第三章自动控制的数学模型

1、第三章自动控制的数学模型重点及完成的任务： 重点：数学模型的建立包括微分方程、传递函数、动态结构图；动态结构图的化简；控制系统的传递函数的建立。 完成的任务：（1）根据实例对系统建模；（2）根据实例求解微分方程；（3）根据实例求解传递函数；（4）根据实例化简动态结构图。主要章节：第一节 控制系统的微分方程第二节 传递函数第三节 控制系统的动态结构图第四节 典型环节的数学模型及响应第五节 控制系统的传递函数 为了使所设计的系统的性能满足要求，必须对系统进行理论上的分析和计算，掌握其内在规律，为此，必须用一个反应系统输入、输出及内部各变量之间的运动状态的方程式表达出来，以便分析和计算。 数学模型指

2、描述关系在运动过程中各变量之间相互关系的数学表达式。在这里主要的数学模型有：微分方程、传递函数、动态结构图、频率特性（第五章）。 描述系统的输入量和输出量之间的关系的最直接的数学方法是列写系统的微分方程（Differential Equation of Systems）。 当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时， 其微分方程可以确切地描述系统的运动过程。 微分方程是系统最基本的数学模型第一节 控制系统的微分方程一、建立微分方程的一般步骤一、建立微分方程的一般步骤二、二、 线性微分方程式的求解线性微分方程式的求解一、 建立系统微分方程的一般步骤建立系统微分方程的一般步骤 根据各环节所遵循的基本

3、物理规律，分别列写根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程，并构成微分方程组。出相应的微分方程，并构成微分方程组。（一）步骤：（一）步骤： (1)确定输入量及输出量确定输入量及输出量（2） 建立初始微分方程组。建立初始微分方程组。 将与输入量有关的项写在方程式等号右将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化。）消除中间变量，将式子标准化。（二）、系统微分方程的建立举例（二）、系统微分方程的建立举例 例例1：RC串联电路，如下图，建立微分方程串联电路，如下图，建立微分方程解：（解：（1

4、）确定输入量及输出量）确定输入量及输出量 输入量输入量ur，输出量输出量uc+-uruc+-CiR（2） 建立初始微建立初始微 分方程组分方程组（3）消除中间变量，）消除中间变量， 使式子标准化使式子标准化RC电路是一阶常系电路是一阶常系数线性微分方程。数线性微分方程。ur= Ri + uci = CducdtRCducdt+ uc= ur 例例2机械位移系统求该系统的微分方程机械位移系统求该系统的微分方程其中弹簧系数为其中弹簧系数为k，物体质量为，物体质量为m，阻尼，阻尼器的系数为器的系数为f，外力为，外力为F(t)，物体移动的位，物体移动的位移为移为m阻尼系数阻尼系数f弹簧系数弹簧系数ky

5、(t) y(t) 解：解：（1）确定系统的输入量，输出量）确定系统的输入量，输出量 输入量为输入量为F(t)，输出量为，输出量为 。（2）建立初始微分方程组）建立初始微分方程组根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律F=ma得得 F(t) FB(t) FK(t) = may(t) 中间变量关系式中间变量关系式:FB(t) = fdy(t)dtFK(t) = k y(t)a =d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ ky(t) = F(t)+(3)消除中间变量消除中间变量,将式子标准将式子标准化得化得:例例3他激直流电动机他激直流电动机输入输入:电枢电压电枢电压工作原理工作原理： 电枢

6、电电枢电压作用下产压作用下产生电枢电流，生电枢电流，从而产生电从而产生电磁转矩使电磁转矩使电动机转动动机转动.输出输出:电动机速度电动机速度+ n =+GD2 Ra375CmCedndtGD2375d2ndt2Cm CeRaLaRauaCe定义定义 机电时间常数：机电时间常数：GD2 Ra375Cm CeTm =电磁时间常数：电磁时间常数：LaRaTd = 电动机的微分方程式为：电动机的微分方程式为：+ n =d2ndt2Tm Td+ TmdndtuaCe 系统微分方程由输出量各阶导数和输系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。入量各阶导数以及系统的一些参数构成。系

7、统微分方程的一般表达式为：系统微分方程的一般表达式为：+dtm+bmr(t) = b0dm-1r(t)dtm-1 b1+dmr(t) +dr(t)dtbm-1anc(t)+ dnc(t)dtna0 +dn-1c(t)dt n-1a1+dc(t)dt an-1+完成的任务：（1）根据下图建立R、C、串联电路的微分方程（2）根据下图建立机械位移系统的微分方程。ur(t)Cuc(t)RLi(t) m其中弹簧系数为其中弹簧系数为k，物体质，物体质量为量为m，阻尼器的系数为，阻尼器的系数为f，外力为外力为F(t)，物体移动的位，物体移动的位移为移为阻尼系数f弹簧系数ky(t) y(t) F(t)二、线性

8、微分方程式的求解线性微分方程式的求解 建立微分方程以后，为了从理论上对系统的建立微分方程以后，为了从理论上对系统的瞬态过程进行分析，必须求解微分方程，则利用瞬态过程进行分析，必须求解微分方程，则利用拉氏变换进行求解拉氏变换进行求解（一）举例：（一）举例：微分方程如下，且已知r(t)=1(t)且初始量为0，求uc(t)RCducdt+ uc= ur解解:（1）将方程两边求拉氏变换得：将方程两边求拉氏变换得：且初始量为0RCSUC（S）+UC（S）=UR（S）v（2）整理方程得：）整理方程得：v UC（S）= UR（S） / （1+RCS ）v 又因为r(t)=1(t)，所以UR（S）=1/Sv所以方程得：v UC（S）=1/ S .（1+RCS ）v（3）把所得方程进行拉氏逆变换得：）把所得方程进行拉氏逆变换得：v uct(t)=1-e-t.1/RC要完成的任务： （1）设系统的微分方程