第八章点的合成运动

1、第八章第八章 点的合成运动点的合成运动相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动点的速度合成定理点的速度合成定理牵连运动是平移时点的加速度合成定理牵连运动是平移时点的加速度合成定理牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理理一、动点、一、动点、定坐标系、动坐标系定坐标系、动坐标系 前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。vu 为了研究方便，把所研究的点称为为了研究方便，把所研究的点称为动点动点，把固连于地球上的参考坐标系称为把固连于地球上的参考坐标系称为定坐标系定坐标系（静坐标系）；而把另一个相对于定坐标系运（静

2、坐标系）；而把另一个相对于定坐标系运动的坐标系称为动的坐标系称为动坐标系动坐标系（动系）（动系） 。M 在不同的参考坐标系中对同一个点的运动的描在不同的参考坐标系中对同一个点的运动的描述得到的结果是不一样的。述得到的结果是不一样的。8.1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动8.1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动二、绝对运动二、绝对运动 相对运动相对运动 牵连运动的概念牵连运动的概念 为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定：为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定：动点相对于定坐标系的运动动点相对于定坐标系的运动称为称为绝对运动绝对运动。动点相对于动坐标系的

3、运动动点相对于动坐标系的运动称为称为相对运动相对运动。动坐标系相对于定坐标系的运动动坐标系相对于定坐标系的运动称为称为牵连运动牵连运动。 动点的绝对运动和相对运动都是指动点的绝对运动和相对运动都是指动点动点的运动，的运动，而牵连运动是指坐标系的运动，实际上是而牵连运动是指坐标系的运动，实际上是刚体刚体的运的运动。动。动点动点动系动系定系定系相对运动相对运动牵连运动牵连运动绝对运动绝对运动vu三、合三、合 成成 运运 动动 的的 概概 念念 如果没有如果没有牵连运动牵连运动，则，则动点的相对运动就是它的动点的相对运动就是它的绝绝对运动对运动；反之，如果没有；反之，如果没有相相对运动对运动，则动点

4、随同动坐标，则动点随同动坐标系所作的运动（系所作的运动（牵连运动牵连运动）就是它的就是它的绝对运动绝对运动。由此可。由此可 vu 见，动点的绝对运动既决定于动点的相对运动，也见，动点的绝对运动既决定于动点的相对运动，也决定于动坐标系的运动即牵连运动，它是这两种运决定于动坐标系的运动即牵连运动，它是这两种运动的动的合成合成，因此这种类型的运动就称为，因此这种类型的运动就称为点的合成运点的合成运动动。 8.1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动三、合三、合 成成 运运 动动 的的 概概 念念 研究点的合成运动的主要问题，就是如何由研究点的合成运动的主要问题，就是如何由已知动点的相

5、对运动与牵连运动求出绝对运动；已知动点的相对运动与牵连运动求出绝对运动；或者，如何将已知的绝对或者，如何将已知的绝对运动分解运动分解为相对运动与为相对运动与牵连运动。总之，在这里要研究这三种运动的关牵连运动。总之，在这里要研究这三种运动的关系。系。8.1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动四、绝对运动四、绝对运动 的速度与加速度的速度与加速度 动点在定系的运动中的动点在定系的运动中的轨迹、速度和加速度称为轨迹、速度和加速度称为绝绝对轨迹对轨迹、绝对速度绝对速度 和和绝对绝对加速度加速度。用。用 和和 分别表示分别表示绝对速度和绝对加速度。绝对速度和绝对加速度。avaakdtd

6、zjdtdyidtdxdtrdvaoMoxyzxyzrrroijkijkkdtzdjdtydidtxddtrddtvdaaa222222228.1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动五、相对运动五、相对运动 的速度与加速度的速度与加速度 动点在动系的运动中的轨动点在动系的运动中的轨迹、速度和加速度称为迹、速度和加速度称为相对轨相对轨迹迹、相对速度相对速度和和相对加速度相对加速度。用用 和和 分别表示相对速度和分别表示相对速度和相对加速度。相对加速度。rvrakdtzdjdtydidtxddtrdvroMoxyzxyzrrroijkijkkdtzdjdtydidtxddtrdd

7、tvdarr222222228.1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动六、六、 牵连牵连运动运动 的速度与加速度的速度与加速度 在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（瞬时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该瞬时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该瞬时的瞬时的牵连速度牵连速度和和牵连加速度牵连加速度。用。用 和和 分别表示分别表示牵连速度和牵连加速度。牵连速度和牵连加速度。eveaABttt MMu注意：牵连速度和牵加速度完全由动坐注意：牵连速度和牵加速度完全由动坐 标系的运动决定；标系的运动决定； 8.1 相对运动相对运动 牵

