多元函数的导数

1、第六章多元函数微积分第六章多元函数微积分6-6-4 4多元函数多元函数的导数的导数 6-4-1 6-4-1 偏偏导数导数6-4-2 6-4-2 高阶偏导数高阶偏导数6-4-3 6-4-3 多元复合函数的求导法多元复合函数的求导法6-4-4 6-4-4 隐函数的求导法隐函数的求导法一元函数导数的概念：一元函数导数的概念：0000()()()limxf xxf xfxx 表示函数表示函数( )f x在点在点0 x处的导数处的导数其中其中00()()yf xxf x 函数的改变量函数的改变量对于二元函数对于二元函数( , ),zf x y类似的有函数的改变量类似的有函数的改变量称为偏增量称为偏增量0

2、000(,)(,)xzf xx yf xy0000(,)(,)yzf xyyf xy00(,),xyfx 设函数设函数 在点在点 的某一邻域内的某一邻域内有定义，若有定义，若 存在，则存在，则称此极限值为称此极限值为 函数在点函数在点 处对处对x的偏的偏导数，导数，( , )zf x y 00(,)xy( , )zf x y 00(,)xy00000(,)(,)limxf xx yf xyx 定义定义 6-8 6-4-1 6-4-1 偏偏导数导数1偏导数的定义偏导数的定义00(,),xyzx 00(,),xzxy00(,).xfxy ， 记作记作 同理，若同理，若 存在，则存在，则称此极限值为

3、称此极限值为 在点在点 处对处对y的偏导的偏导数，数， 00000(,)(,)limyf xyyf xyy ( , )zf x y 00(,)xy00(,).yfxy 00(,),xyzy 00(,),yzxy 记作记作即即0000000(,)(,)(,)limxxyf xx yf xyzxx 00(,),xyfy 即即0000000(,)(,)(,)limyxyf xyyf xyzyy 如果如果 在区域在区域D内每一点内每一点 处对处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数仍是的偏导数都存在，那么这个偏导数仍是 的函的函数，此函数称为数，此函数称为 函数对自变量函数对自变量x的偏导的偏导函数，函数

4、，( , )zf x y ( , )x y, x y( , )zf x y ,zx ( , ),f x yx ,xz ( , )xfx y 记作记作 类似地，可以定义函数类似地，可以定义函数 对自变量对自变量y的的偏导函数，偏导函数，( , )zf x y ,zy ( , ),f x yy ,yz ( , )yfx y 记作记作 在不致混淆的情况下，偏导函数也称偏导数在不致混淆的情况下，偏导函数也称偏导数。 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数。偏导数的概念可以推广到二元以上的函数。 2偏导数的求法偏导数的求法 232 ,22zzxyxyxy (1,1)(1,1)5,4zzxy解：解：所以所以

5、 例例6-29 求函数求函数 在点在点 处处的两个偏导数的两个偏导数2332zxxyy (1,1)因为因为对对x求偏导数把求偏导数把y看成常看成常数；对数；对y 求偏导数把求偏导数把x看看成常数；成常数； 例例6-30 设设 求求(0),yzxx,zzxy 1yzyxx 解：解：lnyzxxy 例例6-31 设设 ， 求证：求证：222uxyz 2224uuuuxyz 2 ,2 ,2uuuxyzxyz 222uuuxyz 证明：证明：所以所以因为因为 22244xyzu3偏导数的几何意义偏导数的几何意义 二元函数二元函数 在点在点 处的偏导数，处的偏导数，是一元函数是一元函数 及及 分别在点分

6、别在点 及及 处的导数处的导数( , )zf x y 00(,)xy0( ,)zf x y 0(, )zf xy 0yy 0 xx 因此二元函数因此二元函数 的偏导数的几何意义是曲线切的偏导数的几何意义是曲线切线的线的斜率斜率( , )zf x y 6-4-2 6-4-2 高阶偏导数高阶偏导数 如果这两个函数关于如果这两个函数关于x，y的偏导数也存在，的偏导数也存在，则称它们的偏导数是则称它们的偏导数是 的二阶偏导数。的二阶偏导数。 ( , )zf x y 函数函数 的两个偏导数的两个偏导数( , )zf x y ( , ),xzfx yx ( , )yzfx yy 一般说来仍然是一般说来仍然

