第一章(1) 概率论的基本概念

1、广东工业大学广东工业大学第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1 1 随机试验随机试验2 2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件3 3 频率与概率频率与概率4 4 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）5 5 条件概率条件概率6 6 独立性独立性广东工业大学广东工业大学确定性现象的特征：确定性现象的特征： 条件完全决定结果。条件完全决定结果。1、确定性的现象（必然现象）确定性的现象（必然现象）necessity, inevitability。例如：例如：1 1 随机试验随机试验广东工业大学广东工业大学1、确定性的现象（必然现象）确定性的现象（必然现象）necessity, in

2、evitability。2、非确性的现象（偶然现象）非确性的现象（偶然现象） randomly, chance。非确定性现象的特征：非确定性现象的特征： 条件不能完全决定结果。条件不能完全决定结果。1 1 随机试验随机试验广东工业大学广东工业大学 有部分非确定性现象在大量重复试验时，统计结果呈现有部分非确定性现象在大量重复试验时，统计结果呈现例如例如:现出一定的规律性。现出一定的规律性。在一瓶水内有许多水分子，每个水分在一瓶水内有许多水分子，每个水分子的运动存在着不定性，无法预言它在子的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻的动量和方向指定时刻的动量和方向. . 但大量水分子但大量水分子的平均

3、活动却呈现出某种稳定性，如在的平均活动却呈现出某种稳定性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定的，呈现定的，呈现“无序中的规律无序中的规律”. .广东工业大学广东工业大学 有部分非确定性现象在大量重复试验时，统计结果呈现有部分非确定性现象在大量重复试验时，统计结果呈现例如例如:现出一定的规律性。现出一定的规律性。一门火炮在一定条件下进行射一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的

4、律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等。分布规律等等。 广东工业大学广东工业大学上抛一硬币上抛一硬币1000010000次，次，在一定条件下，进行大量在一定条件下，进行大量观测会发现某种规律性。观测会发现某种规律性。出现正面向上的次数出现正面向上的次数总是总是5000次左右。次左右。 有部分非确定性现象在大量重复试验时，统计结果呈现有部分非确定性现象在大量重复试验时，统计结果呈现例如例如:现出一定的规律性。现出一定的规律性。广东工业大学广东工业大学随机事件的发生具有偶然性随机事件的发生具有偶然性, , 机遇性，在一次试验中，机遇性，在一次试验中，可能发生，也可能不发生。但在大量重复试验中，随

5、机现象可能发生，也可能不发生。但在大量重复试验中，随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，称为常常表现出这样或那样的统计规律，称为随机现象的统计规随机现象的统计规律性律性。在个别试验中其结果呈现出不确定性，但重复试验中其在个别试验中其结果呈现出不确定性，但重复试验中其结果又具有一定的规律性的非确定性现象称为结果又具有一定的规律性的非确定性现象称为随机现象随机现象。广东工业大学广东工业大学 鉴于我们要研究的对象和任务（即随机现象的统计规律鉴于我们要研究的对象和任务（即随机现象的统计规律性），必需对研究对象进行试验或观察。性），必需对研究对象进行试验或观察。例：例：广东工业大学广东工业大学这些试验

6、都具有以下的特点：这些试验都具有以下的特点： 可以在相同的条件下重复地进行；可以在相同的条件下重复地进行； 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验 的所有可能结果；的所有可能结果； 进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机随机试验试验( (Random experiment) )。简称。简称试验试验，用，用E表示。表示。随机试验随机试验广东工业大学广东工业大学2 2 样本空间、样本空间、随机事件随机事件常用常用 表

7、示。表示。e , 样本点个数有限样本点个数有限样本点个数无限样本点个数无限广东工业大学广东工业大学解解: ,1THS 广东工业大学广东工业大学解解: ,3 , 2 , 1 , 02 S广东工业大学广东工业大学解解: ,3平平负负胜胜 S, 3 , 2 , 1 , 04 S0|5 ttS广东工业大学广东工业大学更多例子更多例子: ,| ),(7DyxyxS （H H HH H H），（），（T H HT H H），（），（H T HH T H），（），（T T HT T H）（H H TH H T），（），（T H TT H T），（），（H T TH T T），（），（T T TT T T）6

8、 S第一次有第一次有6 6个可能的结果个可能的结果第二次也有第二次也有6 6个可能的结果个可能的结果6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1,| ),(8 yxyxS广东工业大学广东工业大学在实际问题中，面对一个随机试验，我们一般关心的是在实际问题中，面对一个随机试验，我们一般关心的是某些特定的事件是否发生。某些特定的事件是否发生。（）出租车公司可能关心的是：（）出租车公司可能关心的是：“电话订车中心一天中接到订车电话数不超过电话订车中心一天中接到订车电话数不超过100”如：如：（）灯泡采购员可能关心的是：（）灯泡采购员可能关心的是：“灯泡的寿命大于灯泡的寿命大于1000小时小时”（）在掷骰