8、连运动牵连运动 绝对运动绝对运动 例例1 如图杆长l，绕O轴以 匀角速度转动，圆盘半径为r，绕 轴以 角速度转动。求图示位置时，圆盘边缘 和 点的牵连速度和加速度（静系取在地面上，动系取在杆上）。o1M2M 解：)(1rlve21)(rlae222rlve2222rlaeoo1M2M1ev1ea2ev2eao1M2M8.1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动8.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理 下面研究点的绝对速度、牵连速度和相对速下面研究点的绝对速度、牵连速度和相对速度的关系。度的关系。 如图，由图中矢量关系可得：如图，由图中矢量关系可得：MMMMMM11

9、将上式两端同除将上式两端同除 ，并，并令令 ，取极限，得，取极限，得 t0ttMMtMMtMMttt10100limlimlim由速度的定义：由速度的定义：atvtMMlim0etvtMM10limrttvtMMtMM2010limlimABMtABMtt1M2M点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理于是可得：于是可得：reavvv即：即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就。这就是是点的速度合成定理点的速度合成定理。ABABM1MM2Mavevrvttt注意：注意：（1）速度关系式是

10、平面矢量方程；）速度关系式是平面矢量方程； （2）绝对速度是对角线；）绝对速度是对角线； （3）牵连速度为任何形式的运动时，牵连速度为任何形式的运动时， 速度关系式都成立。速度关系式都成立。8.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理 在应用速度合成定理来解决具体问题时，应在应用速度合成定理来解决具体问题时，应注意：（注意：（1）动点及动坐标系的选取；（）动点及动坐标系的选取；（2）对于）对于三种运动及三种速度的分析；（三种运动及三种速度的分析；（3）根据速度合）根据速度合成定理并结合个速度的已知条件先作出速度矢量成定理并结合个速度的已知条件先作出速度矢量图；然后利用三角关系或矢量投影

11、定理求解未知图；然后利用三角关系或矢量投影定理求解未知量。量。8.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例例2 如图半径为R的半圆形凸轮以匀速 沿水平轨道运动，带动顶杆AB沿铅垂滑槽滑动，求在图示位置时，杆AB的速度。0v 解：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系取在凸轮凸轮上。ctgvctgvvea0reavvv方向大小0v？0vABOavevrvctgvvvaAB08.2牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 例3 图示曲柄滑杆机构，曲柄长OA=r，当曲柄与铅垂线成 时，曲柄的角速度为 ，角加速度为 ，求此时BC的速度。0oOABC00 解：以滑块

12、A为动点，定系取在地面上，动系取在BC杆上，动点的速度合成矢量图如图。avrvev 建立如图的投影坐标轴 ，由 ，将各矢量投影到投影轴上，得 Areavvveavvcos即：coscos0rvvae该速度即为BC的速度。8.3点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理ABCOr 例例4偏心凸轮以匀角速度 绕O轴转动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半径 ，试求 的图示位置时，顶杆AB的速度。er390OCA由几何关系可得30 解：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。avrvev 建立如图的投影坐标轴，由 将矢量投影到投影轴

13、上，得reavvv30sinravv 30cos0revv 因为eOAve2于是可解得eva332evr3348.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例例5 直角折杆OBC绕O轴匀速转动，并带动套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动，如图。已知：OB=10cm，折杆的角速度 。 求当 ，小环M的速度。srad5 . 060OABCM60 解：以小环小环M为动点，定系取在地面上，动系取在折折杆杆OBC上。avreavvv方向大小evrv？OM 建立如图的投影坐标轴，将矢量投影到投影轴上，得30cosravv 30sin0revv 8.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理sc

14、mOBOMve105 . 05 . 01060cos解之得scmvr20scmva310scmvvaM3108.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理ABCOr 例例4 偏心凸轮以匀角速度 绕O轴转动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半径 ，试求 的图示位置时，顶杆AB的速度。er390OCA由几何关系可得30 解：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。avrvev 建立如图的投影坐标轴，由 将矢量投影到投影轴上，得reavvv30sinravv 30cos0revv 因为eOAve2于是可解得eva332evr334

15、8.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理oCRAB 例例6 图示平底顶杆凸轮机构，顶杆AB可沿导轨上下平动，偏心凸轮以等角速度 绕O轴转动，O轴位于顶杆的轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面，设凸轮半径为R，偏心距OC=e ，OC 与水平线的夹角为 ，试求当 时，顶杆AB的速度。45 解：以凸轮圆心圆心C为动点，定系取在地面上，动系取在顶杆顶杆AB上。avreavvv方向大小e？evrvcosaevv ee2245cos8.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例7 如图车A沿半径为150m的圆弧道路以匀速 行驶，车B沿直线道路以匀速 行驶 ，两车相距30m，求：（

