有限元1弹性力学简介

1、有限元分析有限元分析第一章第一章 弹性力学简介弹性力学简介1-1 材料力学与弹性力学材料力学与弹性力学1-2 应力的概念应力的概念1-3 位移及应变，几何方程，刚体位移位移及应变，几何方程，刚体位移1-4 应力应变关系，物理方程应力应变关系，物理方程1-5 虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程1-6 两种平面问题两种平面问题1-1 材料力学与弹性力学材料力学与弹性力学 有限单元法有限单元法 本课程中所指的是有限单元法在弹本课程中所指的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。因此要用到弹性力性力学问题中的应用。因此要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。本章将简学的某些基本概念和基本方程。本章将简单

2、介绍这些概念和方程，作为弹性力学有单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。限单元法的预备知识。弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学 1、研究的内容：研究的内容：基本上没有什么区别。基本上没有什么区别。 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：研究的对象：有相同也有区别。有相同也有区别。 材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究即长度远大于

3、宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。相当的构件。弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学 3、研究的方法：研究的方法：有较大的区别。有较大的区别。 虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，

4、因而材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，可以用弹性力学的解

5、答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。并确定它们的适用范围。材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学x xq qy yx图 1-1ax xq qy yx0 0图 1-1b材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学x xq qy yx图 1-2ayx xq qy yy图 1-2bqyxxq图 1-2c材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学图 1-3a图 1-3b弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学 总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性

6、力学比材料力学，它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛更精确，因而应用的范围更广泛。 但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：料性质的假

7、定：弹性力学中关于材料性质的假定弹性力学中关于材料性质的假定 (1) 物体是连续的，物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2) 物体是完全弹性的，物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变

8、时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。时所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3) 物体是均匀的，物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数而物体的弹性常数(弹性模量和泊松系数弹性模量和泊松系数)才不随位置座标而变。才不随位置座标而变。弹性力学中关于材料性质的假定弹性力学中关于材料性质的假定(4) 物体是各向同性的，物体是各向同性的，也

9、就是说物体内每一点各个不同方也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。向的物理性质和机械性质都是相同的。 (5) 物体的变形是微小的，物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积

10、项都并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。程。1-2 应力的概念应力的概念 作用于弹性体的外力作用于弹性体的外力(或称荷载或称荷载)可能有两种：可能有两种： 表面力，表面力，是分布于物体表面的力，如静水是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号分，用记号 来表示。来表示。 体力，体力，是分布于物体体

11、积内的外力，如重力、是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号个成分，用记号X、Y、Z表示。表示。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。、1-2 应力的概念应力的概念弹性体内微小的平行六面体弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素称为体素PA=dx,PB=dy,PC=dz正应力正应力剪应力剪应力图 1-4每一个面上的应力每一个面上的应力分解为一个正应力分解为一个正应力和两个剪应力，分和两个剪应力，分别与三个坐标轴平别与三个坐标轴平行行1-2 应力的概念应力的概念为了

12、表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力个角码，例如，正应力 是作用在垂直于是作用在垂直于x轴的面轴的面上同时也沿着上同时也沿着x轴方向作用的。轴方向作用的。x正应力正应力xy加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力标轴。例如，剪应力 是作用在垂直于是作用在垂直于x轴的面上轴的面上而沿着而沿着y轴方向作用的。轴方向作用的。剪应力剪应力1-2 应力的概念应力的概念应力的正负应力的正

13、负 如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。坐标轴负方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。为正，沿坐标轴正方向为负。1-2 应力的概念应力的概念剪应力互等定律剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。交线的剪应

14、力是互等的。(大小相等，正负号也相大小相等，正负号也相同同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。因此剪应力记号的两个角码可以对调。由力矩平衡得出由力矩平衡得出02ddd22ddd2zyxyzxzyyz简化得简化得zyyz1)-(1 xzzxzyyzyxxy，剪应力互等剪应力互等应力分量应力分量 可以证明：如果可以证明：如果 这六个量这六个量在在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的它们就称为在该点的应力分量应力分量

15、。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标而是坐标x、y、z的函数。的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：来表示：zxyzxyzyx、 2)-(1 Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx1-3 位移及应变、几何方程、刚体位移位移及应变、几何方程、刚体位移 弹性体在受外力以后，还将发生弹性体在受外力以后，还将发生变形变形。物体的变。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：形状态，一般