9、子中，赌徒关心的是掷两题骰子：（）在掷骰子中，赌徒关心的是掷两题骰子：“出现的点数和大于出现的点数和大于6”广东工业大学广东工业大学在随机试验中在随机试验中, ,可能发生也可能不发生的事情称为可能发生也可能不发生的事情称为随机事件随机事件。常用大写字母常用大写字母 A,B,C,表示。表示。（样本空间的子集称为（样本空间的子集称为随机事件随机事件，简称为，简称为事件事件。）。）当一次试验结果出现在这个集合时，即当一次试验结果当一次试验结果出现在这个集合时，即当一次试验结果A 时，就称这次试验中时，就称这次试验中事件事件发生发生。否则称否则称未发生。未发生。即一次试验的结果为即一次试验的结果为 时

10、时 A 事件事件发生发生A 事件事件未发生未发生广东工业大学广东工业大学其样本空间其样本空间6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 S若掷骰子一次，出现点数，则若掷骰子一次，出现点数，则事件事件表示出现的是偶数点，即表示出现的是偶数点，即6 , 4 , 2 A事件事件表示出现的是奇数点，即表示出现的是奇数点，即5 , 3 , 1 B由由 ，B 3故在这一次试验中，事件故在这一次试验中，事件发生了；发生了；由由 ，A 3故在这一次试验中，事件故在这一次试验中，事件没有发生。没有发生。若再掷骰子一次，出现点数，则在这一次试验中若再掷骰子一次，出现点数，则在这一次试验中事件事件发生了，而事件发生

11、了，而事件未发生。未发生。A 事件事件发生发生A 事件事件未发生未发生广东工业大学广东工业大学每一次试验中必然会发生的事件。每一次试验中必然会发生的事件。 S每一次试验中必然不会发生的事件。每一次试验中必然不会发生的事件。 试验的很一个可能结果都称为基本事件。试验的很一个可能结果都称为基本事件。即只含有单个样本点的集合。即只含有单个样本点的集合。 A复合事件复合事件基本事件基本事件必然事件必然事件S S样本空间样本空间由基本事件由基本事件构成的事件构成的事件广东工业大学广东工业大学其样本空间其样本空间6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 S事件事件表示出现的是偶数点，即表示出现的是偶数点

12、，即6 , 4 , 2 A事件事件表示出现的是奇数点，即表示出现的是奇数点，即5 , 3 , 1 B复合事件复合事件复合事件复合事件事件事件表示出现点数，即表示出现点数，即6 C基本事件基本事件事件事件D表示出现点数小于表示出现点数小于10，必然事件必然事件事件事件F表示出现点数大于表示出现点数大于10，不可能事件不可能事件广东工业大学广东工业大学“摸出的是白球摸出的是白球”“摸出的是红球摸出的是红球”号球号球取到第取到第ii “摸出的是黑球摸出的是黑球”“摸出的是摸出的是3 3号球号球”样本空间样本空间5 , 4 , 3 , 2 , 1 i,54321 S,321 ,54321 ,54 3

13、S A B C 广东工业大学广东工业大学有时候我们感兴趣的是一个较为复杂的事件，而直接有时候我们感兴趣的是一个较为复杂的事件，而直接研某些复杂事件，有时候比较复杂。此时，我们可以利用研某些复杂事件，有时候比较复杂。此时，我们可以利用复杂事件与简单事件之间的联系，把较为复杂的事件分解复杂事件与简单事件之间的联系，把较为复杂的事件分解为一些较简单的事件来研究。为此，我们先定义事件间的为一些较简单的事件来研究。为此，我们先定义事件间的一些关系与运算。一些关系与运算。如果事件如果事件A发生时，事件发生时，事件B一定发生。一定发生。,A 则。）则。）B 则称事件则称事件B包含事件包含事件A, ,记作记作

14、.BAAB 或或即即为为的子集。的子集。BAS广东工业大学广东工业大学若事件若事件A包含事件包含事件B, ,而且事件而且事件B包含事件包含事件A, , 则称事件则称事件A与事件与事件B相等相等, ,记作记作 A=B. .其样本空间其样本空间6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 S事件事件表示出现的是偶数点，即表示出现的是偶数点，即6 , 4 , 2 A事件事件表示出现的是奇数点，即表示出现的是奇数点，即5 , 3 , 1 B事件事件表示出现点数，即表示出现点数，即6 C显然事件显然事件发生，则事件发生，则事件一定发生，一定发生，.AC 即即广东工业大学广东工业大学AD 同理有同理有BD

15、DC 广东工业大学广东工业大学“二事件二事件，同时发生同时发生”也是一个事件，称为事件也是一个事件，称为事件与事件与事件的积事件（交事件）。记为的积事件（交事件）。记为.BA BA发生且发生且发生发生,|BA 且且ABBA显然有显然有DBA 简记为简记为AB广东工业大学广东工业大学则则AB为不可能事件，为不可能事件，. AB即即若事件若事件与与互斥，互斥， ABBA互斥互斥与与两两互斥：两两互斥：若一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是若一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的。两两互斥的。AB互不相容事互不相容事件的关系件的关系广东工业大学广东工业大学“二事件二事件，至少发生一个

