振动力学第8章第3、4、5节

1、 极限环或自激振动是一种非线性现象。8.3 自激振动自激振动 极限环极限环 工程中有很多自激振动的实例，如钟表的摆、干摩擦自振、输电线舞动、管内流体喘振、机翼的颤振、机床颤振和车轮制动闸瓦的尖叫声等。 经典的皮带问题如图8.3-1(a)所示，皮带以等速v移动，在适当条件下，此质量-弹簧系统可能为动力不稳定；图8.3-1(b)表示棒在稳定流场中的可能振动。图 8.3-1这些例子说明：一个非线性系统在一个常数激励作用下，可能产生周期振动。 1. 自激振动自激振动 所谓的自激振动是系统内部的非振动的能量转换为振动的激励而产生的振动。 对于自激振动可以做如下的物理解释： 存在一个与系统有关的外部恒定的

2、能源，自激振动靠系统外部的来源补充能量，使运动的系统与恒定能源之间产生交变力，这个交变力在运动方程中体现为阻尼项。当系统振动较小时，方程中的阻尼项成为负阻尼，使系统周期性地从恒定能源吸收能量而使运动增长；当运动增长到一定程度，方程中的阻尼项成为正阻尼而使运动衰减。当系统在一个周期内损失的能量和吸入的能量相等时，系统呈现稳态的周期运动。这种的稳态周期运动就称为自激振动，或简称自振。 线性系统不可能产生自激振动，能产生自激振动的系统必为非线性系统。前面介绍的范德波方程和瑞利方程所代表的振动都属于自激振动。 自激振动与保守系统的自由振动不相同。保守系统的自由振动的振幅由初始条件确定，而自激振动的振幅

3、与初始条件无关，它决定于系统本身的参数。 自激振动由于能源恒定而不同于强迫振动。系统依靠自身运动状态的反馈作用调节能量输入，以维持不衰减的持续振动。也就是说，在自激振动中，外界恒定的能源给予振动系统的交变力是由运动本身产生或控制的，运动一旦停止，交变力也随之消失。而在强迫振动中，交变力是由外部能源独立产生的，它不依赖于运动，即使运动消失了，交变力仍可存在。这样，强迫振动的频率完全决定于外加激励频率，而自激振动的频率则很接近于系统的固有频率。 例例8.3-1 分析电铃(图8.3-2)的自激振动。 通电后铃锤在电磁力的作用下产生位移敲击铜铃，同时使电路断开，铃锤在弹簧恢复力作用下回到原处，如此往复

4、循环以产生持久的自激振动。 解：解：电铃的铃锤和弹簧片组成了振动系统，电源为恒定的能源，电磁断续器为调节器。图 8.3-2 例例 8.3-2 分析蒸汽机(图8.3-3)的自激振动。蒸汽推动活塞，并通过连杆带动飞轮转动，同时使配汽阀移动以改变进汽方向，使蒸汽朝相反的方向推动活塞。活塞在蒸汽的往复推动下的运动带动飞轮作持久的转动。 解：解：蒸汽机的活塞、连杆和飞轮组成了振动系统，锅炉供应的蒸汽为恒定能源，配汽阀为调节器。图 8.3-3 2. 自激振动的特征自激振动的特征 (1)振动过程中，存在能量的输入与耗散，因此自振系统为非保守系统。 (2)能源恒定，能量的输入仅受运动状态，即振动系统的位移和速

5、度的调节，因此自振系统不显含时间变量，为自治系统。 (3)振动的特征量，如频率和振幅，由系统的物理参数确定，与初始条件无关。 (4)自治的线性系统只能产生衰减自由振动，无耗散时也只能产生振幅由初始条件确定的等幅自由振动。因此自振系统必为非线性系统。 (5)自激振动的稳定性取决于能量的输入与耗散的相互关系。若振幅偏离稳态值时，能量的增减能促使振幅回至稳态值，则自激振动稳定(图8.3-4a)。反之，自激振动不稳定(图8.3-4b)。图 8.3-4 3. 极限环极限环 自激振动是稳态的周期性运动，所以它在相平面上的相轨线构成一条封闭的轨迹，相平面内的封闭相轨迹与实际系统的周期运动相对应。保守系统在稳

6、定平衡位置附近的等幅自由振动对应于相平面内围绕中心奇点的封闭相轨迹族，在密集的封闭相轨迹族中，实际相轨迹的振幅由初始运动状态确定。 在封闭曲线周围布满了螺线型的相轨迹逐渐地趋近极限环，它们或者盘向极限环，或者盘向奇点。 自激振动是一种特殊的周期运动，它的振幅和频率由系统的物理参数唯一确定，与初始运动状态无关。 因此自激振动在相平面内的相轨迹是孤立的封闭曲线，庞加莱(Poincare)称此闭轨迹为极限环。 反之，若扰动后的相轨迹远离极限环，其中只要有一侧的相轨线是离开极限环的，则这样的极限环称为不稳定的，如图8.3-5中的M1和M3。 图 8.3-5 极限环又有稳定的和不稳定之分。如果极限环两侧

