随机过程(3.1)

1、第三章第三章 跳跃随机过程跳跃随机过程 本章主要内容本章主要内容泊松过程的定义及基本性质泊松过程的定义及基本性质泊松过程的泊松过程的0-1律律复合泊松过程过程复合泊松过程过程泊松过程扩展泊松过程扩展实例1.电话交换台的呼叫次数2.放射性裂变的质点数3.发生故障而不能工作的机器数4.通过交通路口的车辆数5.来到某服务窗口的顾客数.以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也统一叫做随机点若用N(t)表示0,t内到达的随机点数，显然这种随机过程称为计数过程 即实随机过程N(t),t0是计数过程，如果N(t)表示直到t时刻为止发生的某随机事件数特点 N(t)是非负整数 ,( )0t N t0,( )

2、( )st N tN s 0,( )( )st N tN s 表示时间间隔t-s内发生的随机事件数计数过程的另一种表示1,)0( )0nnctT TnNnItt计数过程的轨道性质(a) 零初值性 ，状态空间是0及自然数(b) 样本轨道是单调不减，右连续(c)轨道间断点跳跃的高度永远是1(0)0N. .(1)(1)零零初初值值性性0,( ).( ) st N tN s 泊松分布( (2 2) )0121122110( )(),()(),( )(2),( )(,0, . .).nnnnnN tN tN tN tN tntN tNtttrstvtN (3)(3)独独立立增增量量性性相互相互独立独立的

3、随机变量序列的随机变量序列 N(t) 表示表示0，t时间内到达的随机点数时间内到达的随机点数, 则则N(t) (Nt)是一个随机变量是一个随机变量分析这些随机过程的公同特点分析这些随机过程的公同特点()( )1()()( )2()P N ttN tttP N ttN tt 一.Poisson过程定义若计数过程 N(t),t0 满足.(0)0aN.( ),0bN t t 是平稳的独立增量过程.0,( )ctN t 服从参数是t 的Poisson分布,即则称计数过程N(t),t0是参数(强度,比率)为 的Poisson过程., 2 , 1 , 0,!)()(kketktNPtk定理 设 N(t),

4、t0 是参数为 的Poisson 过程，则21)( ),0,( ),0,( , )min( , ), , ,0( , )min( , ), , ,0NNNNmtt tDtt tRs tsts t s tCs ts t s t分布的服从参数为对poisson)()()(,0stsNtNts)2证明 1) 由定义,显然有. 0,)(,)(tttDttmNN又对s0, t 0,不妨设st,则有)()(E),(tNsNtsRN),min()()(E()()()()E(E)(E)()()(0()(E()()()()(0()(E222222tsstsstssstssNsNDsNtNsNsNsNtNNsNs

5、NsNtNNsN)()(),(),(tmsmtsRtsCNNNN2min( , )min( , )sts tsts t是独立增量)()(ksNtNP)0()(kNstNP平稳性)(kstNP由定义, 2 , 1 , 0,!)()(kkeststkts 0)2 对计数过程的到达时间与到达时间间隔分布设 Nc(t),t0 是计数过程，即Nc(t)表示时间区间0,t)内到达的随机点数.到达时间(序列)iT令表示第i个随机点的到达时刻,则称,1,2,nT n 为计数过程的到达时间序列.到达时间间隔(序列)1nnnTT令它表示第n-1个随机点与第n个随机点的到达时间间隔,则称,1,2,nn为Poisso

6、n过程的到达时间间隔(序列)显然有显然有12nnT, 2 , 1n1T2T3T1nTnT1n0t21nnnTT给出上述定义以后，我们自然需要回答下列问题给出上述定义以后，我们自然需要回答下列问题(1):计数过程与泊松过程的关系，(2):关于Poisson过程中的这两个序列的概率分布引理引理 (到达时间序列分布)设Nc(t),t0 是计数过程,其到达时间间隔相互独立且同服从参数为的指数分布，则到达时间分布,1,2,nT n 1(),0( )(1)!0,0nntTtetftnt服从分布,密度为证明证明的分布函数,0时tnT( )0nTFt =1=, ( )nnkkkTE而(kuju）k的特征函数为