16、至少发生一个”也是一个事件，称为也是一个事件，称为事件事件与事件与事件的并事件（和事件）。记为的并事件（和事件）。记为.BA BA发生或发生或发生发生,|BA 或或BA显然有显然有DBA 常将常将BA简记为简记为.BA AB广东工业大学广东工业大学事件的交与并的推广事件的交与并的推广niinAAAA121 ,21同同时时发发生生nAAA niiA1 1321iiAAAA,321同时发生同时发生AAA 1iiAniinAAAA121 ,21至至少少有有一一个个发发生生nAAA 1321iiAAAA,321至至少少有有一一个个发发生生AAA 广东工业大学广东工业大学.BA 记为记为不不发发生生发发

17、生生且且BABA |BA 且且ABS SBA 广东工业大学广东工业大学“事件事件不发生不发生”是一个事件，称为是一个事件，称为的的对立事件对立事件（或（或逆事件逆事件），），.A记为记为不不发发生生AA |AS 且且AS AA为为的对立事件，当且仅当的对立事件，当且仅当 AB)1(SBA )2(广东工业大学广东工业大学S SS SABAB BA A、B 对立对立A、B 互斥互斥 . ABSBA且且, AB互互 斥斥对对 立立广东工业大学广东工业大学（1）交换律：）交换律： ABBA ABBA （2）结合律：）结合律： )()(CBACBA )()(CBACBA （3）分配律：）分配律： )()

18、()(CABACBA )()()(CABACBA BABA （4）摩根律（对偶律）：）摩根律（对偶律）： BABA 广东工业大学广东工业大学(1) (1) 事件事件“A，B 都发生都发生, , 但但C不发生不发生”; ;(3) (3) 事件事件“A, , B，C中恰有两个发生中恰有两个发生”; ;(2) (2) 事件事件“A，B，C都发生都发生”; ;(4) (4) 事件事件“A, , B，C中至少有两个发生中至少有两个发生; ;(5) (5) 事件事件“C发生，但发生，但A, , B均不发生均不发生”CABABCCABCBABCA CABCABABCCABCBABCA 或或 CBA广东工业大

19、学广东工业大学(7) (7) 三事件至少有一件发生三事件至少有一件发生CBA (6) (6) 事件事件“A, , B, , C中有不多于一个事件发生中有不多于一个事件发生”CBACBACBACBA 或或 ACCBBACBACBACBACBA CABCBABCA ABC 法一法一: 法二法二: 法三法三: 法四法四: ACBCBACBABAA 广东工业大学广东工业大学ABAAB)( ABAAB)(ABBA)( AAS S 例例5 运用事件的运算关系证明等式运用事件的运算关系证明等式 SABAAB )(证明证明: 由由 有有 BABA 广东工业大学广东工业大学例例6 设设A,B为两个随机事件为两个

20、随机事件,且且 ,则则BAAB BA AB广东工业大学广东工业大学ABABAA B，BA AB ABSBA广东工业大学广东工业大学P32 2广东工业大学广东工业大学随机事件在一次试验中有可能发生也可能不发生，但多随机事件在一次试验中有可能发生也可能不发生，但多次重复时，会发现有的事件发生多些，有的少些，这数量上次重复时，会发现有的事件发生多些，有的少些，这数量上的区别反映了随机事件的内在的一种规律。的区别反映了随机事件的内在的一种规律。3 3 频率与概率频率与概率 我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大？究竟有多大？怎样来刻划

21、事件发生的可能性大小呢？怎样来刻划事件发生的可能性大小呢？ 我们希望找一个我们希望找一个合适的数合适的数来表征事件在一次试验中发生的来表征事件在一次试验中发生的可能性大小。可能性大小。 为此，我们先引入频率（描述事件发生的频繁程度），为此，我们先引入频率（描述事件发生的频繁程度），进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数：进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数：概概率。率。广东工业大学广东工业大学一、一、 频率的定义频率的定义(Frequency)(Frequency) 、定义、定义设设E为任一随机试验，为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条为其中任一事件，在相同条件下，

22、把件下，把E独立的重复做独立的重复做n次，次，表示事件表示事件A在这在这n次试验次试验中出现的次数中出现的次数(称为称为频数频数)。比值。比值 称为事件称为事件A在这在这n次次试验中出现的试验中出现的频率频率(Frequency).nnA/An记为记为nnAfAn )().(Afn即即 、频率的性质、频率的性质（）非负性：（）非负性：1)(0 Afn（）规范性：（）规范性：1)( Sfn)()()()(2121knnknAfAfAfAAAf （）有限可加性（）有限可加性:若事件若事件 两两互不相容，则两两互不相容，则kAAA,21广东工业大学广东工业大学一、一、 频率的定义频率的定义(Freq