16、有两种方式来描述： 1、给出、给出各点的位移各点的位移；2、给出、给出各体素的变形各体素的变形。 弹性体内任一点的弹性体内任一点的位移位移，用此位移在，用此位移在x、y、z三个三个坐标轴上的投影坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分位移分量量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。是定值，而是坐标的函数。应应 变变 体素的变形可以分为两类：体素的变形可以分为两类： 一类是长度的变化，一类是角度的变化。一类

17、是长度的变化，一类是角度的变化。 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变线应变(或称或称正应变正应变)，用符号，用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用的角码，分别用 来表示。当线素伸长时，其线应变为来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。规定相对应。 任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为为角应变或剪应变角应变或剪

18、应变，用符号，用符号 来表示。两坐标轴之间的角应变，来表示。两坐标轴之间的角应变，则加上相应的角码，分别用则加上相应的角码，分别用 来表示。规定当夹角变来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的正的 引起正的引起正的 ，等等，等等)。zyx、zxyzxy、xyxyvudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0图 1-5应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系A点在点在x方向的位移分量方向的位移分量为为u；B点在点在x方向的位移：方向的位移：ABC

19、D-ABCD求线素求线素AB、AD的正应变的正应变 ，用位移分量来表示：，用位移分量来表示：yx、xxuuuud线素线素AB的正应变为：的正应变为：xuxuxxuuxd)d(同理，同理，AD的正应变为：的正应变为：yvyvyyvvyd)d(vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0图 1-5应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系求剪应变求剪应变 ，也就是线素，也就是线素AB与与AD之间的直角的改变之间的直角的改变线素线素AB的转角为：的转角为：xyx向线素向线素AB的转角的转角 y向线素向线素AD的转角的转角A点在点在

20、y方向的位移分量方向的位移分量为为v；B点在点在y方向的位移分量：方向的位移分量：xxvvdBABB tgxuxvxxuxvxxvv1dd)d(vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0图 1-5应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系同理，同理，y向线素向线素AD的转角的转角由于变形是微小的，所由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小以上式可将比单位值小得多的得多的 略去，得略去，得xuxvyu因此，剪应变为：因此，剪应变为：yuxvxy应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系以上是考察了体素在以上是考察了体素

21、在xOy一个平面内的变形情况，一个平面内的变形情况，yuxvxyxuxyvy同样方法来考察体素在同样方法来考察体素在xOz和和yOz平面内的变形情平面内的变形情况，可得：况，可得：zuxwywzvzwzxyzz，联立得到联立得到几何方程几何方程，表明应变分量与位移分量之间，表明应变分量与位移分量之间的关系。的关系。1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx，应变分量矩阵应变分量矩阵 可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意

22、方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变状态，它们就称为该点的的应变状态，它们就称为该点的应变分量应变分量。 六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：来表示： 2)-3-(1 Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx刚体位移刚体位移 由几何方程由几何方程(1-3)可见，当弹性体的位移分量完全确定可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确时，应

23、变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试在在(1-3)中命：中命：有：有：积分后，得积分后，得式中的式中的 是积分常数是积分常数0zxyzxyzyx000000zuxwywzvxvyuzwyvxu，4)-(1 000 xywwzxvvyzuuyxxzzy、zyxwvu000积分常数的几何意义积分常数的几何意义r rx xy yo oz zx xy yP Pxzyz图 1-64)-(1 000

24、xywwzxvvyzuuyxxzzy 代表弹性体沿代表弹性体沿x方向的刚方向的刚体移动。体移动。 及及 分别代表分别代表弹性体沿弹性体沿y方向及方向及z方向的方向的刚体移动。刚体移动。0u0v0w 代表弹性体绕代表弹性体绕z轴的刚轴的刚体转动。同样，体转动。同样， 及及 分分别代表弹性体绕别代表弹性体绕x轴及轴及y轴轴的刚体位移。的刚体位移。zxy为了完全确定弹性体的位移，必须有六个适当的约束条件为了完全确定弹性体的位移，必须有六个适当的约束条件来确定来确定 这六个刚体位移。这六个刚体位移。zyxwvu、0001-4 应力应变关系，物理方程应力应变关系，物理方程当沿当沿X轴方向的两个对面受有均

