第12章变异数分析-1

1、第十二章第十二章 变异数分析变异数分析 1变异数分析变异数分析是用来是用来 检定多组平均数是否相等的问题，检定多组平均数是否相等的问题，不是在检定变异数相等的问题不是在检定变异数相等的问题 112.112.1变异数分析简介变异数分析简介 在第九章例在第九章例9.6我们检定甲、乙我们检定甲、乙 两家公司轮胎平均寿命是否有显著差两家公司轮胎平均寿命是否有显著差异？异？如果要问的是甲、乙、丙、丁如果要问的是甲、乙、丙、丁 四家公司轮胎平均寿命有无显著差异，四家公司轮胎平均寿命有无显著差异， 那要如何进行呢？那要如何进行呢？1一对对做比较一对对做比较也许初学者会想这有什么困难呢？也许初学者会想这有什么

2、困难呢？ 只要一对对做比较，只要一对对做比较，先比较甲、乙两组有无差异，先比较甲、乙两组有无差异， 再比较甲、丙有无差异，再比较甲、丙有无差异，1如果做两次的一对对平均数的比较如果做两次的一对对平均数的比较 都没有差异，都没有差异， 那甲、乙、丙三家厂商轮胎平均寿命那甲、乙、丙三家厂商轮胎平均寿命 就没有差异了，就没有差异了，1但问题在于每一次做检定时，但问题在于每一次做检定时， 作决策必有犯错的风险作决策必有犯错的风险 (即有犯错机会，如型即有犯错机会，如型I、型、型II误差误差)，1例如上述做例如上述做2次比较，次比较， 如每次订的显著水平是如每次订的显著水平是0.05， 则则2次合计后犯

3、型次合计后犯型I误差是多少，误差是多少，就无法真正算出，就无法真正算出， 可能会高达可能会高达0.05 + 0.05 = 0.10也不一也不一定。定。1例例12.112.1、有甲、乙、丙三种包装设计，有甲、乙、丙三种包装设计， 比较两两组间平均销售量比较两两组间平均销售量 是否有显著差异是否有显著差异? 各随机找各随机找10家商店销售，家商店销售， 结果甲、乙、丙的结果甲、乙、丙的 样本平均销售量与标准差分别如下样本平均销售量与标准差分别如下 1 甲甲 乙乙丙丙 商店数商店数101010 平均数平均数464250 标准差标准差5551(1) 检定甲、乙两种包装设计检定甲、乙两种包装设计 平均销

4、售量是否有显著差异平均销售量是否有显著差异?(2) 检定甲、丙两种包装设计检定甲、丙两种包装设计 平均销售量是否有显著差异平均销售量是否有显著差异?(3)检定乙、丙两种包装设计检定乙、丙两种包装设计 平均销售量是否有显著差异平均销售量是否有显著差异? 1(1) (1) 甲、乙两组比较甲、乙两组比较 1011014246Pst101101542467889. 1545 1甲、乙两种包装设计甲、乙两种包装设计平均销售量没有显著差异平均销售量没有显著差异 1009. 27889. 1|025. 0 ,18tt1(2) (2) 甲、丙两组比较甲、丙两组比较 1011015046Pst101101550

5、467889. 1545 1甲、丙两种包装设计甲、丙两种包装设计平均销售量没有显著差异平均销售量没有显著差异 1009. 27889. 1|025. 0 ,18tt1(3) (3) 乙、丙两组比较乙、丙两组比较 1011015042Pst101101550425776. 3585 1乙、丙两种包装设计乙、丙两种包装设计平均销售量有显著差异平均销售量有显著差异 1009. 25776. 3|025. 0 ,18tt1 12.2 12.2 一因子模式 1 一因子的配置 1A 2A iA kA 11y 21y 1 iy 1ky 12y 22y 2iy 2ky ijy 11ny 22ny iiny k

6、kny 樣本平均數 1y 2y iy ky y 樣本標準差 1s 2s is ks s 1一因子模式一因子模式( () ) ijiijy1其中其中 (1) ijy是因子A在第i個水準下第 j 個實驗觀察值； (2) i是因子A在第i個水準下的平均數； (3) ij是誤差項(不可控因子)，並假設 ijiidN(0,2)； (4) in是因子A在第i個水準下的樣本數。 1变异数分析变异数分析(ANOVA)(ANOVA)用来检定用来检定 k 组母体平均数是否相等问组母体平均数是否相等问题，题， 写成数学式子是检定写成数学式子是检定 1都相等不是所有ikHH:1210对误差项我们有对误差项我们有3 3