23、uency)(Frequency) 、定义、定义设设E为任一随机试验，为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条为其中任一事件，在相同条件下，把件下，把E独立的重复做独立的重复做n次，次，表示事件表示事件A在这在这n次试验次试验中出现的次数中出现的次数(称为称为频数频数)。比值。比值 称为事件称为事件A在这在这n次次试验中出现的试验中出现的频率频率(Frequency).nnA/An记为记为nnAfAn )().(Afn即即 、频率的稳定性、频率的稳定性实践证明：实践证明：当试验次数当试验次数n增大时增大时,随机事件的频率逐渐趋向稳定。随机事件的频率逐渐趋向稳定。)(Afn广东工业大学广东工业

24、大学数据波动较大试验试验序号序号5 nAnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Anf50 n22252125241827An500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波动最小波动最小 0.5n=50n=500f5(A)f50(A)f500(A)n=5广东工业大学广东工业大学试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊12000

25、60190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998的的增增大大n.21)(Afn广东工业大学广东工业大学设有随机试验设有随机试验E E，若当试验的次数充分大时，事件，若当试验的次数充分大时，事件A发生发生的频率稳定在某数的频率稳定在某数p附近摆动，则称数附近摆动，则称数p为事件为事件A发生的概率发生的概率(Probability) (Probability) ，记为：，记为：(1) (1) 频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是说概率决频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是说概率决定于经验定于经验. . 一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结一个事

26、件发生的概率完全决定于事件本身的结构构, , 指试验条件指试验条件, , 是先于试验而客观存在的是先于试验而客观存在的. .(2) (2) 概率的统计定义只是描述性的。概率的统计定义只是描述性的。4、概率的统计定义、概率的统计定义5、概率的统计定义的几点说明、概率的统计定义的几点说明(3) 通常只能在充分大时，事件出现的频率才作为事件概通常只能在充分大时，事件出现的频率才作为事件概率的近似值。率的近似值。pAP )(广东工业大学广东工业大学二、二、 概率的公理化定义概率的公理化定义 设设E是随机试验，是随机试验，S为它的样本空间。对于为它的样本空间。对于E的每一事的每一事件件A赋于一个实数，记

27、为赋于一个实数，记为P(A)，称为事件，称为事件A的概率，如果的概率，如果集合函数集合函数P(A)满足下列条件：满足下列条件：（1 1） 非负性非负性：对任一事件：对任一事件A , ,有有（2 2） 规范性规范性：对必然事件：对必然事件S , ,有有0)( AP1)( SP（3） 可列可加性可列可加性: ,21两两两两不不相相容容若若事事件件kAAA即对即对 , 2 , 1, jiAAjiji 则有则有 )()()()(2121kkAPAPAPAAAP1、定义、定义广东工业大学广东工业大学2、概率的性质、概率的性质（1） 0)( P（2）有限可加性有限可加性 若若 两两不相容，则有两两不相容，

28、则有nAAA,21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP （3） ),()()(,APBPABPBA 则则有有若若).()(APBP 且且有有BSAB A证明证明: 由由 知知,BA )(ABAB 又又 )(ABA于是于是,由有限可加性由有限可加性,有有 )()(ABAPBP )()(ABPAP 即有即有 )()()(APBPABP 由非负性由非负性 0)()()( APBPABP即有即有 )()(APBP 广东工业大学广东工业大学2、概率的性质、概率的性质（1） 0)( P（2）有限可加性有限可加性 若若 两两不相容，则有两两不相容，则有nAAA,21)()()()(2121nnA

29、PAPAPAAAP （3） ),()()(,APBPABPBA 则则有有若若).()(APBP 且且有有（4） 减法公式减法公式 对任意两事件对任意两事件A,B，有，有 )()()(ABPBPABP BSABAAB 证明：证明： 易知，易知，)()(ABABB 又又 )()(ABAB 于是，由有限可加性有于是，由有限可加性有 )()()(ABABPBP )()(ABPABP 即有即有 )()()(ABPBPABP 广东工业大学广东工业大学2、概率的性质、概率的性质（1） 0)( P（2）有限可加性有限可加性 若若 两两不相容，则有两两不相容，则有nAAA,21)()()()(2121nnAPA

30、PAPAAAP （3） ),()()(,APBPABPBA 则则有有若若).()(APBP 且且有有（4） 减法公式减法公式 对任意两事件对任意两事件A,B，有，有 )()()(ABPBPABP （5）对任意事件）对任意事件A，有，有1)(0 AP证明：证明： 由由 有有 SA 即即 )()()(SPAPP 1)(0 AP广东工业大学广东工业大学2、概率的性质、概率的性质（1） 0)( P（2）有限可加性有限可加性 若若 两两不相容，则有两两不相容，则有nAAA,21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP （3） ),()()(,APBPABPBA 则则有有若若).()(APBP 且