7、的相轨线都趋近于它，既当相点由于扰动偏离极限环后，即沿新的相轨迹运动，若扰动后的相轨迹仍渐近地贴近极限环，则称极限环是稳定的如图8.3-5中的M2。 自激振动在各种技术问题中占有极重要的地位，因此确定极限环的存在及其稳定性就成为非线性自治系统理论中的一个重要问题。从上面的定性分析可知，极限环的存在是明显的，但是对于一个给定的系统要想从理论上证实极限环的存在并具体地找到该极限环却是困难的。在很多情况下，问题的解决还是要借助于图解法。 不稳定的极限环是实际系统不能实现的运动，它是用几何作图法画不出来的。稳定的极限环对应于系统的稳态周期运动，即自激振动。 一个具有极限环系统的经典例子是范德波振子。这

8、个例子可以说明极限环的一些性质。 范德波振子是由下面的微分方程所描述，即210 0 xxxx (8.3-1)上式可认为是一个具有可变阻尼的振子。确实, 这一项可以看成一个与振幅相关的阻尼系数。对于|x|1它是正的。因此当运动在|x|1时正阻尼有助于减小振幅，所以预期会有极限环而且确实得到了极限环。12x2122112, 10 xxxxxx (8.3-2)显然，原点是一个平衡点。为了了解这个平衡点的性质，列出下面线性化系统的系数矩阵110a(8.3-3)有根122221 (8.3-5)它导致特征方程012(8.3-4) 令 则方程(8.3-1)可以用两个一阶微分方程来代替12, ,xxxx 当2

9、时根1与2都是正实数，所以原点是不稳定结点。另一方面，当2时根1与2是具有正实部的共轭复数，所以这个原点是不稳定焦点。不管怎么样，原点是不稳定平衡点，而在它邻域内开始的任何运动趋向于离开这个邻域而达到极限环。 为得到轨迹的方程，把式(8.3-2)的第二式除以第一式，结果有2121121ddxxxxx(8.3-6)要求得上式的一个封闭解是不可能的。 轨线可以用某种图解方法来求得，例如用等倾线法，或者用计算机摸拟。图8.3-6给出了对=0.2和=1.0的值用计算机摸拟求得的极限环。图 8.3-6 可见，一个稳定的极限环包围一个不稳定平衡点，而一个不稳定极限环包围了一个稳定平衡点。 注意到，当0时则

10、是轨道渐近稳定的。q 从图8.3-6显然可见极限环的形状决定于参数。事实上，当0极限环趋于一个圆。因为所有轨迹不论从外面或从里面都趋近于极限环，所以这极限环是稳定的。 对于0的情况线性化分析会判定不稳定，其运动要无限增大。控制振幅大小的是非线性,即 。在这种情形，恰当的线性化必须在极限环的附近，这样会得出一个带有周期性系数的线性系统。xx 2q 最后，必须指出，对于呈现有极限环的系统，在其原点周围用线性化分析是不适当的。 摄动方法是针对所谓弱非线性系统的渐近的解析法，也称为小参数法，它是求解非线性振动方程最有效的方法之一，是由庞加莱和李亚普诺夫所拟定、在解决各种问题时广泛应用的方法，其基本做法

11、是把解展开成小参数的幂级数，以寻求满足一定误差要求的渐近解。8.4 基本的摄动方法基本的摄动方法 求解非线性振动的摄动法中有各种渐近的解析方法，包括基本摄动法和各种奇异摄动法。奇异摄动法主要包括林斯泰特法和KBM法等。非线性振动的许多特性都可以用摄动渐近解描述出来。 描述物理系统的微分方程，可分为一部分只包含常系数的线性项，另一部分与前者相比是微小的非线性项(自治的或非自治的)，其微分方程为如下形式t , x , xfxx 20(8.4-1)式中为一个小参数，函数f是关于x和 解析的非线性函数，也可以与时间t有关。这样的系统称为弱非线性系统，相应地方程(8.4-1)称为弱非线性方程，使系统成为