7、个基本假设：个基本假设： (1) 常态性常态性(各个误差取自常态分配各个误差取自常态分配) (2) 均质性均质性(各个误差变异数相等各个误差变异数相等) (3) 独立性独立性(各个误差间无相关各个误差间无相关) 1一因子模式一因子模式( () )： ijiijy1其中 01kiiin (當所有in相等，則 01kiiin可改為 kii10) 平均数是否有显著差异？平均数是否有显著差异？即检定即检定 kH.:21010.:210kH如果虛無假設0H是對的話，那麼各組樣本平均數iy應都很接近 yyyyk211式很大时，就应弃却式很大时，就应弃却 2222112)()()(yyyyyykkii10H

8、第i組的變異 122221)()()(iiniiiiiyyyyyySSi212) 1()(iinjiijsnyyi组内平方和组内平方和( (或残差平方和或残差平方和) ) kinjiijkiyySSSSSSSSEW11221)(.1 组间平方和组间平方和(B)(B)( (或因子或因子A A的平方和的平方和( (SSASSA) ) 2222211)(.)()(yynyynyynSSABkk1= kinjikinjiiiyy112112)( F F检定检定)kN/()k/(WBF1MSEMSASSESSA)kN/()k/(1 1例例12.2 12.2 轮胎平均寿命轮胎平均寿命设设阳明阳明货运公司想

9、从甲、乙、丙、丁货运公司想从甲、乙、丙、丁 四家轮胎厂商中选一家厂商采购轮胎，四家轮胎厂商中选一家厂商采购轮胎， 各从四家厂商随机抽样各从四家厂商随机抽样10个轮胎做测个轮胎做测试试 试问此四家厂商轮胎平均寿命试问此四家厂商轮胎平均寿命 是否有显著差异？是否有显著差异？( = 0.05) 1表表12.3 12.3 四种厂牌轮胎寿命四种厂牌轮胎寿命 廠牌 壽命 甲 y1 85 83 75 92 83 82 80 78 84 84 乙 y2 76 88 74 79 86 89 95 88 84 90 丙 y3 85 82 77 84 66 81 79 76 78 83 丁 y4 83 91 92

10、88 85 84 75 89 93 87 1变异数分析变异数分析 都相等不是所有ikHH:12101檢定k組母體平均數i是否相等的問題，而不是檢定變異數相等的問題 6 .821y S1=4.5265 9 .842y S2=6.6575 1 .793y S3=5.5066 7 .864y S4=5.3135 1325.8344321432144332211yyyynnnnynynynyny组间平方和组间平方和 2442332222112)()()()()(yynyynyynyynyyBi1=10(82.6-83.325)2+(84.9-83.325)2+(79.1-83.325)2+(86.7-

11、83.325)2 =322.475 组内平方和组内平方和 4321SSSSSSSSW1110.3069 因此 8417.30492.10736/307.11103/475.322)440/() 14/(WBF= 3.49 1结论是显著，结论是显著，即四组轮胎的平均寿命不相等即四组轮胎的平均寿命不相等 F3,36,0.05 = 2.87，因F F3,36,0.05 1表表12.2 12.2 四种厂牌轮胎寿命四种厂牌轮胎寿命 ANOVAANOVA表表 變異來源 自由度 平方和 均方和 F值 P值 組間(B) 3 322.475 107.4917 3.49 0.0255 組內(W) 36 1110.