31、且有有（4） 减法公式减法公式 对任意两事件对任意两事件A,B，有，有 )()()(ABPBPABP （5）对任意事件）对任意事件A，有，有1)(0 AP证明：证明： 由由 有有 SAAAA , 即即 )(1SP )(1)(APAP （6 6）对任意事件）对任意事件A, , 有有)(AAP )()(APAP )(1)(APAP 广东工业大学广东工业大学).()()()(ABPBPAPBAP （7）加法公式）加法公式 对任意两事件对任意两事件A、B有有BASBAB如图所示如图所示 BA)(ABBA 有有)()(ABBAPBAP )()(ABBPAP )()()(ABPBPAP 注意到注意到 与与

32、 不相容以及不相容以及 ,AABB BAB 即即)()()()(ABPBPAPBAP 证毕。证毕。证明证明 广东工业大学广东工业大学（8）加法公式的推广（三个的情形）加法公式的推广（三个的情形） 对三个事件对三个事件 ，有，有：CBA,)()()()()(ABPCPBPAPCBAP )()()(ABCPBCPACP ABCABACSBCABC如图如图对事件概率对事件概率的量度好比的量度好比对事件所对对事件所对应的集合的应的集合的面积计算！面积计算！广东工业大学广东工业大学)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 对对n

33、 个事件个事件 有有,21nAAA（9）加法公式的推广（任意）加法公式的推广（任意n个的情形）个的情形） 广东工业大学广东工业大学例例1 已知已知, 6 . 0)(, 3 . 0)(, 4 . 0)( BAPBPAP试求试求).(BAPABABABA 解解:由事件的运算关系由事件的运算关系,知知由由 ,AAB 有有)()()()(ABPAPABAPBAP 利用利用 )()()()(BAPBPAPABP 6 . 03 . 04 . 0 1 . 0 于是于是)()()(ABPAPBAP 1 . 04 . 0 3 . 0 )()()()(ABPBPAPBAP 有有 广东工业大学广东工业大学例例2（9

34、2） 已知已知,41)()()( CPBPAP, 0)( ABP,161)()( BCPACP求事件求事件 全不发生的概率？全不发生的概率？CBA,解：解：所求概率所求概率)(CBAP)(1CBAP )(1CBAP 又又)(CBAP)()()()(ABPCPBPAP )()()(ABCPBCPACP 414141 1611610 0 85 从而所求概率从而所求概率.83)( CBAP广东工业大学广东工业大学例例3（94）已知已知 是两个事件满足条件是两个事件满足条件 ，且，且BA,)()(BAPABP ,)(pAP 则则 。 )(BP解：解：)()(BAPBAP )()()(1ABPBPAP

35、由由)()(BAPABP 有有1)()( BPAP于是于是)(1)(APBP )(1BAP p 1广东工业大学广东工业大学例例4 设设A,B为两个随机事件为两个随机事件,则一定有则一定有 (A) (B) (C) (D) 1)( BAP0)( BAP1)(0 BAP)(1)(ABPBAP 广东工业大学广东工业大学广东工业大学广东工业大学4 4 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）例例 共同特点：共同特点： （1）每次试验只有有限个结果；）每次试验只有有限个结果； （2）每个结果出现的可能性相同。）每个结果出现的可能性相同。 定义：定义： 如果一个随机试验如果一个随机试验E具有以下特征具有

36、以下特征1 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；2 2、每个样本点出现的可能性相同。、每个样本点出现的可能性相同。则称则称具有上述特性的概型为具有上述特性的概型为古典概型（等可能概型）古典概型（等可能概型）。讨论相应的概率问题称为讨论相应的概率问题称为古典概型古典概型问题。问题。 )()()(21nPPP ,21nS 广东工业大学广东工业大学古典概型中事件概率的计算：古典概型中事件概率的计算：,21nS 设设样样本本空空间间)()()(21nPPP 于是于是 )()(121nPSP )()()(21nPPP )(inP 从而对于每一个基本事件，有从而对

37、于每一个基本事件，有 nPi1)( 设事件设事件A包含有包含有k个基本事件：个基本事件：,21kiiiA 有有 )()(21kiiiPAP )()()(21kiiiPPP nk 中中的的样样本本点点数数中中所所含含的的样样本本点点数数SA （利用有限可加性）（利用有限可加性） 广东工业大学广东工业大学古典概型中事件概率的计算：古典概型中事件概率的计算：中中的的样样本本点点数数中中所所含含的的样样本本点点数数SAnkAP )(1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必须注意“等可能性等可能性”的条件的条件. 2、“等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们是一种假设，在实际应用中，我

38、们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点的出现是等可能的样本点的出现是等可能的.试验的基本事件总数试验的基本事件总数的有利场合数的有利场合数A 广东工业大学广东工业大学 例例 将一枚硬币上抛三次，设事件将一枚硬币上抛三次，设事件A =“恰有一次出现正面恰有一次出现正面”，B=“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”， 求求A，B的概率。的概率。(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)解：解

