3.2.1直线的点斜式方程（沐风书苑）

1、新课导入新课导入1. .已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可以确定一条直线。以确定一条直线。2. .已知两点可以确定一条直线。已知两点可以确定一条直线。 在直角坐标系内确定一条直线的几何在直角坐标系内确定一条直线的几何要素有哪些？要素有哪些？1阳山书屋c 给定一个点给定一个点P0（x0,y0）和斜率和斜率k，或给，或给定两点定两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2），就能确定一，就能确定一条直条直线线.能否将直线上所有点的坐标能否将直线上所有点的坐标（x, y)满满足的关系表示出来？足的关系表示出来？2阳山书屋c3.2.1 直线的点斜式方程直线的点

2、斜式方程3阳山书屋c知识与能力知识与能力教学目标教学目标 理解直线方程的点斜式理解直线方程的点斜式,斜截式的形式特点和适斜截式的形式特点和适用范围。用范围。 能正确利用直线的点斜式能正确利用直线的点斜式,斜截式公式求直线方斜截式公式求直线方程。程。 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。4阳山书屋c过程与方法过程与方法 情感态度与价值观情感态度与价值观 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系的关系,进一步培养学生数形结合的思想进一步培养学生数形结合的思想,渗透数渗透数学中普遍存在相互联系学中普遍存在相互联系,

3、相互转化等观点相互转化等观点,使学生使学生能用联系的观点看问题。能用联系的观点看问题。 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素素直线上的一点和直线的倾斜角的基础上直线上的一点和直线的倾斜角的基础上,通过师生探讨通过师生探讨,得出直线的点斜式方程得出直线的点斜式方程;学生通学生通过对比理解过对比理解“截距截距”与与“距离距离”的区别。的区别。5阳山书屋c教学重难点教学重难点重点重点难点难点 直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。 直线的点斜式方程和斜截式方程。直线的点斜式方程和斜截式方程。6阳山书屋c 已知直线已知直线l经

4、过已知点经过已知点P0（x0，y0），并且它，并且它的斜率是的斜率是k，求直线，求直线l的方程。的方程。Oxyl.P1 设点设点P（x，y）是直线是直线l上不同于上不同于P0的任意的任意一点一点. .根据经过两点的直线斜率公式，得根据经过两点的直线斜率公式，得00 xxkyy可可化化为为00 xxyykP .7阳山书屋c由以上推导可知：由以上推导可知： 过点过点P（x0,y0），斜率为，斜率为k的直线的直线l上的每一点上的每一点的坐标都满足方程的坐标都满足方程 y-y0=k(x-x0)。8阳山书屋c视频：点斜式直线方程的图型描绘视频：点斜式直线方程的图型描绘9阳山书屋c 坐标满足上面方程的每一

5、点是否都在过点坐标满足上面方程的每一点是否都在过点P（x0,y0），斜率为，斜率为k的直线上？的直线上？思考思考 （1）若）若x1=x0，则，则y1=y0，说明点，说明点P1与点与点P0重合，重合，可得点可得点P1在直线在直线l上上. .Oxyl0P10阳山书屋cx1x0 xOy1P0P ( (2) )若若x1x0，则，则 ，这说明过，这说明过点点P1和点和点 P0 的直线的斜率为的直线的斜率为k，可得点，可得点 P P1 1在过点在过点 P0（x0,y0），斜率为，斜率为k的直线的直线l上上. .00 xxkyy11阳山书屋c 以上分析说明：方程恰为过点以上分析说明：方程恰为过点P0（x0,

6、y0），斜率，斜率为为k k的直线的直线l l上的任一点的坐标所满足的关系式，我们上的任一点的坐标所满足的关系式，我们称方程称方程 为过点为过点P0（x0,y0），斜率为，斜率为k的直线的直线l的方程的方程. .00 xxkyy 这个方程由直线上一点及其斜率决定，我们叫这个方程由直线上一点及其斜率决定，我们叫做做直线的点斜式方程，简称点斜式直线的点斜式方程，简称点斜式. .00 xxkyy12阳山书屋c 直角坐标系中所有直线都能用点斜式表示吗？直角坐标系中所有直线都能用点斜式表示吗？xOyl 所以，斜率不存在，即倾所以，斜率不存在，即倾斜角为斜角为90的直线不能用点斜式表示的直线不能用点斜式表

