第2章振动分析基础第1节

1、机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院第第2章章 振动分析基础振动分析基础 振动系统可分为离散模型和连续模型两种不同的类型。离散模型具有有限个自由度，而连续模型则具有无限个自由度。系统的自由度定义为能完全描述系统运动所必须的独立的坐标个数。在离散模型中，最简单的是单自由度线性系统，它用一个二阶常系数微分方程来描述。这类模型常用来作为较复杂系统的初步近似描述。机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院 复杂系统的数学模型可通过模态分析技术转化为一组独立的二阶常微分方程，其中每一个方程都类似于单自由度系统的运动方程。因此，对单自由度系统进行详细深入的分析是十分必要的。机械动力学机械

2、动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院2.1 单自由度系统单自由度系统 构成离散模型的元素有三个： 惯性元件 m 质量元件则看作刚体 等效集中质量 弹性元件 k 通常假定弹簧为无质量元件 等效集中刚度 阻尼元件 c 阻尼器一般也假设为无质量 粘性阻尼激振力 p(t) 机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院一、单自由度系统的运动方程一、单自由度系统的运动方程 单自由度弹簧-阻尼器-质量系统可由下图表示，用牛顿定律来建立系统的运动方程。 机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院KmT22衰减系数衰减系数固有角频率固有角频率固有频率固有频率周期周期有阻尼固有角频率有阻尼固有角频率二、自

3、由振动二、自由振动机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院1、临界阻尼振动系统、临界阻尼振动系统临界阻尼阻尼比机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院2、无阻尼振动系统、无阻尼振动系统固有角频率固有角频率有阻尼固有角频率有阻尼固有角频率阻尼比阻尼比机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院3、减幅阻尼振动系统、减幅阻尼振动系统机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院对数衰减率对数衰减率机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院对数衰减率对数衰减率机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力

4、学 哈尔滨工业大学机电工程学院例：例： 实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个完整的周期后衰减了50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的阻尼。 机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院4、负阻尼振动系统、负阻尼振动系统机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院三、受迫振动三、受迫振动机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院1.

5、受迫振动的频率 在简谐激振力作用下，系统的受迫振动是简谐振动，振动的频率等于激振力的频率。 2受迫振动的振幅 决定于系统本身的物理性质和激振力的大小及频率，而与初始条件无关，初始条件只影响系统的瞬态振动。 机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院 (1) 当频率比很小，即激振频率远小于系统的固有频率时，无论阻尼的大小如何，动力放大因子都趋近于1，受迫振动的振幅近似等于与激振力幅值相等的静力作用下系统的静变位，因此这个区域有时称为“准静态区”。机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院（2）当频率比很大，即激振频率远高于系统的固有频率时，动力放大因子很小并逐渐趋近于零，受迫振动的振

6、幅主要决定于系统的惯性而阻尼的影响不大，因此，这个区域有时称为“惯性区”。机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院（3）当频率比1，即激振频率接近于系统的固有频率时，动力放大因子迅速增大，受迫振动的振幅急剧增加。在阻尼较小的情况下，振幅A可以比静变位大很多倍，在无阻尼的情况下，振幅为无穷大。通常我们把激振频率与系统固有频率相等（1）的振动状态称为共振，1附近的区域称为“共振区”。在共振区内阻尼的影响很大，阻尼越小共振表现得越强烈，因此共振区也称为“阻尼区”。机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院 3.受迫振动的位移与激振力有相位差，它们不是同时达到最大值和零值。相位差的数值与

7、系统的阻尼及频率比的关系。共振（1）时，无论系统的阻尼大小，振动位移总是比激振力滞后90，即相位差90。若系统无阻尼，当。时，振动位移与激振力同相位（0）当 。时，振动位移与激振力相位相反（180）。在共振点前后相位发生突然的变化。 机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院若系统有阻尼，振动位移与激振力之间的相位差随频率比的增加而逐渐增大，不会发生突然的变化，但在共振点前后变化较大。系统阻尼越小，共振点附近相位差随频率的变化越大。 振动测试中，常应用共振点前后响应与激振力之间的相位差发生较大变化这个事实作为确定共振点的一个指标。机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院4.根据实

