 出前一页后一页目 录3）掌握二维均匀分布的定义及性质；）掌握二维均匀分布的定义及性质； DyxDyxAyxf，01.),(),(ABdxdyyxfGYXPG DxyAGB4）会求边缘分布律和边缘概率密度；）会求边缘分布律和边缘概率密度； dyyxfxfX， dxyxfyfY，退 出前一页后一页目 录 iixXPp . jijp jjyYPp . iijp5）掌握随机变量独立性的充分必要条件）掌握随机变量独立性的充分必要条件: yfxfyxfYX ，jiijppp 退 出前一页后一页目 录6）会运用）会运用定理定理及及

10、先求分布函数法先求分布函数法求随机变量函数的求随机变量函数的分布分布. ., 0,|,)(|)()()1(其它其它 yyhyhfyfXY 的分布函数的分布函数先求先求XgY )2( 的的密密度度函函数数关关系系求求之之间间的的的的分分布布函函数数与与密密度度函函数数利利用用XgYXgY yYPyFY yXgP yxgXdxxf)()( .yFyfYY 退 出前一页后一页目 录函数函数g(x)处处可导且处处可导且单调单调7）掌握正态分布的性质：）掌握正态分布的性质： 2iiiNX ，相相互互独独立立，如如果果随随机机变变量量nXXX21，令：令： niiiXaZ1 niiiniiiaaNZ122

11、1 ，则则退 出前一页后一页目 录第四章主要内容及要求：第四章主要内容及要求：1）熟练掌握期望定义和性质；）熟练掌握期望定义和性质； 1)(ikkpxXE dxxxfXE)()( niniiiiiXEaXaE11)()(退 出前一页后一页目 录).()()(,YEXEXYEYX 相互独立相互独立ccE)(2）会求随机变量函数的数学期望；）会求随机变量函数的数学期望；设设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数，是连续函数， dxxfxgYE)()()( 1)()(kkkxgpYE则则),(YXgZ 若若11),()(jijjiipyxgZE则 dxdyyxfyxgZE),(),()(退

12、 出前一页后一页目 录2）会求随机变量函数的数学期望；）会求随机变量函数的数学期望；设设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数，是连续函数， dxxfxgYE)()()( 1)()(kkkxgpYE则则退 出前一页后一页目 录3）熟练掌握方差的定义和性质；）熟练掌握方差的定义和性质；2)()(XEXEXD 退 出前一页后一页目 录 22)()(XEXE )()(2XDaaXD ),cov(2)()()()(2)()()(YXYDXDYEYXEXEYDXDYXD 相互独立，相互独立，若若YX,).()()(YDXDYXD 则则0)( cD5）掌握协方差和相关系数的定义，不相关的定义及）

13、掌握协方差和相关系数的定义，不相关的定义及独立与不相关的关系；独立与不相关的关系；称称 X,Y 不相关不相关。，若若0 XY 若若X，Y相互相互 独立，则独立，则 X , Y 不相关不相关.(反之，不然）反之，不然）4）熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、）熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的期望值和方差值正态分布、指数分布的期望值和方差值.退 出前一页后一页目 录COV( X,Y ) = E(XE(X)(Y-E(Y)= E (XY) E(X) E(Y)()(),(YDXDYXCOVXY 大数定律大数定律第五章主要内容及要求：第五章主要内容及要求：中心极限定

14、理中心极限定理退 出前一页后一页目 录切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 每个随机变量的每个随机变量的方差一致有界，方差一致有界，序列，是相互独立的随机变量设,21nXXX,2 , 1,)( iCXDi使使.服服从从大大数数定定律律则则iX,)()(都都存存在在和和iiXDXE退 出前一页后一页目 录独立同分布大数定律独立同分布大数定律 随机变量的数学期望与方差存在随机变量的数学期望与方差存在, 2 , 1i2)(,)(iiXDXE, 2 , 1)(iXEi，辛钦大数定律辛钦大数定律随机变量的数学期望存在随机变量的数学期望存在)(1XEXini期期望望均均值值 退 出前一页后一页目 录伯努利大数

15、定律伯努利大数定律.服服从从大大数数定定律律则则iXpnm概概率率频频率率独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理), 2 , 1( , 0)()(2iXDXEii，机机变变量量序序列列，是是相相互互独独立立同同分分布布的的随随设设,21nXXX即即：服服从从中中心心极极限限定定理理则则,nX退 出前一页后一页目 录21(,).iiXN nn近似德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理),10(), 2 , 1)(,(pnpnBYn设设随随机机变变量量(,(1).nYN np npp近似,nY则服从中心极限定理 即：第六章主要内容及要求：第六章主要内容及要求：1）掌握统计量的概念；）掌握

16、统计量的概念；2）掌握正态总体的样本均值和样本方差的定义及其）掌握正态总体的样本均值和样本方差的定义及其分布；分布；),(2nNX ) 1 , 0( NnX 即即)1()1(222 nSn )()(XEXEnXDnXnDXDnii21)(1)1()( 22)()( XDSE退 出前一页后一页目 录)()(12122nXnii 退 出前一页后一页目 录)1()(12122 nXXnii ) 1(ntnSX )1 , 0( NnX )(22n记为记为2分布分布1、都服从正态分布N(0,1), 则称随机变量： 相相互互独独立立，定定义义：设设nXXX,21222212nXXX .2分布分布的的服从自

17、由度为服从自由度为 n3）掌握三个常用抽样分布的定义，和分位数的概念，）掌握三个常用抽样分布的定义，和分位数的概念，会利用分位数表查表会利用分位数表查表退 出前一页后一页目 录2、t 分布分布)()(),1 , 0(2ntTtnTnYXTYXnYNX分分布布，记记为为的的服服从从自自由由度度为为则则称称变变量量相相互互独独立立，记记与与且且，定定义义：设设 退 出前一页后一页目 录3、F分布分布),(./),(),(,2121212212nnFFFnnFnYnXFnYnXYX分分布布的的第第二二自自由由度度为为，服服从从第第一一自自由由度度为为则则随随机机变变量量，记记相相互互独独立立，定定义

18、义：设设随随机机变变量量 退 出前一页后一页目 录第七章主要内容及要求：第七章主要内容及要求：要会熟练运用矩法和极大似然法求估计量要会熟练运用矩法和极大似然法求估计量.矩法求估计量的步骤：矩法求估计量的步骤：;)()1(1XE 求求);()2(XEX 令令).,()3(1nXX 解解上上面面方方程程，得得退 出前一页后一页目 录极大似然法求估计量的步骤：极大似然法求估计量的步骤：(一般情况下一般情况下):)()1( L构造似然函数构造似然函数);(ln)2( L取对数：取对数：; 0ln)3( dLd令令.)4( 的的极极大大似似然然估估计计量量解解似似然然方方程程得得 niixfL1;()()(连连续续型型） 退 出前一页后一页目 录估计量的优良性准则估计量的优良性准则退 出前一页后一页目 录定义：设定义：设 是未知参数是未知参数 的估计量，的估计量，若若 ，则称，则称 为为 的的无偏估计无偏估计。),.,(21nXXX )(E1)1)样本的样本的k阶原点矩是总体阶原点矩是总体k阶原点矩的无偏估计量。阶原点矩的无偏估计量。2)2)一个未知参数可有不同的无偏估计量。一个未知参数可有不同的无偏估计量。：设：设 和和 是未知参是未知参数数 的两个的两个无偏无偏估计量，若对估计量，若对