16、1）A车相对B车的速度；（2）B车相对A车的速度。 OABAvBvRhkmvA45hkmvB60 解：（1）以车A为动点，定系取在地面上，动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。由图可得：hkmvvvvvBAeAr/75222216 . 07545sin11rAvv9 .361OABAvBvRev1rv1xy8.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理 （2）以车B为动点，定系取在地面上，动系取在车A上。动点的速度合成矢量图如图。OABAvBvRxyev2rv2sradRvA/083. 0150360010453skmsmve/54/15083. 0180hkmvvveBr/72.8

17、0222669. 072.8054sin22revv4228.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例8 两直杆分别以 、 的速度沿垂直于杆的方向平动，其交角为 ，求套在两直杆上的小环M的速度。1v 解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。2vM1v1v2v2vABCDM1v1v2v2vABCDav1ev1rv于是有：11reavvv（1） 以小环M为动点，静系取在地面上，动系取在CD杆上，动点的速度合成矢量图如图。M1v1v2v2vABCDav2ev2rv于是有：12eeavvv（2）8.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理M1

18、v1v2v2vABCDav1ev1rv2ev2rv 比较（1）、（2）式，可得：2211rerevvvv 建立如图的投影轴，将上式投影到投影轴上，得：211sincoserevvv即：)cos(sin1)cos(sin121211vvvvveer于是可得：cos2sin1)cos(sin12122212212212121vvvvvvvvvvvreaM8.2牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理oxyzeaoxyzijkMraaa 如图，设如图，设 为平动参考为平动参考系，动点系，动点M相对于动系的相对坐相对于动系的相对坐标为标为 、 、 ，则动点，则动点M的相的相

19、对速度和加速度为对速度和加速度为zyxOxyzkzjyixvrkzjyixar 将前式对时间求一阶导数，并和上式比较，有：将前式对时间求一阶导数，并和上式比较，有：rrakzjyixv 由点的速度合成定理有：由点的速度合成定理有：reavvv两边对时间求导，得：两边对时间求导，得：reavvv8.3由于由于avaeOOeaavv于是可得：于是可得：reaaaa即：即：当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和量和。这就是。这就是牵连运动为平动时点的加速度合成定牵连运

20、动为平动时点的加速度合成定理。理。 上式为牵连运动为平动时点的加速度合成定理上式为牵连运动为平动时点的加速度合成定理的基本形式。其最一般的形式为：的基本形式。其最一般的形式为：nrrneenaaaaaaaa 具体应用时，只有分析清楚三种运动，才能确具体应用时，只有分析清楚三种运动，才能确定加速度合成定理的形式。定加速度合成定理的形式。牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理8.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 例9 图示曲柄滑杆机构，曲柄长OA=r，当曲柄与铅垂线成 时，曲柄的角速度为 ，角加速度为 ，求此时BC的速度和加速度。

21、0oOABC00 解：以滑块A为动点，定系取在地面上，动系取在BC杆上，动点的速度合成矢量图如图。avrvev 建立如图的投影坐标轴 ，由 ，将各矢量投影到投影轴上，得 Areavvveavvcos即：coscos0rvvae该速度即为BC的速度。8.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理OABC00 动点的加速度合成矢量图如图。其中：ranaaeaaa0raa20rana 建立如图的投影坐标轴 ，由 ，将各矢量投影到 轴上，得 Arenaaaaaaenaaaaasincos于是可得)sincos(200rae该加速度即为BC的加速度。8.3牵连运动为平动时点的

22、加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 例10 图示半径为r的半圆形凸轮在水平面上滑动，使直杆OA可绕轴O转动。OA=r，在图示瞬时杆OA与铅垂线夹角 ，杆端A与凸轮相接触，点O与 在同一铅直线上，凸轮的的速度为 ，加速度为 。求在图示瞬时A点的速度和加速度。并求OA杆的角速度和角加速度。v301Oa 解：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系取在凸轮上，动点的速度合成矢量图如图。O1OArvaevavrv 建立如图的投影坐标轴 ，由 ，将各矢量投影到投影轴上，得 Areavvvcoscosreavvvsinsinravv8.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速

23、度合成定理解得：vvvvvvera33330cos2cos2OA杆的角速度为vrOAvaOA33动点的加速度合成矢量图如图。O1OArvaaanaaeanrara其中rvraOAna322rvrvarnr322 建立如图的投影轴，由nrrenaaaaaaa将各矢量投影到投影轴上，得nrenaaaaaa60cos60cos30cos所以)(33)2(312rvaaaaananrea8.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理故OA杆的角加速度)(332rvarOAaaOA8.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 例11 铰接四边形机