12、非线性的微小项称为摄动项。 x 020 xx (8.4-3)如果f中不显含时间t，则得到弱非线性自治方程 x , xfxx 20 (8.4-2)这是大家所熟知的最简单的无阻尼单自由度线性振动问题，0为固有频率。 设有弱非线性自治系统由微分方程(8.4-2)所描述。当=0时，此方程成为 方程(8.4-2)的解除了依赖于时间t还依赖于小参数，通常方程(8.4-2)没有精确解，根据庞加莱展开定理，解x(t,)可以展开为的幂级数的形式，即 txtxtx, tx2210(8.4-4)式中函数xi(t)( )为各阶渐近解，是时间t的函数而与无关。x0(t)是方程(8.4-2)当=0时的解，即方程(8.4-

13、3)的解，称为零次渐近解或母解。,2, 1 ,0i 把式(8.4-4)代入式(8.4-2)的左端，有2222001200122222000101202xxxxxxxxxxxxxx(8.4-5)0000002222200022,122!f x xf xx xxfff x xxxxxfffxx xxxx xx (8.4-6)把式(8.4-4)代入式(8.4-2)的右端的 , 因为 是解析函数，故可将它在母解 的邻域展成泰勒级数，即xxf,xxf,00,xx式中221212,xxxxxx (8.4-7)000011222222000002211 1122,112!2!fff x xf x xxxxx

14、fffffxxxx xxxxxx xx (8.4-8) 是指 在 取值，其余的类同。将式(8.4-7)代入式(8.4-6)，按的幂次整理得到xxxf,xf000 ,xxxx 将式(8.4-5)和式(8.4-8)同时代入式(8.4-2)得到22220001012022000011,xxxxxxfffxxxxxx(8.4-9)方程(8.4-9)必须对的一切值都成立，而且函数xi(t)( )与无关，故方程(8.4-9)两端同次幂的系数必须相等，这就得到方程组,2, 1i上面的每个方程都是线性方程。第一个方程(8.4-10a)无右端项，可以直接写出它的解，其余各关于xi(t)(i=0,1,2,)的方程

15、，其右端所包含的变量与导数只到xi-1(t)与 为止，因此方程组(8.4-10)可依次求解。1ix 00200 xx (8.4-10a)001201, xxfxx (8.4-10b)10102202xxfxxfxx (8.4-10c) 2012201200000000 xxxxxxxx (8.4-11)可以取各阶渐近解的初始条件为式(8.4-12)中各组初始条件可以决定方程(8.4-10)中各阶渐近解的积分常数。 0000 , 00 1,2,00 , 00iixxxixxx (8.4-12) 上述各阶渐近解均包含有积分常数，这些积分常数的确定，可以由已给定的初始条件x(0)和 定出。把初始条件

16、按式(8.4-4)的形式展开得 0 x 式(8.4-4)所表示的级数解称为方程(8.4-2)的形式解。庞加莱定理指出，只要小参数的模充分的小，级数就是收敛的。如果截取级数(8.4-4)的前n项作为n次渐近解，由此引起的截断误差与的(n+1)次幂同阶。即满足条件 12210O,nnntxtxtxtxtx(8.4-13)式中符号O(n+1)表示一个量级为n+1的小量，它是截断误差。式(8.4-13)所代表的意义是级数中的每一项只是它前面一项的微小修正。所以，当的模充分小时，取渐近级数的开头几项来表示解就有很好的近似。 但是对于一个实际问题，小参数是有确定的值的，不可能任意地小，所以级数(8.4-4

17、)只能在自变量t的某个区间内才能一致地满足式(8.4-13)。也就是说用级数(8.4-4)表示解只能在自变量的某个区间内才一致有效。 现举例说明如下。 例例8.4-1 系统有最简单的非线性弹性时，可近似地化简成下面的杜芬(Duffing)方程 00 00 x,Ax给定初始条件为用基本摄动法求此问题的解。0320 xxx (8.4-14a)32020 xxx 或(8.4-14b) 解：解：取方程(8.4-14)有如式(8.4-4)的解，由式(8.4-10)得到下列方程组20002231010022220200103xxxxxxxx x 可以把初始条件取成下列形式 0000, 0000, 00 1

18、,2,iixAxxxi并利用三角恒等式ttt0003cos33cos41cos得tAtAxx030200302012013cos41cos43 它的解为tAttAtDtCx03003000013cos321sin83sincos将初始条件代入方程组，得tAx000cos考虑i=1的初始条件，x1为tAttAtAx030030003013cos321sin83cos321将x0和x1代入式(8.4-4)，就得到精确到O()的渐近解ttttAtAx000030003cos321sin83cos321cos从x1式看到，x1中包含有tsin0t项，称为长期项(或称永年项)。常数22242202xxx因此x不可能为无穷大。由于长期项的出现，使得渐近解x随时间t的增加而无限增长，即当 时， ，这与事实相矛盾。实际上，方程(8.4-14)经过一次积分后可得tx 级数只有当t=O(0)时，即在t0)的弹簧，频率比线性系统提高，反之0，频率减小。 例例8.