39、： 样本空间为样本空间为 S38( )P A于是于是78( )P B注：上例中，将一枚硬币上抛三次，观察正面向上的次数，注：上例中，将一枚硬币上抛三次，观察正面向上的次数， S 0, 1, 2 , 3 , 记记Ai“正面出现正面出现 i 次次”则则P(A0)1/8 ，P(A1)3/8 ，P(A2)3/8， P(A3)1/8所以以所以以Ai作为基本事件，则非等可能概型。作为基本事件，则非等可能概型。广东工业大学广东工业大学例例1 1一部四卷文集，按任意次序排列在一级书架上，问各一部四卷文集，按任意次序排列在一级书架上，问各册自右至左或自左至右恰成册自右至左或自左至右恰成1,2,3,41,2,3,

40、4顺序的概率是多少？顺序的概率是多少？解：解：样本点为四卷书书号的任一可能的排列，样本点为四卷书书号的任一可能的排列，总数总数n=4321A的有利场合数（的有利场合数（A包含的样本点数）为包含的样本点数）为2 21234，4321121! 42)( AP概率论与数理统计概率论与数理统计 广东工业大学广东工业大学例例2 一口袋装有一口袋装有6只球只球,其中其中4只白球只白球,2只红球只红球.从袋中取球两次从袋中取球两次,每次随每次随机地取一只机地取一只.考虑两种取球方式：考虑两种取球方式：(a) 放回抽样放回抽样:第一次取一只第一次取一只,观其颜色后放回观其颜色后放回,搅匀后再取一只搅匀后再取一

41、只.(b) 不放回抽样不放回抽样:第一次取一球不放回第一次取一球不放回,第二次从剩余的球中再取一球第二次从剩余的球中再取一球. 试分别就上面两种情况求试分别就上面两种情况求:（1）取到的两只球都是白球的概率；）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；）取到的两只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。解解: (a) 放回抽样放回抽样: 从袋中任取两球从袋中任取两球,总的取法为总的取法为 3666 设设 A=取到的两只球都是白球取到的两只球都是白球 B=取到的两只球都是红球取到的两只球都是红球 C=取到的两球中至

42、少有一只白球取到的两球中至少有一只白球 D=取到的两只球颜色相同取到的两只球颜色相同则显然有则显然有 ,BAD 取到的两只球都是白球的取法为取到的两只球都是白球的取法为 1644 于是于是 943616)( AP取到的两只球都是红球的取法为取到的两只球都是红球的取法为 422 91364)( BPBC 广东工业大学广东工业大学例例2 一口袋装有一口袋装有6只球只球,其中其中4只白球只白球,2只红球只红球.从袋中取球两次从袋中取球两次,每次随每次随机地取一只机地取一只.考虑两种取球方式：考虑两种取球方式：(a) 放回抽样放回抽样:第一次取一只第一次取一只,观其颜色后放回观其颜色后放回,搅匀后再取

43、一只搅匀后再取一只.(b) 不放回抽样不放回抽样:第一次取一球不放回第一次取一球不放回,第二次从剩余的球中再取一球第二次从剩余的球中再取一球. 试分别就上面两种情况求试分别就上面两种情况求:（1）取到的两只球都是白球的概率；）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；）取到的两只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。解解: (a) 放回抽样放回抽样:设设 A=取到的两只球都是白球取到的两只球都是白球 B=取到的两只球都是红球取到的两只球都是红球 C=取到的两球中至少有一只白球取到的两球中至少有一只白球 D=取到

44、的两只球颜色相同取到的两只球颜色相同则显然有则显然有 ,BAD BC 943616)( AP91364)( BP又因又因 , AB从而有从而有 )()(BAPDP )()(BPAP 95 )(1)()(BPBPCP 98 广东工业大学广东工业大学例例2 一口袋装有一口袋装有6只球只球,其中其中4只白球只白球,2只红球只红球.从袋中取球两次从袋中取球两次,每次随每次随机地取一只机地取一只.考虑两种取球方式：考虑两种取球方式：(a) 放回抽样放回抽样:第一次取一只第一次取一只,观其颜色后放回观其颜色后放回,搅匀后再取一只搅匀后再取一只.(b) 不放回抽样不放回抽样:第一次取一球不放回第一次取一球不

45、放回,第二次从剩余的球中再取一球第二次从剩余的球中再取一球. 试分别就上面两种情况求试分别就上面两种情况求:（1）取到的两只球都是白球的概率；）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；）取到的两只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。解解: (b) 不放回抽样不放回抽样: 从袋中任取两球从袋中任取两球,总的取法为总的取法为 3056 设设 A=取到的两只球都是白球取到的两只球都是白球 B=取到的两只球都是红球取到的两只球都是红球 C=取到的两球中至少有一只白球取到的两球中至少有一只白球 D=取到的两只球颜色相