25、匀轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在起角度的任何改变，而其在X方向方向的单位伸长则可表以方程的单位伸长则可表以方程 式中式中E为弹性模量。为弹性模量。弹性体在弹性体在X方向的伸长还伴随有侧方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在向收缩，即在y和和Z方向的单位缩短方向的单位缩短可表示为：可表示为：式中式中 为泊松系数。方程为泊松系数。方程(1-5)和和(1-6)既可用于简单拉伸，也可用于简单既可用于简单拉伸，也可用于简单压缩，且在弹性极限之内，两种情压缩，且在弹性极限之内

26、，两种情况下的弹性模量和泊松系数相同。况下的弹性模量和泊松系数相同。 z zy yx x0 0 xxyyzz图 1-7应力分量与应变分量之间的关系应力分量与应变分量之间的关系-虎克定律虎克定律5)-(1 Exx6)-(1 EExzxy，1-4 应力应变关系，物理方程应力应变关系，物理方程设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可用的正应力，则合成应变的分量可用(1-5)和和(1-6)式求得。实验证明，只须将三个应力式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。

27、得到合成应变的分量。单位伸长与应力之间的关系完全由两个物单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数理常数E及及 所确定。两个常数也可用来所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。确定剪应力与剪应变之间的关系。z zy yx x0 0 xxyyzz图 1-77)-(1 )(1)(1)(1yxzzzxyyzyxxEEE1-4 应力应变关系，物理方程应力应变关系，物理方程如果弹性体的各面有剪应力作用，如图如果弹性体的各面有剪应力作用，如图1-4所示，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平所示，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：式

28、中式中G称为剪切模量，它与弹性模量称为剪切模量，它与弹性模量E，泊松系数泊松系数 存在如下的关系：存在如下的关系：方程方程(1-7)中的正应变与方程中的正应变与方程(1-8)中的剪应中的剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将变，可用叠加法求得；即将(1-7)和和(1-8)的的六个关系式写在一起，得式六个关系式写在一起，得式(1-10)，称为，称为弹性方程或物理方程，这种空间状态的应弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。力应变关系称为广义

29、虎克定律。图 1-48)-(1 111zxzxyzyzxyxyGGG，9)-(1 )1(2EGzxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(11-4 应力应变关系，物理方程应力应变关系，物理方程将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将式式(1-10)改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，并将式改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，并将式(1-9)代入，代入，可得物理方程的第二种形式：可得物理方程的第二种形式：11)-(1 )1 (2)1 (2)1 (2)11()21)(1

30、 ()1 ()11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 (zxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxEEEEEE式式(1-11)可用矩阵的形式表示如下：可用矩阵的形式表示如下：12)-(1 )1 ( 221000000)1 ( 221000000)1 ( 221000000111000111000111)21)(1 ()1 (zxyzxyzyxzxyzxyzyxE式式(1-12)可简写为：可简写为： 13)-(1 DD称为称为弹性矩阵弹性矩阵，它完全决定于弹性常数，它完全决定于弹性常数E和和 14)-(1 )1 ( 22100000)1 ( 2210000)1 ( 22

31、1000111111)21)(1 ()1 (称对ED1-5 虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程图图1-8a示一平衡的杠杆，对示一平衡的杠杆，对C点点写力矩平衡方程：写力矩平衡方程：图图1-8b表示杠杆绕支点表示杠杆绕支点C转动时转动时的刚体位移图：的刚体位移图：综合可得：综合可得：即：即：式式(1-15)是以功的形式表述的。是以功的形式表述的。表明：图表明：图a的平衡力系在图的平衡力系在图b的的位移上作功时，功的总和必须位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做等于零。这就叫做虚功原理虚功原理。abACB(a)(b)BPAPcRBACBA B A图 1-8abPPBAabABABBAabPP

32、15)-(1 0BBAAPP虚功原理虚功原理 进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，进一步分析。当杠杆处于平衡状态时， 和和 这两个位移这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足斜，一定满足(1-15)式的关系。式的关系。 将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。析和计算结构。 对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，是否真正发生了位移，而假想

