函数极限连续2ppt课件

1、Higher mathematics分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数、极限与连续Higher mathematics函函 数数的定义的定义反函数反函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数第一章第一章 函数函数 主要内容主要内容一、一、 函数函数)(xfy yxoD1. 函数的概念定义定义:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定义域 值域图形

2、图形:DxxfyyxC, )(),( 一般为曲线 )设,RD函数为特殊的映射:其中求函数的定义域求函数的定义域P9: 2题题256)2ln(1)(xxxxf如2. 函数的特性有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函数)(:DfDf设函数为单射, 反函数为其逆映射DDff)(:14. 复合函数给定函数链)(:11DfDf1)(:DDgDg则复合函数为 )(:DgfDgf5. 初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数.Higher mathematics2. 函数的几种特性函数的几种特性设函数设函数, )(Dxxfy且有区间且有区间.DI (1)

3、有界性有界性,Dx,0M使使,)(Mxf称称 )(xf, Ix,0M使使,)(Mxf称称 )(xf说明说明: 还可定义有上界、有下界、无界还可定义有上界、有下界、无界 (2) 单调性单调性为有界函数为有界函数.在在 I 上有界上有界. ,Dx使使若对任意正数若对任意正数 M , 均存在均存在 ,)(Mxf则称则称 f ( x ) 无界无界.称称 为有上界为有上界称称 为有下界为有下界,)(,Mxf),(,xfM 当当,21Ixx21xx 时时, )()(21xfxf若称称 )(xf为为 I 上的上的, )()(21xfxf若称称 )(xf为为 I 上的上的单调增函数单调增函数 ;单调减函数单调

4、减函数 .xy1x2x如如:y=1/x在在(0,1)和和 ), 0( Higher mathematicsxyoxx(3) 奇偶性奇偶性,Dx且有且有,Dx假设假设, )()(xfxf则称则称 f (x) 为偶函数为偶函数;假设假设()( ),fxf x 则称则称 f (x) 为奇函数为奇函数. 说明说明: 假假设设)(xf在在 x = 0 有定义有定义 ,. 0)0(f)(xf为奇函数时为奇函数时,则当则当必有必有定义域关定义域关于原点对称于原点对称图像关图像关于于y轴对称轴对称图像关于图像关于原点对称原点对称Higher mathematics(4) 周期性周期性,0,lDx且且,Dlx)

5、()(xflxf则称则称)(xf为周期函数为周期函数 ,to)(tf22xo2y2假假设设称称l为周期为周期( 一般指最小正周期一般指最小正周期 ).周期为周期为 周期为周期为2注注: 周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期 .例如例如, 常量函数常量函数Cxf)(Higher mathematics4. 反函数与复合函数反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质反函数的概念及性质若函数若函数)(:DfDf为单射为单射, 则存在逆映射则存在逆映射DDff)(:1习惯上习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射称此映射1f为为 f 的反函

6、数的反函数 .其反函数其反函数(减减)(减减) .1) yf (x) 单调递单调递增增,)(1存在xfy且也单调递增且也单调递增 性质性质: Higher mathematics2) 函数函数)(xfy 与其反函数与其反函数)(1xfy的图形关于直线的图形关于直线xy 对称对称 .例如例如 ,),(,xeyx对数函数对数函数),0(,lnxxy互为反函数互为反函数 ,它们都单调递增它们都单调递增, 其图形关于直线其图形关于直线xy 对称对称 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo指数函数指数函数Higher mathematics(2) 复合函数复合函数 1),(Duu

7、fy,),(Dxxgu1)(DDg且那那么么Dxxgfy, )(设有函数链设有函数链称为由称为由, 确定的复合函数确定的复合函数 , 复合映射的特例复合映射的特例 u 称为中间变量称为中间变量. 注意注意: 构成复合函数的条件构成复合函数的条件 1)(DDg不可少不可少. 例如例如, 函数链函数链 :,arcsinuy ,122xu函数函数,12arcsin2xyDx,1231,23但函数链但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数不能构成复合函数 .可定义复合可定义复合Higher mathematics5.初等函数初等函数(1) 基本初等函数基本初等函数(六大类六大类)幂函数、幂函

8、数、 指数函数、指数函数、对数函数、对数函数、 三角函数、三角函数、 反三角函数反三角函数(2) 初等函数初等函数由基本初等函数由基本初等函数否则称非初等函数否则称非初等函数 . 例如例如 ,33xxy构成构成 ,并可用一个式子表示的函数并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步经过有限次四则运算和复合步骤所骤所称为初等函数称为初等函数 .又如又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .常数函数、常数函数、Higher mathematics 初等函数初等函数2.幂函数幂函数3.指数函数指数函数5.三角函数三角函数1.常值函数常值函数4.对数函数对

9、数函数6.反三角函数反三角函数Higher mathematics一、基本初等函数常值函数常值函数oxyCy 1.常值函数constant functionCCy 其中其中C是常数是常数定义域定义域值域值域),(|CyyHigher mathematics幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2.幂函数(power functions )定义域定义域值域值域都过点都过点(1,1)Higher mathematicsxay xay)1( a)1 , 0( )10( aaayx且且3.指数(exponential function) 指数函数指数函