7、示. .00 xxkyy思考思考13阳山书屋c x轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？y轴所在直线的方轴所在直线的方程是什么？程是什么？xOyx轴所在直线的方程为轴所在直线的方程为y=0，y轴所在直线的方程为轴所在直线的方程为x=0。14阳山书屋c 倾斜角为倾斜角为0的直线的方程是什么？的直线的方程是什么？ 此时，此时，tan 0=0 即即k=0，这时直线与，这时直线与 x轴平轴平行或重合，直线的方程就是行或重合，直线的方程就是y-y0=0或或y=y0。xOy0Pl15阳山书屋c 倾斜角为倾斜角为90的直线的方程是什么？的直线的方程是什么？ 此时，直线没有斜率，直线与此时，直线没有

8、斜率，直线与y y轴平行或重轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示。直线的方程为合，它的方程不能用点斜式表示。直线的方程为y-y0=0或或y=y0。xOy0Pl16阳山书屋c 直线直线l经过点经过点P(1,2)，且倾斜角，且倾斜角=135，求，求直线直线l的点斜式方程，并画出直线的点斜式方程，并画出直线l。解：直线经过点解：直线经过点P(1,2)，斜率，斜率k=tan 120=-1，代入点斜式方，代入点斜式方程得程得 y-2=-1(x-1) 画图时，只需取直线上的另画图时，只需取直线上的另一点一点Q(x1,y1), ,例如取例如取x1=0,y1=3，得得Q的坐标为的坐标为（0，3）过点过点P,

9、Q的的直线即为所求。直线即为所求。例一例一O1231234xyPQ17阳山书屋c 已知直线已知直线l的斜率是的斜率是k，与，与y轴的交点是轴的交点是P（0，b），求直线方程。，求直线方程。代入点斜式方程，得代入点斜式方程，得l的直线方程：的直线方程：y-b=k（x-0）即即 y = k x + b 。xOyP(0,b)18阳山书屋c 我们把直线我们把直线l与与y轴交点轴交点（0，b）的纵坐标的纵坐标b叫叫做直线做直线l在在y轴上的轴上的截距截距，方程，方程 y=kx+b，由直线，由直线k与与它在它在y轴上的截距轴上的截距b确定，所以，该方程叫做直线的确定，所以，该方程叫做直线的斜截式方程斜截式

10、方程，简称，简称斜截式斜截式。xOy(0,b)19阳山书屋c 截距是距离吗？截距是距离吗？思考思考xOy(0,b)xOy(0,b) 截距等于截距等于b, ,可能为正值，也可能为负值。可能为正值，也可能为负值。所以，截距不是距离。所以，截距不是距离。20阳山书屋c 直线直线 l 在在 x 轴上的截距是什么轴上的截距是什么？xOy(a,0) 直线直线l与与x轴交点轴交点（a ，0）的横坐标的横坐标a叫做叫做直线直线l l在在x x轴上的截距。轴上的截距。21阳山书屋c 观察方程观察方程y=kx+b，它的形式有什么特点？，它的形式有什么特点？ 左端左端y的系数恒为的系数恒为1，右端，右端x的系数的系

11、数k和常数项和常数项b均有明显的几何意义均有明显的几何意义. .k是直线的斜率，是直线的斜率，b是直线是直线在在y轴上的截距。轴上的截距。.bkxy斜率斜率y轴上的截距轴上的截距22阳山书屋c 斜率是斜率是5，在，在y轴上的截距是轴上的截距是4的直线的点斜的直线的点斜式和斜截式。式和斜截式。解：由已知得解：由已知得k=5，b=4，代入斜截式方程，代入斜截式方程 y = k x + b 。得到得到y=5x+4斜截式斜截式例二例二变形得到变形得到y+1=5(x+1)点斜式点斜式23阳山书屋c课堂小结课堂小结1.1.直线方程的两种形式：直线方程的两种形式： 点斜式：点斜式： 斜截式：斜截式： )(1