33、它发生了位移，(由于是假想，由于是假想，故称为虚位移故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。功必定等于零。这就叫做这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。虚位移原理，也称虚功原理。在图在图1-8a中的中的 和和 所作的功就不是发生在它本身所作的功就不是发生在它本身(状态状态a)的位移的位移上，上，(因为它本身是平衡的，不存在位移因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态，而是在状态(b)的的位移上作的功。可见，这个位移对于状态位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，来说就是虚位移，亦即是状态亦即是状态(a)假象的

34、位移。假象的位移。ABAPBP虚功原理虚功原理 必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，的两个方面，力和位移并不是随意的。力和位移并不是随意的。对于力来讲，对于力来讲，它必须它必须是在位移过程中处于平衡的力系；是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，对于位移来讲，虽然是虚虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。合的微小的刚体位移。 还要注意，还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约当位移是在某个约束条件下发生时，则在该

35、约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做这时该约束力叫做被动力被动力。(如图如图1-8中的反力中的反力 ，由于支点，由于支点C没有位移，故没有位移，故 所作的虚功对于零所作的虚功对于零)。反之，如图。反之，如图1-8中的中的 和和 是在位移过程中作功的力，称为是在位移过程中作功的力，称为主动力主动力。因此，在平。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。虚功方程时，只有主动力作虚功，而被

36、动力是不作虚功的。cRcRAPBP虚功原理与虚功方程虚功原理与虚功方程虚功原理虚功原理表述如下：表述如下： 在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代各力所作的功的代数和数和)恒对于零。恒对于零。虚功原理用公式表示为：虚功原理用公式表示为：这就是这就是虚功方程虚功方程，其中，其中P和和 相应的代表力和虚位移。相应的代表力和虚位移。16)-(1 0PW虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体

37、的情况 虚功方程虚功方程(1-16)是按刚体的情况得出的，即假设图是按刚体的情况得出的，即假设图1-8的杠的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程(1-15)或或(1-16)中没有内功项出现，而只有外功项。中没有内功项出现，而只有外功项。 将虚功原理用于弹性变形时，总功将虚功原理用于弹性变形时，总功W要要包括外力功包括外力功(T)和内和内力功力功(U)两部分，即：两部分，即： W = T - - U ；内力功；内力功(- -U)前面有一负前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生

38、的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。 根据虚功原理，总功等于零得：根据虚功原理，总功等于零得： T - - U = 0 外力虚功外力虚功 T = 内力虚功内力虚功 U 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功移上的虚功(外力功外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功内力功)。虚功原理虚功原理-用于弹性

39、体的情况用于弹性体的情况i点外力分量点外力分量j点外力分量点外力分量外力分量用外力分量用 表示；表示；引起的应力分量用引起的应力分量用 表示表示y yZ ZX X0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj图1 -9iiiWVU、jjjWVU、 F zxyzxyzyxjjjiiiWVUWVUF，虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况假设发生了虚位移假设发生了虚位移虚位移分量为虚位移分量为用用 表示；引起的虚表示；引起的虚应变分量用应变分量用 表示表示y yZ ZX X0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj图1 -9*jjjiiiwvuwvu、 *

40、* *zxyzxyzyxjjjiiiwvuwvu，虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况 在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：式中式中 是是 的转置矩阵。的转置矩阵。 同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功是：应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：根据虚功原理得到：根据虚功原理得到： 这就是弹性变形体的虚功方程，它通过虚位移和虚应变表这就是弹性变形体的虚功方程，它通过虚位移和虚应变表明外力与应力之

41、间的关系。明外力与应力之间的关系。 FwWvVuUwWvVuUTjjjjjjiiiiii* T* * Tzxzxyzyzxyxyzzyyxx* dxdydzT* 17)-(1 *dxdydzFTT虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况 应该指出，在虚位移发生时，约束力应该指出，在虚位移发生时，约束力(支座反力支座反力)是不做功是不做功的，因为约束力在其所约束的方向是没有位移的。但是如果的，因为约束力在其所约束的方向是没有位移的。但是如果解除了某一个约束，而代之以约束力，那么，在虚位移发生解除了某一个约束，而代之以约束力，那么，在虚位移发生时，这个约束力就要在相应的虚位移上做虚功，而