46、同取到的两只球颜色相同则显然有则显然有 ,BAD 取到的两只球都是白球的取法为取到的两只球都是白球的取法为 1234 于是于是 523012)( AP取到的两只球都是红球的取法为取到的两只球都是红球的取法为 212 151302)( BPBC 广东工业大学广东工业大学例例2 一口袋装有一口袋装有6只球只球,其中其中4只白球只白球,2只红球只红球.从袋中取球两次从袋中取球两次,每次随每次随机地取一只机地取一只.考虑两种取球方式：考虑两种取球方式：(a) 放回抽样放回抽样:第一次取一只第一次取一只,观其颜色后放回观其颜色后放回,搅匀后再取一只搅匀后再取一只.(b) 不放回抽样不放回抽样:第一次取一

47、球不放回第一次取一球不放回,第二次从剩余的球中再取一球第二次从剩余的球中再取一球. 试分别就上面两种情况求试分别就上面两种情况求:（1）取到的两只球都是白球的概率；）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；）取到的两只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。解解: (b) 不放回抽样不放回抽样:设设 A=取到的两只球都是白球取到的两只球都是白球 B=取到的两只球都是红球取到的两只球都是红球 C=取到的两球中至少有一只白球取到的两球中至少有一只白球 D=取到的两只球颜色相同取到的两只球颜色相同则显然有则显然有 ,

48、BAD 523012)( AP151302)( BP又因又因 , AB从而有从而有 )()(BAPDP )()(BPAP 157 )(1)()(BPBPCP 1514 BC 广东工业大学广东工业大学n1010= =3 3 4 4有有种种取取法法; ;1 1例例3 3有有1010个外观相同的电阻，其电阻分别是个外观相同的电阻，其电阻分别是1 1欧、欧、2 2欧、欧、1010欧欧. .现从中任意取出现从中任意取出3 3个，希望一个电阻值小于个，希望一个电阻值小于5 5欧，一个等于欧，一个等于5 5欧欧, ,一个大于一个大于5 5欧，问一次抽取就能达到要求的概率欧，问一次抽取就能达到要求的概率. .

49、解：样本点为从解：样本点为从1010个不同电阻中任取三个的组合个不同电阻中任取三个的组合样本空间总数为样本空间总数为计算有利场合数：计算有利场合数：有利场合数为有利场合数为构成一个有利场合可分三个步骤：构成一个有利场合可分三个步骤：第一步，从小于第一步，从小于5欧的电阻值中任取出一个，欧的电阻值中任取出一个， 5 5有有种种取取法法; ;1 1有有1 1种种取取法法; ; 4154151111111( )6P A 41541511111110103 3第二步，从等于第二步，从等于5 5欧的电阻值中任取出一个欧的电阻值中任取出一个; ;第三步，从大于第三步，从大于5 5欧的电阻值中任取出一个欧的

50、电阻值中任取出一个; ;广东工业大学广东工业大学16r2345123n-1n例例4 4将将r个球置于个球置于n个箱中（每个球以个箱中（每个球以1/1/n的概率被置入某一的概率被置入某一特定箱中）特定箱中）, ,若若nr, ,试求任一箱内的球数均不超过试求任一箱内的球数均不超过1 1的概率。的概率。解：先计算样本空间总数解：先计算样本空间总数第一个球置于一箱中，第一个球置于一箱中，共有共有n种放法种放法; ;相继将每一个球置于一箱中都有相继将每一个球置于一箱中都有n种放法；种放法；11111111这样放完这样放完r个球构成一个可能的结果（样本点），个球构成一个可能的结果（样本点），再计算有利场合

51、数：再计算有利场合数：第一个球置于一箱中，共有第一个球置于一箱中，共有n种放法种放法; ;第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有n- -1 1种放法种放法第第r个球不能放到前个球不能放到前r-1-1个球所在箱，所以只有个球所在箱，所以只有n- -r+1 1种放法种放法有利场合数有利场合数由乘法原理，由乘法原理，r个球的不同的放法有个球的不同的放法有rnnnn rnArnnn )1()1(rrnnAAP )()!(!rnnnr 于是于是 广东工业大学广东工业大学 许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类

52、型： 有有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365. 1/365. 求这求这n ( (n 365) 365)个人没有两个人的生日相同（个人没有两个人的生日相同（n人生日互人生日互不相同）的概率不相同）的概率. .人人任一天任一天可计算当可计算当n=40=40时，时，P0.1090.109我敢打睹，我我敢打睹，我们班至少有两们班至少有两人生日在同一人生日在同一天！天！)!(!)(rnnnnAAPrrrn 根据上公式得根据上公式得 )!365(365!365nPn 广东工业大学广东工业大学许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：许多表面上提法不同的问