12、1xxkyy.bkxy2.2.两种特殊情况两种特殊情况: :过点过点P(x0,y0)且与坐标轴平行的且与坐标轴平行的直线的方程分别是直线的方程分别是: :y=y0和和x=x0。24阳山书屋c随堂练习随堂练习(1)直线直线m的方程为的方程为 则直线则直线m所过所过定点定点P的坐标是的坐标是_,倾斜角是倾斜角是_。如果直。如果直线线n也过也过P点点,且倾斜角为直线且倾斜角为直线m 的倾斜角的一半的倾斜角的一半,则直线则直线n的方程为的方程为_。 23(1)yx(-1,-2)32(1)3yx(2) 直线直线n的倾斜角为直线的倾斜角为直线m的倾斜角的一半的倾斜角的一半, 则则直线直线n的斜率也是直线的

13、斜率也是直线m的斜率的一半。对吗的斜率的一半。对吗? 错错601.填空填空25阳山书屋c（4）已知直线的点斜式方程是已知直线的点斜式方程是 y-2=x-1，那么此直线，那么此直线的斜率是的斜率是_，倾斜角是，倾斜角是_。145(3)直线直线m的方程为的方程为 y=ax+2a+1, 则直线则直线m必过定点必过定点_。 （-2，1）26阳山书屋c2.一条直线经过点一条直线经过点A（0，5），倾斜角为，倾斜角为0，求求这直线方程。这直线方程。解：这条直线经过点解：这条直线经过点A（0，5）,斜率是斜率是k=tan0=0代入点斜式，得代入点斜式，得y - 5 = 0Oxy527阳山书屋c3. .写出下

14、列直线的点斜式方程：写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点）经过点A(3,-1), ,斜率是斜率是 （2）经过点）经过点B（ ，2），倾斜角是，倾斜角是30（3）经过点）经过点C（0，3），倾斜角是，倾斜角是0（4）经过点）经过点D(-4，-2），倾斜角是，倾斜角是1202 22 2 (1)y12(x3)3(2)y2(x2)3(3)y3(4)y23(x4)28阳山书屋c( (6) )倾斜角是倾斜角是135，在，在y y轴上的截距是轴上的截距是3。( (5) )斜率为斜率为 ，在，在y y轴上的截距是轴上的截距是-2。2 23 3 32(5)yx2(6)yx3(7)y = 3x - 1(8)x

15、- 3 = 0 y - 1 = 0( (7) )斜率为斜率为3，与，与y y轴交点的纵坐标为轴交点的纵坐标为-1。( (8) )过点过点（3，1），垂直于，垂直于x轴轴; ;垂直于垂直于y轴。轴。 29阳山书屋c4. .已知直线已知直线l过过A（3，-5）和和B（-2，5），求直，求直线线l的方程。的方程。解：解：直线直线l l过点过点A（3，-5）和和B（-2，5） L55k223将将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得代入点斜式，得y-(-5) =-2(x-3), ,即即 2x+y-1=030阳山书屋c则它与两坐标轴的交点分别为则它与两坐标轴的交点分别为(3b/4,0)和和(0,b).

16、.由题意知由题意知2 22 23b9b3b9b416416| | |b|b9| | |b|b9整理得整理得 |b|=35. . 求与两坐标轴围成的三角形周长为求与两坐标轴围成的三角形周长为9，且斜率，且斜率为为 的直线方程。的直线方程。43解：设直线的方程为解：设直线的方程为 3xyb4b=b=3.3.所以直线得方程为所以直线得方程为 或或 . . 3xy34 3xy3431阳山书屋c解：设直线的方程为解：设直线的方程为y-4=k(x-1)。则它与两坐标轴的交点分别为则它与两坐标轴的交点分别为(1-4/k,0)和和(0,4-k)整理得整理得0)4(2k所以直线得方程为所以直线得方程为y-4=-4(x-1) 即即y=-4x+8。6. .