量纲分析作业（完整）

1、量纲作业（仅供参考）整理：周琳1、量纲是否就是单位？两者有何关系。答:量纲不是单位。量纲表示物理量的基本属性。不同属性的物理量具有不同的量纲。单位是用来对物理量度量的标准。2、“Dimension”一词有什么涵义（从中看出其演变）“Dimension”开始有“维数”的意思；后有“长度，尺寸”的意思，指运动学、几何学上的概念；后来出现“量纲”的涵义，用来表示物理量的基本属性。3、自由落体问题中，什么是基本量和导出量，单位系统如何选择，选法是否唯一？答：自由落体问题中含有三个变量：下落行程h，下落时间t，重力加速度g。可以以h，g为基本量，t为导出量，以h，g为单位系统，也可以选t，g为基本量，h

2、为导出量。t，g为单位系统，选法不唯一。4、从物理上分析摆锤质量为何与单摆周期无关。答： 对于一个单摆，当摆长一定时，摆球的位置由摆角确定，摆球的运动由重力加速度g决定，摆球的运动是一个纯运动学的问题，与摆球的质量无关，所以摆球的周期与摆球的质量无关。5、什么是谐振子，求自然频率。答：把振动物体看作不考虑体积的微粒，这个振动物体称作谐振子。所谓谐振，在运动学就是简谐振动，该振动是物体在一个位置附近往复偏离该振动中心位置（叫平衡位置）进行运动，在这个振动形式下，物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。自频率f与弹性系数k，微粒质量m有关。所以取m，k为基本量

3、并作单位系统，所以6、把定理和有的书上说的相似三定理进行比较，分析说明哪个更本质？答：相似三定理：相似第一定理：彼此相似的现象其同名各相似准则数值相同。相似第二定理：现象的各物理量之间的关系，可化为相似准则的关系。相似第三定理：如两个现象单值条件相似，而且由单值组成的各相似准则数值相同，则两个现象相似。相似三定理与定理相比，显然定理中各表示由其单位组成的无量纲量，而这些无量纲量相似三定理中的“同名相似准则”，显然，对于同一个函数f，f内各无量纲量值相同后，f值也必定唯一，即相似三定理中的“同一类现象、单值条件相似”等条件。（1）相似第一定理：即定理中若两个现象具有相同的函数，则其无量纲量数值相

4、同。（2）相似第二定理：即定理中一个物理现象，因变量a是n个自变量的函数，即，取作为单位，将因变量a无量化为，即无量纲化因变量是个无量纲化自变量的函数。(3) 相似第三定理：即定理中两个现象的各无量纲量数值相同，且函数f形式相同，则f值也必定唯一。相似三定律这么复杂的表述，用定理一句话就能得到，显然定理更本质。7、用隐函数证明定理。答：把物理问题的一个因变量和N-1个自变量统一视作变量，其总数是N。记作，则可将物理规律表示为不妨取前k个变量，它们是，其量纲分别为。后面N-k变量是导出量，其量纲可表示为基本量的量纲的幂次式：用基本量作为单位系统，来度量其余量，由此得到的量值都是无量纲的纯数，它们

5、满足的关系是：上式后面N-k个为对F起作用的无量纲因变量，记为，因此函数关系可写为8、推导物理量量纲的幂次表达式的最后一步。答：两边积分得：所以 由于而的取值也具有任意性，可取可得：代入（1）式可得：C=1，所以9、盛水容器底侧小孔的出流速度。（有图）答：小孔的出流速度与容器中水的高度h，重力加速度g和小孔的直径d有关。取为基本量，故有将在x=0点泰勒展开，由于是小孔，1，所以=C，即, 由不可压缩流体的伯努利方程知 C=，即 。10、若溢洪道断面为三角形，讨论溢洪流量。（有图）答：单位时间内流过挡墙的质量流量Q，控制参数有三角形的底部顶角，流体的密度，上游水头h，重力加速度g。取，g，h为单