8、测的幅频特性曲线可计算出系统的阻尼。系统共振时（ 1 ）的动力放大因子有时称为系统的“品质因数”以符号Q表示，也是一个常用来描述系统阻尼特性的量，Q值越大阻尼越小。Q的近似值可由实测的幅频特性曲线计算出来。机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院称为半功率点。半功率点所对应频率之差称为半功率点带宽，在小阻尼情况下，不难证明，半功率点带宽机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院 由于阻尼耗散的能量与振幅的平方成正比，故P点常称为半功率点，半功率点公式提供了一种确定系统阻尼比的实用方法，

9、 由以上分析可见，当阻尼大时，带宽。就宽，过共振时振辐变化平缓，振幅较小，反之，阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以，品质因数Q反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机床系统中，为了过共振时比较平稳，希望Q值小些。 机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院以OB为直径所作的圆叫“等频率圆”，圆上每一点的频率相等，虚轴代表 1，复频响应曲线同时表示了幅频特性和相频特性，因此称为幅相特性曲线（或谐响应轨迹）有时也应用“控制工程”的名称，称为乃奎斯特图或矢端图。 机械动

10、力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院在复平面上，用复矢量将运动方程中的各项表示出来，可以使我们对系统在振动过祖中的受力情况有一个形象的了解。机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院 任何真实的机械或结构，在振动过程中总会受到某种阻力的作用。阻力的种类很多，如两个相对运动表面之间的摩擦力、空气或液体的阻力、材料的内摩擦力等等，这些阻力统称为阻尼。 系统在振动过程中，阻尼要耗散能量，因而使自由振动逐渐衰减，使共振振幅不可能无限制的增大。当系统作称态受迫振动时，阻尼所耗散的能量必定等于外部激

11、振力对系统所作的功四、系统的阻尼四、系统的阻尼机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院1、激振力作功、激振力作功机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院 简谐激振力每周作功的大小，不仅决定于力幅与振幅的大小，还决定于两者之间的相位差。机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院2、阻尼力作功、阻尼力作功机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院可以证明阻尼力所作的功等于激振力所作的功3、等效的粘性阻尼、等效的粘性阻尼 由于粘性阻尼是线性阻尼，在数学上最容易处理，因此其它性质的非线性阻尼常常用等效的粘性阻尼来代替。等效粘性阻尼根据这样的原则确定：在一个振动周期中等效粘性

12、阻尼所耗散的能量与它所代替的阻尼所耗散的能量相等。机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院干摩擦力F一般说是一个常力。它在整个受迫振动过程中大小不变，但方向始终与运动方向相反。当质量从平衡位置移动到最大偏离位置时，即在1/4周期内，摩擦力作功为FA。从最大偏离位置返回时运动方向相反，摩擦力也随着反向，在1/4周期内仍作功FA.以后每1/4周都如此，所以一个整周期中作功总和为1）干摩擦阻尼机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院2）结构阻尼 结构阻尼是由于不完全弹性材料的内摩擦所引起的

13、一种阻尼，大量的试验表明，在一个振动周期中，由于材料内摩擦所耗散的能量等于材料的应力一应变迟砌国线所包围的面积，近似地与振幅的平方成正比。机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院 简谐激振不仅是周期性的，还是谐和的，是周期性激振的最简单情况。实践中，还经常碰到这样的激振，它虽然是周期的，但却不是谐和的，激振随时间的变化规律不能仅用一项正弦或余弦函数表达出来。解决这类间题的有效方法是将非谐周期性激振展开成傅里叶级数，然后利用叠加原理。 任何周期函数都可展开成傅里叶级数（三角级数）的形式。 五、非谐周期性激振五、非谐周期性激振机械动力学机械动

14、力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院 系统对周期性激振的响应也是周期性的，响应的周期与激振的周期相同。如果激振f(t)的某次谐波分量的频率等于系统的固有频率，则系统也将发生共振。所以，单自由度系统不仅在受到激振频率等于系统固有频率的简谐激振时会出现共振，而且在受到其某次谐波的频率等于系统固有频率的周期激振时也会出现共振。机械动力学机械动力学 哈尔滨工业大学机电工程学院 系统对周期性激振响应的计算，主要是激振f (t)的展开计算。一般周期函数的傅里叶级数是一个无穷级数，但从工程的要求来看，只计算少数前几项就足够了，特别是有些函数收敛很快或者其某次谐波分量引起共振时，甚至取两、三项就能满足要求。假如激振了(t)是以实测数据或曲线的形式给出，而不知道其解析表达式，则往往应用频率分析仪直接对激振或响应信号进行频谱分析获得各谐波分量。 机械动力学机械动力学 哈尔滨工