10、数定义域定义域值域值域),(), 0( 都过点都过点(0,1)10aHigher mathematics4. 对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xyalog)1( a)0 , 1( (logarithmic function)定义域定义域值域值域),(), 0( 都过点都过点(1,0)自然对数自然对数a=e=2.71828时时10aHigher mathematics正弦函数正弦函数xysin xysin 5. 三角函数三角函数定义域定义域值域值域 1 , 1),(周期周期2奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 单调性单调性 22322232Higher mathem

11、aticsxycos xycos 余弦函数余弦函数定义域定义域值域值域 1 , 1),(周期周期2奇偶性奇偶性 偶函数偶函数 单调性单调性 22322232Higher mathematics正切函数正切函数xytan xytan 定义域定义域值域值域),(Zkkx,2周期周期奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 单调性单调性 223223Higher mathematicsxycot 余切函数余切函数xycot 定义域定义域值域值域),(Zkkx,周期周期奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 单调性单调性 223223Higher mathematics正割函数正割函数xxycos1secxysec 定义域定义

12、域值域值域), 1 1,(2 kx周期周期2奇偶性奇偶性 偶函数偶函数 单调性单调性 223223Higher mathematicsxycsc 余割函数余割函数xycsc 定义域定义域周期周期奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 单调性单调性 Zkkx,232223值域值域2), 1 1,(Higher mathematics6. 反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数定义域定义域值域值域 1 , 1奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 单调性单调性 2,2Higher mathematicsxyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数定义域定义域值域值域 1

13、, 1单调性单调性 , 0Higher mathematicsxyarctan xyarctan 反反正正切切函函数数定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 单调性单调性 2,2),(Higher mathematicsxycot 反反余余切切函函数数arcxycot arc定义域定义域值域值域单调性单调性 ),(), 0(xxxarccosarcsin,1 , 1求Higher mathematics极极 限限的定义的定义数数 列列函函 数数数列极限与函数数列极限与函数极限之间关系极限之间关系四则运算四则运算无穷小无穷小无穷大无穷大无穷小比较无穷小比较极极 限限的性质的性质唯一性唯一

14、性有界性有界性保号性保号性极限存在准则极限存在准则两个重要极限两个重要极限极限极限Higher mathematics注意：注意：;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn 极限定义极限定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正整数总存在正整数 , ,使得对于使得对于 时的一切时的一切 , ,不等式不等式 都成立都成立, ,那么就称常数那么就称常数 是数是数列列 的极限的极限, ,或者称数列收敛于或者称数列收敛于 , ,记为记为 或或 NNn nx axnanxa,limaxnn ).( naxn如果数列没有极限

15、如果数列没有极限, ,就说数列是发散的就说数列是发散的. . 2有关与任意给定的正数N数列数列Higher mathematics:定义定义N .,0,0lim axNnNaxnnn恒恒有有时时使使n,M正数总有总有nxM,M正数总有总有0nxM有界有界:无界无界:0n下界下界:上界上界:AxnAn总有实数,BxnBn总有实数,Higher mathematics收敛数列的性质收敛数列的性质性质性质1极限的唯一性）极限的唯一性）收敛数列的极限必唯一收敛数列的极限必唯一. .收敛数列必为有界数列收敛数列必为有界数列. .性质性质2有界性）有界性）反之不一定成立反之不一定成立推论推论 无界数列则必

16、发散无界数列则必发散.,nnyxNnN时当则存在正整数性质性质3保序性）保序性）,limlimnnnnyx若).0(0, nnaaNnN或或时时当当则则存存在在正正整整数数推论推论1保号性）保号性）),0(0,lim aaaxnn或或且且若若).0(0,lim)0(0aaaxxxnnnn或则且或若推论推论2则时，若当,nnyxNn.limlimnnnnyxHigher mathematics性质性质4收敛数列与其子数列间的关系）收敛数列与其子数列间的关系）那么它的任一子数列收敛于如果数列,axn.,a其极限也是也收敛发散数列判别法发散数列判别法: :1. 1. 无界数列必定发散无界数列必定发散

17、. .2. 2. 一子列发散一子列发散, ,则数列发散则数列发散. .3. 3. 两子列收敛到不同的极限两子列收敛到不同的极限, ,则数列发散则数列发散. .性质性质5 (夹逼准则夹逼准则)准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及 nz满满足足下下列列条条件件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在, , 且且axnn lim. . Higher mathematics单调增加有上界数列有极限；单调增加有上界数列有极限；单调减少有下界数列有极限。单调减少有下界数列有极限。准准则则 单单调调有有界界数数列

18、列必必有有极极限限.性质性质6 (单调有界收敛准则单调有界收敛准则)Higher mathematics定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim函数极限函数极限Higher mathematics函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)Higher mathematics过过 程程时时 刻刻从此时刻以

19、后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(Higher mathematics左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当(right-hand limit)(left-hand limit)00000()lim( )()(0).xxxxf xAf xf xA记作或00000()lim( )()(0).xxxxf xAf xf xA记作或.)0