42、这个约束时，这个约束力就要在相应的虚位移上做虚功，而这个约束力的分量及其相应的虚位移分量就应当作为列矩阵力的分量及其相应的虚位移分量就应当作为列矩阵 及及 中的元素进入虚功方程中的元素进入虚功方程(1-17)。 * F1-6 两种平面问题两种平面问题 弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体

43、具有特殊应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。力分量即可。平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题平面平面应力应力问题问题 厚度为厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 以薄板的中面为

44、以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分平面的三个应力分量，即量，即 ，所以称为，所以称为平面应力问题平面应力问题。x xy y0 0t/2t/2z zy y图 1-10yxxyyx

45、、000yzzyxzzxz，0)(0)(0)(222tzzytzzxtzz，平面应力问题平面应力问题应力矩阵应力矩阵(1-2)可以简化为：可以简化为： 2)-(1 Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx 18)-(1 xyyx平面应力问题平面应力问题物理方程物理方程(1-10)中后两式可见，这时的中后两式可见，这时的剪应变：剪应变：由物理方程由物理方程(1-10)中的第三式可见：中的第三式可见：一般一般 ， 并不一定等于零，但并不一定等于零，但可由可由 及及 求得，在分析问题时不求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑必考虑。于是只需要考虑 三个应变分量即可，于是应变矩阵三个应变分量即可，于

46、是应变矩阵(1-3-2)简化为：简化为：zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(100zxyz，)(yxzE0zzxyxyyx、 19)-(1 xyyx平面应力问题平面应力问题物理方程物理方程(1-10)简化为：简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：转化成应力分量用应变分量表示的形式：20)-(1 )1 (2111xyxyxyxyyyxxEGEE21)-(1 211)1 (211222xyxyxyyxyyxxEEEE平面应力问题平面应力问题将将(1-21)式用矩阵方程表示：式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则

47、简化为：则简化为：22)-(1 2100010112xyyxxyyxE D 23)-(1 2100010112ED平面应力问题平面应力问题只有只有 三个应变分量需要考虑，所以几何方程三个应变分量需要考虑，所以几何方程(1-3)简化为：简化为：1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx， 24)-(1 xvyuyvxuxyyxxyyx、平面应力问题平面应力问题弹性体的虚功方程弹性体的虚功方程(1-17)简化为简化为 17)-(1 *dxdydzFTT 25)-(1 *dxdytFTT平面应变问题平面应变问题 一纵向一纵向(即即Z向向)很长，且沿横截很长，且沿横截面不变

48、的物体，受有平行于横截面面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，而且不沿长度变化的面力和体力，如图如图1-11所示。所示。 由于物体的纵向很长由于物体的纵向很长(在力学上在力学上可近似地作为无限长考虑可近似地作为无限长考虑)，截面尺，截面尺寸与外力又不沿长度变化；当以任寸与外力又不沿长度变化；当以任一横截面为一横截面为xy面，任一纵线为面，任一纵线为Z轴时，轴时，则所有一切应力分量、应变分量和则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿位移分量都不沿Z方向变化，它们都方向变化，它们都只是只是x和和y的函数。此外，在这一情的函数。此外，在这一情况下，由于对称况下，由于对称(任

49、一横截面都可以任一横截面都可以看作对称面看作对称面)，所有各点都只会有，所有各点都只会有x和和y方向的位移而不会有方向的位移而不会有Z方向的位方向的位移，即移，即 w = 0 因此，这种问题称为平面位移问因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为题，但习惯上常称为平面应变问题平面应变问题。0 0y yx x图 1-11平面应变问题平面应变问题既然既然w = 0，而且，而且u及及v又只是又只是x和和y的函数，由几何方程的函数，由几何方程(1-3-1)可见可见 。于是只剩下三个应变分量。于是只剩下三个应变分量 ，几何方程仍然简化为方程几何方程仍然简化为方程(1-24)。1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx， 24)-(1 xvyuyvxuxyyxxyyx、0zxyzz平面应变问题平面应变问题因为因为由物理方程由物理方程(1-11)中后两式可见中后两式可见又由物理方程又由物理方程(1-11)中的第三式可见：中的第三式可见：在平面应变问题中，虽然在平面应变问题中，虽然 ，但但 一般并不等于零，不过它可以由一般并不等于零，不过它可以由 及及 求得，在分析问题时不必考求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量虑，于是也就只有三个应力分量 需要考虑。需要考虑。xy00zx