6、位系统，则：，所以11、分析定常管流的摩擦系数和总管阻？什么情况下可不考虑密度的影响，说明其物理原因。答：摩擦系数为单位面积上的管流阻力和管动压之比。因此，与管直径d，液体密度，粘度系数，流速U相关。即取为基本量并作单位系统，得总管阻（2）层流时，可以不考虑密度的影响。层流时，每个质点基本上作等速运动，流元所受的惯性力和粘性力相比较小，惯性效应不明显。因此可不考虑惯性即密度的影响。12、在低速绕流问题中，如水和空气互相模拟，问机、艇的尺寸和速度的缩比范围是什么？解：固体受到流体的作用力取作为单位，得，其中低速绕流的模拟需要两方面的模拟条件，即 几何相似：和； 动力学相似：。（1）先分析低速飞机

7、在水中的模拟 对于低速飞行的飞机，飞行的速度范围200400km/h，即50120m/s，一般飞机的尺寸：长3060m，翼展3060m，高1020m，水洞的尺寸：直径d=0.1，则尺寸缩比为（考虑做模型试验时飞机的放置方式，显然应以翼展方向的缩比为准）。常温下空气的运动粘性系数，水的运动粘性系数，由，得，得则又，所以一般情况下，水洞的水流速度的量级为110m/s，显然流速远远达不到要求，因此用水洞模拟飞机的低速绕流是不现实的。（2）再分析潜艇在空气中的模拟：对于低速前行的潜艇，其实际速度，潜艇的尺寸：长50100m，宽515m，风洞的尺寸：直径为0.13m，则尺寸缩比为（考虑做模型试验时潜艇的

8、放置方式，显然应以宽度方向的缩比为准）。常温下水的运动粘性系数，空气的运动粘性系数。由，得，得所以 又，所以 因此当潜艇的速度很小且尺寸较小时，可以用大尺寸的风洞进行模拟，即在这种情况下模型试验才可以在风洞中进行。13、作船舶润湿面积的量纲分析。（有图）答：传播的润湿面积S的控制参数有：船舶外形的特征长度，排水体积D，船行进的速度，水的密度，水的粘性系数，重力加速度g。所以取作为单位系统，得到，所以14、轴承问题是否要考虑惯性效应？说明理由。答：在轴承润滑问题中，存在三种力，即惯性力，粘性力和压力。但是一般情况下，标志惯性力和粘性力之比的在0.001-0.01之间，所以可忽略惯性力的影响。为表

9、征惯性的密度，是滑速，h是滑面平均间隙，（R为定承半径，r为轴半径）。15、求小球在流体中下落的最终速度和所受的力。解：控制参数：小球的特征长度，取直径d 小球的密度和水的密度 重力加速度g和水的粘性系数对小球进行受力分析：小球在达到最终速度时已经处于平衡状态，此时受到三个力的作用，重力G、浮力和粘滞阻力F，其中重力向下，浮力和粘滞阻力向上，所以有 由stokes公式知粘滞阻力, 即 显然在分析小球的最终速度v时，小球的密度和水的密度是以差的形式即的出现的，小球的最终速度v满足函数关系 取，和作为单位系统，有 即 （1）由stokes公式知粘滞阻力，小球达到平衡后粘滞阻力F将是恒值，所以速度v

10、和成反比，即 所以（1）式可化为 粘滞阻力其中,为常数。16、什么条件下可不考虑表面张力对水波波速的影响。从物理上做简单分析。答：波长比较长时可不考虑表面张力对水波波速的影响。由水波理论：若波长比大得多，的值就远小于1，则可以忽略表面张力的影响。16、讨论两端固定的梁在侧载作用下的挠度。（有图）答：控制参数有梁的长度，杨氏模量E，截面矩，分布载荷，它可以由特征分布载荷和表示分布特征的长度来表征。所以选取和作为基本量，则：只要保持和，就会有一个无量纲的挠度分布 17、讨论悬臂梁在自重作用下的最大挠度与梁长的关系。解：显然梁的最大挠度发生在梁的自由端处，即处控制参数：梁的长度 梁的抗弯刚度EI 单