20、()0()(lim000AxfxfAxfxx定理定理Higher mathematics函数极限的性质函数极限的性质定理定理2函数极限的局部有界性）函数极限的局部有界性）定理定理1函数极限的惟一性）函数极限的惟一性）(注:对于六种极限形式都成立只要做相应的修改即可,可类似证明) 假假设设)(lim0 xfxx存在，存在，那么该极限是唯一的，那么该极限是唯一的，假设假设Axfxx)(lim0那么存在常数那么存在常数 M 0,()fxM0 ，和和使得当使得当00 xx ，有有xlimxlim0XXx |Higher mathematics推论推论0000lim( ),lim ( ),0,(, ),

21、( )( ).xxxxf xAg xBABxU xf xg x 设且则有3.不等式性质不等式性质定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx则有若设注意注意:若将小于等于改成小于若将小于等于改成小于,极限式子也不可以改成小于极限式子也不可以改成小于.Higher mathematics).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim00 xfxfxUxAAAxfxx或时当则或且若定理定理( (局部保号性局部保号性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim00AAxfxfxUxAxfxx或则或时当且

22、若推论推论注意注意:若将小于等于改成小于若将小于等于改成小于,极限式子也不可以改成小于极限式子也不可以改成小于.Higher mathematics4 夹逼准则夹逼准则.)(lim,)(lim,)(lim)2();()()() 1 (),(, 00000AxfAxhAxgxhxfxgxUxxxxxxx则都有若Higher mathematics一些基本初等函数的极限一些基本初等函数的极限)0(01limxx) 10(0limaaxx) 1(0limaaxxxxarccotlim0arccotlimxx不存在xxarccotlimHigher mathematics00,0,0 |Mxx当时,|

23、( )|f xM有0lim( )xxf x x 0X|xX00,0,0 |Mxx当时,( )f xM有0lim( )xxf x 00,0,0 |Mxx当时,( )f xM 有0lim( )xxf x ,+ ,-所有以所有以为极限的函数为极限的函数(包括数列包括数列)都称为在都称为在某个趋势下的无穷大某个趋势下的无穷大无穷大无穷小无穷大无穷小Higher mathematics定理定理1 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,有限个无穷有限个无穷小的代数和仍是无穷小小的代数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .定理定理2 有界

24、函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,有极限的变量有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.假设假设)(xf为无穷大为无穷大,)(1xf为无穷小为无穷小 ;假设假设)(xf为无穷小为无穷小, 且且,0)(xf那那么么)(1xf为无穷大为无穷大.那那么么定理定理4.在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,Higher mathematics无穷大量的运算性

25、质无穷大量的运算性质(1)有限个正无穷大量之和为正无穷大量；有限个正无穷大量之和为正无穷大量； 有限个负无穷大量之和为负无穷大量。有限个负无穷大量之和为负无穷大量。(2)有限个无穷大量之积为无穷大量。有限个无穷大量之积为无穷大量。(3)非非0常量常量C与正无穷大量之积为无穷大量。与正无穷大量之积为无穷大量。(4)无穷大量与有界量之和为无穷大量。无穷大量与有界量之和为无穷大量。 特别地，无穷大量与常量特别地，无穷大量与常量C之和为无穷大量。之和为无穷大量。注：两无穷大量之和或差不一定为无穷大量。注：两无穷大量之和或差不一定为无穷大量。注：无穷大量与有界量之积不一定为无穷大量，注：无穷大量与有界量

26、之积不一定为无穷大量，无穷大量与无穷小量或无穷大量之商不一定为无穷大量。无穷大量与无穷小量或无穷大量之商不一定为无穷大量。Higher mathematics无穷小无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;xHigher mathematics 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 1 . 假假设设定理定理 2 . 假假设设,)(lim,)(limB

27、xgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 3 . 假设假设,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理5. 设设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(limHigher mathematics(2) ,消去零因子法1. 极限四则运算法则2. 求函数极限的方法 (3) 对 00型 , 约去公因子 ,分子分母同除分母最高次幂型总结总结 (4) 型(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)(5)无穷项之和,变形后

28、求极限(1)多项式与分式函数(分母不为0)代入法求极限(7)利用左右极限求分段函数极限(6)利用无穷小、无穷大运算性质求极限(8) 复合函数极限求法设中间变量洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则Higher mathematics其他未定式其他未定式:,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分通分转化转化0取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化00为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当一般有如下结果：一般有如下结果：Higher mathematics 两个重要极限 1sinlim) 1 (0e

29、)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式代表相同的表达式填空题填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101eHigher mathematicsxxxlnlim) 1 (0求极限求极限:能否直接使用洛必达法则能否直接使用洛必达法则:xxxtanlim)2(0 xexxxcos1) 1(lim)3(0 xxxxsinlim)4(30tanlim) 1 (xxxx205cos1lim)2(xxxxxx131lim)3(022221lim)4(nnnnnHigher mathematics连续性连续性间断点间断点间断点的分类间断点的分类基本初等函数基本初等函数反函数反函数复合函数复合函数初等函数初等函数连续性定义连续性定义间断点定义间断点定义闭区间上连闭区间上连续函数性质续函数性质连续连续Higher mathematics对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左