7、是x，y的函数，的函数，xzx yzx xzy 22( , )yyyyyzzzfx yzyyyy 依照对变量的不同求导次序，依照对变量的不同求导次序， 的二阶的二阶偏导数有四个：偏导数有四个：( , )zf x y zxx 22zx ( , )xxxxfx yz xzx zyx 2zx y ( , )xyxyfx yz xzy zxy 2zy x ( , )yxyxfx yz yzx 其中其中 及及 称为二称为二阶混合偏导数。阶混合偏导数。2( , )xyzfx yx y 2( , )yxzfx yy x 对于二阶混合偏导数有下述定理对于二阶混合偏导数有下述定理 如果函数如果函数 在区域在区域

8、D上两个二阶混合上两个二阶混合偏导数偏导数 及及 连续，则连续，则 在区域在区域D上有上有( , )zf x y 22zzx yy x 2( , )xyzfx yx y 2( , )yxzfx yy x 定理定理 6-3 类似地，可以定义三阶、四阶、类似地，可以定义三阶、四阶、n阶偏导阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。 例例6-32 求函数求函数 的所有二阶偏导数的所有二阶偏导数.e cosxzy e cos,xzyx e sinxzyy 22(e cos )xxzyx 2( e sin )xxzyy x 2(e cos )xyzyx y

9、 22( e sin )xyzyy 解解 ： 因为因为所以所以e sinxy e sinxy e cosxy = e cosxy例例6-33 求函数求函数 的所有二阶偏导数的所有二阶偏导数.exyz e ()xyxzxyx exyzxy 222(e )xyxzyx 2( e )xyyzyx y 2( e )xyxzxy x 22( e )( )()xyxyxyyyyzxxex ey 解解 ： 因为因为所以所以2exyy ee ,xyxyxy( ) e(e )xyxyyyyy= eexyxyxy ( ) e(e )xyxyxxxx2exyx exyy 6-4-3 6-4-3 多元复合函数的求导法

10、多元复合函数的求导法一元复合函数一元复合函数( ),( )yf u ux 求导法则求导法则uxdy duyyudu dx( ),( ) )zftt 可理解为可理解为(,)zf u v ( ),ut ( )vt 复合而成复合而成称为多元复合函数称为多元复合函数6-4-3 6-4-3 多元复合函数的求导法多元复合函数的求导法1 1中间变量均为一元函数的情形中间变量均为一元函数的情形 如果函数如果函数 均在点均在点t处可导，函处可导，函数数 在对应点在对应点 处具有连续的偏导处具有连续的偏导数，则复合函数数，则复合函数 在点处可导，且在点处可导，且有求导公式：有求导公式：( ),ut ( )vt (

11、,)zf u v (,)u v( ),( ) )zftt ddddddzzuzvtutvt 用树图形象地表示它的用树图形象地表示它的结构，就是结构，就是 zu tv t其中其中 表示多元表示多元函数的导数（偏导）函数的导数（偏导）,zzuv2 2中间变量均是二元函数的情形中间变量均是二元函数的情形 (,) xy 设设 在点在点 处都具有处都具有偏导数偏导数, ,二元函数二元函数 在对应点在对应点 处具有处具有连续的偏导数，则复合函数连续的偏导数，则复合函数在点在点 处的两个偏导数存在，并有求导公式：处的两个偏导数存在，并有求导公式：(,),(,)uxyvxy(,)xy(,)zf u v (,)