7、的特征函数为nT则则的特征函数为的特征函数为()nnTuju）nT的密度函数为的密度函数为故故1()( )=(1)!nntTtfxen ( , )nTn因此定理定理4.1.1 如果计数过程如果计数过程Nc(t)的到达时间间隔的到达时间间隔 是独立同分布于参数为是独立同分布于参数为 的指数分布，则计数过程的指数分布，则计数过程Nc(t)一定是一个参数为一定是一个参数为 的泊松过程的泊松过程.,1,2,nn00分析分析：要证明该定理只需要证明泊松定义中的第二：要证明该定理只需要证明泊松定义中的第二第三条满足即可第三条满足即可.证明：证明： 由引例知由引例知( , )nTn故其概率密度函数为故其概率

8、密度函数为1( )0(1)!nnnxTfxxexn于是于是1+1( )()()cnnnnnP NtnP TtTP TtT ( )nyTDfxedxdy其中其中( , ):,(0,),(0,)Dx yxtxy xy ()!ntten以上证明了以上证明了Nc(t)服从参数为服从参数为的泊松分布，下证平稳的泊松分布，下证平稳的独立增量性的独立增量性.即对于任意的即对于任意的0s0, 从从B口进入口进入A教室的教室的学生数为学生数为NB(t),从从C口进入口进入A教室的学生数为教室的学生数为NC(t)，假设假设NB(t)和和NC(t)是两个分别服从参数为是两个分别服从参数为 和和 的的 独立的泊松过程

9、。试讨论下面三个实际问题：独立的泊松过程。试讨论下面三个实际问题：问题问题1 在一个固定的在一个固定的3分钟内没有学生进入分钟内没有学生进入A教室的教室的 概率有多大？概率有多大？问题问题2 学生到达学生到达A教室的时间间隔的均值是多大？教室的时间间隔的均值是多大？问题问题3 已知一个学生进入了已知一个学生进入了A教室，那么他（她）是教室，那么他（她）是从从C口进入的概率有多大？口进入的概率有多大？B=0.5C=1.5例例5：有红绿蓝三种颜色的汽车，分别以强度为：有红绿蓝三种颜色的汽车，分别以强度为R,G,B, 的泊松流到达某个路口，设它们相互独立的泊松流到达某个路口，设它们相互独立.把汽车合

10、并成单个输出过程（假设汽车没有长度，没把汽车合并成单个输出过程（假设汽车没有长度，没有延时）有延时）.(1)求两辆绿色汽车到达的时间间隔的概率密度函数求两辆绿色汽车到达的时间间隔的概率密度函数.(2)求两辆汽车之间的时间间隔的概率密度函数求两辆汽车之间的时间间隔的概率密度函数.(3)求在求在t0观察到一辆红色汽车，下一辆将是红色、蓝观察到一辆红色汽车，下一辆将是红色、蓝色、非红的概率色、非红的概率.(4)求在求在t0观察到一辆红色汽车，下三辆汽车是红色，观察到一辆红色汽车，下三辆汽车是红色，然后又是一辆非红色汽车将到达的概率然后又是一辆非红色汽车将到达的概率.解解(1)两辆红色汽车到达的时间间

11、隔两辆红色汽车到达的时间间隔TG的概率密度函的概率密度函数为数为,0( )0,0GGtGTetftt(2)由于独立的泊松过程之和仍是泊松过程，且其由于独立的泊松过程之和仍是泊松过程，且其强度为强度为C=R+G+B,设设TC为两辆汽车到达的时间两辆汽车到达的时间间隔，则其概率密度函数为间隔，则其概率密度函数为,0( )0,0CCtCTetftt(3)设设TR， TG ，TB ，分别为两辆红色、绿色、蓝，分别为两辆红色、绿色、蓝色汽车到达的时间间隔色汽车到达的时间间隔.有有(2)知，知， TX的概率密度的概率密度函数为函数为(TX是为红色和非红色汽车到达的时间间隔）是为红色和非红色汽车到达的时间间隔）()(),0( )0,0BGXtBGTetfttXRTT由于与相互独立，故下一辆是红色汽车的概率为0()R RX XRRXttRRXXtRRRXRGBPP TTedtedt下一辆是红色汽车)=0YTt令是