12、300 30.8417 總和(TO) 39 1432.775 1P P值与F F值的关系图 012343.49P1一因子的模式一因子的模式 ijiijy ki,.,1 inj,.,1 1平方和分解平方和分解( (直角三角形勾股定理直角三角形勾股定理) ) ijy iy y 總(SSTO) 組間(SSA) 組內(SSE) 1例例12.312.3、某人想研究甲、乙、丙、丁四种不同某人想研究甲、乙、丙、丁四种不同 包装设计对某食品销售量是否有影响？包装设计对某食品销售量是否有影响？随机找随机找40家规模大致相同的商店，家规模大致相同的商店， 分成分成4组，每组组，每组10家，家， 各销售一种包装设计

13、食品一个月，各销售一种包装设计食品一个月，记录销售量如下记录销售量如下 1表12.5 12.5 四种包装设计销售量 甲 乙 丙 丁 1y 2y 3y 4y 1 63 77 31 42 2 70 64 36 61 3 68 84 51 58 4 83 75 46 56 5 66 69 35 54 6 75 78 40 55 7 68 66 50 52 8 67 81 51 49 9 69 67 35 36 10 71 79 45 77 1试问四种包装的平均销售量试问四种包装的平均销售量 是否有显著差异？是否有显著差异？ 1平均 iy 70 74 42 54 標準差is 5.56 6.98 7.5

14、3 11.04 1总平均与标准差分别为总平均与标准差分别为 =60 s =15.0911y组间平方和组间平方和 241101241101)()(yyBijiiji1)6054()6042()6074()6070(1022226560 总平方和总平方和 241101)(yySSTOijij1 22)091.15(3939s 8882 残差平方和残差平方和 BSSTOyySSEWiijij241101)(12322656088829 .3336/23223/6560)440/() 14/(WBF1结论：结论：因因 F = 33.9 = 2.87， 所以有证据说四种包装的平均销售量所以有证据说四种包

15、装的平均销售量 有显著差异。有显著差异。 105. 0,36, 3F一因子( (包装)ANOVA)ANOVA表 變異來源 自由度 平方和 均方和 F值 組間 3 6560 2186.67 33.9 殘差(E) 36 2322 64.50 總(TO) 39 8882 1三种肥料对蕃茄产量的影响三种肥料对蕃茄产量的影响 农夫想研究甲、乙、丙农夫想研究甲、乙、丙 三种肥料对蕃茄产量的影响，三种肥料对蕃茄产量的影响，他有一块长方形土地共他有一块长方形土地共1200坪地，坪地， 如果他将此土地分成三区，如果他将此土地分成三区， 每区每区400坪各施一种肥料，坪各施一种肥料，实验设计配置图如下实验设计配置

16、图如下 1只有一笔资料无法做统计推论只有一笔资料无法做统计推论 區1 施 甲 肥 區2 施 乙 肥 區3 施 丙 肥 1每区再细分成几块大小相等的地每区再细分成几块大小相等的地 列行 1 2 3 4 一 二 三 1无随机效果无随机效果混合混合 列行 1 2 3 4 一 甲 甲 甲 甲 二 乙 乙 乙 乙 三 丙 丙 丙 丙 1完全随机实验配置图完全随机实验配置图 乙 丙 甲 甲 甲 甲 丙 乙 乙 乙 丙 丙 1例例12.612.6甲、乙、丙三种肥料甲、乙、丙三种肥料其蕃茄产量如下其蕃茄产量如下 y21 385 y31 350 y13 350 y14 341 y11 367 y12 348 y

17、32 347 y24 356 y22 382 y23 369 y33 335 y34 330 1檢定此主效用是否顯著 资料整理资料整理 甲肥 乙肥 丙肥 367 385 350 348 382 347 350 369 335 341 356 330 平均數yi 351.5 373 340.5 標準差Si 11.03 13.29 9.54 11 yyyy1233= 355，Syyijji()212 1= 17.46 也算出綜合樣本標準差 SSSSp1222323= 11.39 1(1)SSTOyyNSijjniki()()(.)2112211117463354 (2)SSEWyyNk Sijij

18、nikpi()().2112 ()(). ()nSnSnSkk1122222111 1168 (3)SSAByySSTOSSEijniki().211 335411682186 (4) FSSA kSSENk()()()().12186 3 11168 123842 FFkNk12,9 0 05, . = 4.2565 所以H0顯著，即三種肥料的平均產量有顯著差異。 12.312.3各组母体变异数之检各组母体变异数之检定定等至少有兩組變異數不相:1222210HHk1哈雷哈雷检定法检定法H=22iiMinsMaxs 1例例12.612.6、( (例例12.212.2续续) ) 试检定甲、乙、丙