11、位长度的梁的重量q 取 坐位单位系统，则 又在弹性范围内，所以有 ，其中C为常数，即 所以 18、什么样的结构物需要考虑重力的作用？答:（1）重力占主导作用时，如分析悬臂梁在自重作用下的挠度分布，显然要考虑重力。（2）在弹性体的高度h超过一定数值，即表征重力与弹性极限Y的比值接近或超过1时，弹性体所受到的重力效应不能被忽略，这样的结构物需要考虑重力的作用。（3）即使表征重力与弹性极限Y的比值远远小于1，如果所要研究的问题出现弹性失效，如屈曲失稳，也应该考虑重力的作用。19、调查一下国内的离心机有多大，可以做什么样的结构物的重力效应实验。答：（1）工业装备结构分析，国家重点实验室最大载荷100k

12、g ，加速度范围，最大回转半径2250mm,主要用于航空航天领域的科学研究。（2）中国工程物理研究院结构力学研究所 TLJ-60有效半径2.0m，最大载荷：100g时600kg，200g时300kg。最大容量60，加速度范围10-200g，用于模拟边坡、隧道、大坝、矿井等土工结构场在重力场作用下的变形特性和应力状态试验。20、如方形空心梁由实心梁代替，那么实心梁的形状要求符合什么条件？解：对梁的挠度分析可知，不必要求模型的截面形状遵守几何相似的条件，只要求截面矩满足，即 对于方形实心梁，设边长为L，则 对于方形空心梁，设外边长为，内边长为 ，则 21求有限弹性体的固有周期。答：控制参数有：周期

13、T，弹性体特征长度，密度，杨氏模量E，泊松比，则取为基本量并作为单位系统，所以：22、弹性体中体波的传播有无色散现象，为什么？答：体波是指体内一点扰动在有限时间传播到有限体积的波，显然在体波的传播中没有特征长度，也就无法去度量波长，所以体波波速的控制参数中没有波长。波速c的控制参数有介质的密度，泊松比，杨氏模量E，则：取，E作为基本量，则有，即 体波的波速与波长无关，所以弹性体中体波的传播没有色散现象。23、杆径对杆中弹性波波速起什么作用？答：杆中弹性波一方面沿杆长方向传播，另一方面当遇到杆表面时会发生反射，因而会影响波的传播，波速表达式中会出现项。由量纲分析波速，波速与波长有关。因此细杆中弹

14、性波为色散波。细长杆压缩波波速，当R增加时，波速降低。24、求两块单板正面相撞引起的弹性波的波速。（与有关弹性波书中的结果作对比）答：波速c的控制参数有平板的密度，泊松比，杨氏模量E，则：取，E作为基本量，则有，即 王礼立的应力波基础给出的一维应变弹性纵波波速c为 即 由于，所以可得 ，即。25、若硬度计的压头不是锥形而是球形，可否分析硬度和强度在什么条件下成正比？答：材料杨氏模量E，屈服极限Y，n是塑性硬化指数，泊松比，给定了材料和球形压头半径R，那么，载荷F和接触深度应该由压入深度h唯一确定。和因硬度H定义为，而所以H同样是上述自变量的函数，即取E，h作为基本量并取作单位系统，于是有：也可

15、写为 可见右边无量纲数中是随h的变化而变化的，难以判断H和Y成正比关系。26、什么是几何相似？什么是几何相似律？举例说明。答：几何相似是指在模型实验中，模型与原型之间遵循的几何形状相似条件。例如在低速绕流中，几何相似指，即几何相似律：若模型采用与原型相同的材料，则在满足几何形状相似和分布函数相同的条件下，在几何相似点上有相同的相对位移，应力和应变。例如在考虑弹性体内的位移，应力，应变时，在几何相似点上有27、相似律是否一定相求几何相似？答：不一定，例如在结构失稳的临界载荷模拟实验中，不需要截面形状几何相似，只要做到原型和模型的截面矩具有相同的分布函数。28、估计和比较典型金属材料中弹性波传播和热传导的特征时间。答：（1）对于钢，弹性波的传播时间约为：热传导的特征时间约为