53、题实质上属于同一类型： 有有n个旅客，乘火车途经个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车个车站，设每个人在每站下车的概率为的概率为1/ N(N n) ，求指定的，求指定的n个站各有一人下车的概率个站各有一人下车的概率. .旅客旅客车站车站 某城市每周发生某城市每周发生7 7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. . 求每天恰好发生一次车祸的概率求每天恰好发生一次车祸的概率. .车祸车祸天天)!(!)(nNNNNAAPnnnN )!77(7!77)(7777 AAP77!7 广东工业大学广东工业大学123k.a+b 例例5 5 袋中有大小相同的袋中有大小相同

54、的 a 个黄球，个黄球，b 个白球现将球从袋中个白球现将球从袋中一一随机摸出来，试求第一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是黄球的概率次摸出的球是黄球的概率113a234b2解法一解法一: : 认为球是不相同的（可辩的），认为球是不相同的（可辩的），黄球编号为黄球编号为1 1 a, ,白球编号为白球编号为1 1 b设样本点为：依次取出的设样本点为：依次取出的a+b个球的排列个球的排列样本点总数为样本点总数为: : (a+b)!事件事件A构成构成A的有利场合分两步：的有利场合分两步：从从a个黄球中任取出一个放到第个黄球中任取出一个放到第k个位置，个位置， 有有a种方式种方式113a234b2第

55、第k个位置个位置其余其余ab-1-1个位置是个位置是( (a+b-1)-1)个球的任意排列，个球的任意排列，有有( (a+b-1)!)!种方式种方式13a234b2A的有利场合数为的有利场合数为: : a( (a+b-1)!)!1()!()!a abaPabab故故 广东工业大学广东工业大学 例例5 5 袋中有大小相同的袋中有大小相同的 a 个黄球，个黄球，b 个白球现将球从袋中个白球现将球从袋中一一随机摸出来，试求第一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是黄球的概率次摸出的球是黄球的概率事件事件A123k.a+ba ba113a234b2解法二：解法二：认为黄球及白球分别是没有区别的（不可辩

56、的）认为黄球及白球分别是没有区别的（不可辩的）总数：总数：构成构成A的有利场合分两步：的有利场合分两步：从从a个黄球中任取出一个放到第个黄球中任取出一个放到第k个位置，个位置，有有1种方式种方式113a234b2第第k个位置个位置其余其余ab-1个位置是（个位置是（a-1）个黄球和）个黄球和b个白球的两类排列，个白球的两类排列，把依次取出的把依次取出的a+b个球成一列个球成一列样本点为：两类元素样本点为：两类元素( (a 个黄球和个黄球和b 个白球个白球) ) 的排列的排列11abaaPababa有有 种方式种方式11aba广东工业大学广东工业大学例例6 6 设设100100件产品中有件产品中

57、有5 5件次品件次品, ,现从中任意抽出现从中任意抽出3 3件，求件，求恰有恰有2 2件是次品被抽出的概率件是次品被抽出的概率. .解法一：设样本点为从解法一：设样本点为从100件产品抽出件产品抽出3件的组合件的组合( )MNMknkP ANn正品正品 95M件件次品次品100100件产品件产品A1003总数：总数：构成构成A的有利场合分两步：的有利场合分两步：从从5件次品中抽出件次品中抽出2件，件，从从95件正品中抽出件正品中抽出3件件25 种种方方式式95 1种种方方式式59521()1003P A N N件产品件产品次品次品 5件件次品次品 M件件正品正品 N-M广东工业大学广东工业大学

58、例例6 6 设设100100件产品中有件产品中有5 5件次品件次品, ,现从中任意抽出现从中任意抽出3 3件，求件，求恰有恰有2 2件是次品被抽出的概率件是次品被抽出的概率. .这是一种无放回抽样情形，这是一种无放回抽样情形，有放回抽样时有放回抽样时P(A)=P(A)=？解法二：设样本点为从解法二：设样本点为从100件产品抽出件产品抽出3件的排列件的排列M件件次品次品A总数：总数：构成构成A的有利场合分两步：的有利场合分两步：先确定正品次品的位置先确定正品次品的位置(即两类元素即两类元素(一个一个正品和两个次品正品和两个次品)的排列问题的排列问题)，正品从正品从95件中取出一件有件中取出一件有

59、32 种种方方式式95种种方方式式395 5 42( )100 99 98P A 123第一件次品从第一件次品从5件中取出一件件中取出一件5种种方方式式第二件次品从第二件次品从4件中取出一件件中取出一件4种种方方式式能用组合能用组合作为样本作为样本点吗？点吗？正品正品 95100100件产品件产品次品次品 5件件9899100 广东工业大学广东工业大学例例7 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不问取到的整数既不能被能被6整除整除,又不能被又不能被8整除的概率是多少整除的概率是多少?广东工业大学广东工业大学 把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七

60、张同样的卡片七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，求排列结果恰好拼成一个取出，并将其按取到的顺序排成一列，求排列结果恰好拼成一个英文单词的概率：英文单词的概率：拼成英文单词拼成英文单词SCIENCESCIENCE 的情况数的情况数( (有利场合数）为有利场合数）为故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为： 这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在如果多次重复这