19、、丁四家轮軩公司试检定甲、乙、丙、丁四家轮軩公司 轮胎寿命的变异数是否相等轮胎寿命的变异数是否相等( =0.05)？ 11 S12= (4.5265)2= 20.4892 S22= (6.6575)2= 44.3223 S32= (5.5066)2= 30.3226 S42= (5.3135)2= 28.2333 故 H = 4892.203223.4422iiMinSMaxS=2.1632 查表H4,10,0.05=6.31，因 H F2,24,0.05 = 3.4028 所以H0是顯著，即有肥料因素的主效用存在 1浇水量的因素平方和浇水量的因素平方和SSB=ij kj2)( = 15(22

20、21) = 15 (4)2 + (4)2) = 480 1浇水量对蕃茄平均产量浇水量对蕃茄平均产量有显著差异有显著差异FB= 15. 5480246 .123148052912SSESSB = 93.28 F1,24,0.05 = 4.2597 所以澆水量因素B的主效用也是顯著的。 1例例12.13(12.13(例例12.1212.12续续) )若四种包装甲、乙、丙、丁设计分别若四种包装甲、乙、丙、丁设计分别是：是： 甲是彩色、凯蒂猫，甲是彩色、凯蒂猫，乙是彩色、皮卡丘，乙是彩色、皮卡丘，丙是黑白、凯蒂猫，丙是黑白、凯蒂猫，丁是黑白、皮卡丘，丁是黑白、皮卡丘，1故四种包装设计分成两个因子，分别

21、故四种包装设计分成两个因子，分别为为 因子因子A色彩色彩(分成彩色与黑白两水平分成彩色与黑白两水平)， 因子因子B玩偶玩偶(凯蒂猫与皮卡丘两水平凯蒂猫与皮卡丘两水平)，：，：1其水平配合其水平配合( (配方配方) )可以下列可以下列交叉设计表示交叉设计表示因子A 彩色 黑白 因子B 凱蒂貓 皮卡丘 1 资料如表资料如表12.16，试问，试问(1) 色彩色彩(因子因子A)的主效用是否显著？的主效用是否显著？(2) 玩偶玩偶(因子因子B)的主效用是否显著？的主效用是否显著？(3) AB交互作用是否显著？交互作用是否显著？1两因子各种配方平均数两因子各种配方平均数 玩偶 凱蒂貓(1) 皮卡丘(2)

22、iy 彩色(1) 70 74 72 黑白(2) 42 54 48 色彩(A) jy 56 64 60 1 222221)12()12(20)(20SSA5760 222221)4()4(20)(20SSB640 )()()()(10222221212211SSAB )2)2()2(2(102222 = 160 殘差平方和為 SSE = SSTO- SSA-SSB-SSAB = 8852 5760-640-160 = 2322 1 二维模式ANOVAANOVA表 變 異 來 源 自由度 平方和 均方和 F值 色彩(A) 玩偶(B) 交互作用(AB) 1 1 1 5760 640 160 5760

23、 640 160 89.30 9.92 2.48 殘差(E) 36 2322 64.50 總(TO) 39 8882 1结论：结论：(1)色彩色彩(因子因子A)是显著的，是显著的， 即不同色彩两种包装设计会影响销售即不同色彩两种包装设计会影响销售量。量。(2)玩偶玩偶(因子因子B)是显著的，是显著的， 即不同玩偶会影响销售量。即不同玩偶会影响销售量。(3)色彩与玩偶的交互作用是不显著的。色彩与玩偶的交互作用是不显著的。1第十二章 摘要 1.变异数分析变异数分析(ANOVA) 不是在检定几组母体变异数是否相等不是在检定几组母体变异数是否相等 而是在检定几组母体的平均数是否相而是在检定几组母体的平均数是否相等等 12.了解由两组独立样本的了解由两组独立样本的t检定检定 扩充到多组独立样本的检定。扩充到多组独立样本的检定。14.一因子模式为一因子模式为 右边有右边有(总平均总平均)，(因子因子A)与与(残差残差) 三项，故三项，故ANOVA表中有三个平方和表中有三个平方和 1y5. 二因子模式二因子模式(有交互作用有交互