12、u v(,),(,) )zfxyxy (,)xyzzuzvxuxv x zzuzvyuyv y 用树图形象地表示它用树图形象地表示它的结构，就是的结构，就是 xyvzuxy 上述公式称为上述公式称为“链式法则链式法则”. .在多元复合函数在多元复合函数的求导过程中的求导过程中, , “链式法则链式法则”的使用有多种情形的使用有多种情形. 例如：例如： 设设 在点在点 处都具有偏导数处都具有偏导数, ,三元函数三元函数 在对应在对应 点点 处具有连续的偏导数，则复合函数处具有连续的偏导数，则复合函数 在点在点 处的两个偏处的两个偏 导数存在，并有求导公式：导数存在，并有求导公式：(,),(,),

13、(,)uxyvxywxy(,)xy(,)zf u v w (,)u v w(,),(,) )zfxyxy (,)xyzzuzvzwxuxv xwx zzuzvzwyuyv ywy zwxyvxyuxy设设 在点在点x处可导，处可导， 在点在点 具有偏导数具有偏导数, , 函数函数 在对应点在对应点 处具处具有连续的偏导数，则复合函数有连续的偏导数，则复合函数在点在点 处的两个偏导数存在，并有求导公式：处的两个偏导数存在，并有求导公式：(),ux (,)xy(,)zf u v (, )u v(),(,) )zfxxy (,)xy(,)vxy ddzzuzvxu xv x zzvyv y xyvu

14、zx例例6-34 设设 求求2ln ,xzuv uvxyy ,zzxy zzuzvxuxv x 212 ln1uuvyv2222 ln()()xxyxyxy y zzuzvyuyv y 222 ln()( 1)xuuvyv 22322ln()()xxyxyxy y 解：解：例例6-35 设设 求求,sin ,cos ,vzu ut vt ddztdzz duz dvdtudtv dt 1cosln( sin )vvvutuut (coslnsin )vvututu 2coscos(sin )(sinlnsin )sintttttt 解：解：例例6-36 设设 ，求求e22(,)xyzf xy

15、zx zzuzvxuxvx e2xyuvfxfy e2xyuvxfyf 解：解： 设设22,xyuxyve则则(,),zf u v 若用若用 表示对第表示对第 个中间变量的偏导数个中间变量的偏导数 ，则，则if i(1, 2)i e122xyzxfyfx 2uzzufxxux 1( 2 )uzzufyyux 2(2)uuzzyxfxyxxyfxxy例例6-37 设设 ，其中其中 可导，可导， 证明；证明；22( ),zyf uuxy zzyxxxy f证：证：所以所以6-4-4 6-4-4 隐函数的求导法隐函数的求导法复习多元复合函数求导法则（链式法则）复习多元复合函数求导法则（链式法则）=

16、( , )zf u v= ( , ),( , )ux y vx y 则有则有zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy而e22(,)xyzf xy zx 求求则有则有2212()()xyxxzfxyfex 6-4-4 6-4-4 隐函数的求导法隐函数的求导法 1 1由二元方程由二元方程 所确定的一元隐函数所确定的一元隐函数 的求导公式的求导公式 ( , )0F x y ( )yf x 将方程将方程 两边对两边对 求导，得求导，得 x( , )0F x y dd( )0 xxyyFxFxddxyFyxF 所以所以按多元复合函按多元复合函数求导法则数求导法则 2由二元方程由二元方程 所确定的二元隐函

17、数所确定的二元隐函数 的求导公式的求导公式 ( , , )0F x y z (,)zfxy 将方程将方程 两边对两边对 求导，得求导，得 x( , , )0F x y z ( )( )0 xxyxzzFxFyFx xzFzxF 所以所以同理同理yzFzyF 按多元复合函按多元复合函数求导法则数求导法则需要说明的是需要说明的是表示三元函数分别对表示三元函数分别对自变量自变量 的导数的导数,xyzFFF, ,x y z33( , )16F x yxyx 2316,xFx 23yFy 223163xyFdyxdxFy 令令 例例6-38 设设 ，求求3316xyx ddyx解：解：因为因为所以所以例例6-39 设设 ，求求ddyxsin()