24、构中， ， ，杆 以匀角速度 绕 轴转动。AB杆上有一滑套C，滑套C与CD杆铰接，机构各部件在同一铅直面内。求当 时，CD杆的速度和加速度。cmBOAO1021ABOO21AO1srad /21O601O2OABCD 解：以滑套C为动点，定系取在地面上，动系取AB上，动点的速度合成矢量图如图。avevrv由于scmAOvvAe202101所以scmvvea1060cos20cos8.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 动点的加速度合成矢量图如图所示。1O2OABCDeaaara由于2raaAe所以2226 .3430cos21030cos30cosscmra

25、aea8.3牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理思考题思考题 半径为r的圆盘绕中心O以匀角速度 逆时针转动。圆盘边缘有一动点M，以相对速度 沿边缘作匀速圆周运动，如图。求动点M的加速度。OeMrvervr 以M为动点，定系取在地面上，动系取在圆盘上evavrvvvrea2显然224rrvaaa方向如图。aa而22rrvarr2rae方向如图。eara可见reaaaa8.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理例例 5 设有一坐标系设有一坐标系 绕定绕定轴轴 转动转动.若转动角速度矢量为若转动角速度矢量为 ,试证明泊松公式试证明泊松公

26、式:zyxOzidti d其中其中 、 、 为动坐标系为动坐标系 坐标轴的单位矢量。坐标轴的单位矢量。kdtkdjdtj dArAoroxyzoxyzijkzyxOijk证明证明：过定轴过定轴 上点上点 作点作点 与矢量与矢量 终点终点 的矢的矢径径 和和zOOiAorAroArri则则8.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理dtrddtrddti doAArAoroxyzoxyzijkoArri将上式对时间求导得将上式对时间求导得oArr)(oArri同理同理8.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 动点的牵连速度、牵连加速

27、动点的牵连速度、牵连加速度分别为：度分别为：MeerveMrMoroxyzoxyzijker 设有一动坐标系设有一动坐标系 绕定绕定轴轴 转动，其转动角速度矢量转动，其转动角速度矢量为为 、角加速度、角加速度zyxOezeMeeraeeneva 动点的相对速度、相对加速动点的相对速度、相对加速度分别为：度分别为：kzjyixvrkzjyixar 动点的绝对速度为：动点的绝对速度为：kzjyixrvvvMerea8.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 动点的绝对加速度为：动点的绝对加速度为：dtkzjyixddtrdaMea)()(drrdrdtdMeMe)(

28、kzjyixkzjyix kzjyixaeeeraeMevrreeMeavrrerevvcreaaarecva2科氏加速度：科氏加速度：8.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 当牵连运动为转动时，加速度合成的结果和牵当牵连运动为转动时，加速度合成的结果和牵连运动为平动时加速度合成的结果不同。由于动坐连运动为平动时加速度合成的结果不同。由于动坐标系为转动，牵连运动和相对运动的相互影响而产标系为转动，牵连运动和相对运动的相互影响而产生了一个附加的加速度，称为生了一个附加的加速度，称为科里奥利加速度科里奥利加速度，简，简称称科氏加速度科氏加速度，用，用 表示。于是

29、动点的加速度为表示。于是动点的加速度为cacreaaaaa即：即： 当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于其牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和其牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。这就是这就是牵连运动为转动时的加速度合成定理牵连运动为转动时的加速度合成定理。其中其中recva2其大小为其大小为sin2recva 方向由右手法则确定。方向由右手法则确定。cnrrneenaaaaaaaaa8.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 例10 直角折杆OBC绕O轴转动，带动套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动，如图

30、。已知：OB=10cm，折杆的角速度 。求当 时，小环M的速度和加速度。srad5 . 060OABCM60 解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在折杆上。动点的速度合成矢量图如图。evavrv 建立如图的投影坐标轴，由 将各矢量投影到投影轴上，得reavvv30cosravv 30sin0revv 因为scmOBOMve105 . 05 . 01060cos8.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理解之得scmvr20scmva310 动点的加速度合成矢量图如图。OABCM60earaaaca其中scmOMaanee52scmvarc20205 . 02

31、90sin2 建立如图的投影坐标轴，由 将各矢量投影到投影轴上，得creaaaaaceaaaa30sin60cos所以2355 . 020560cosscmaaacea故小环M的速度加速度为scmvvaM310235scmaaaM8.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理ABCOr 例11 偏心凸轮以匀角速度 绕O轴转动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半径 ，试求 的图示位置时，顶杆AB的速度和加速度。er390OCA由几何关系可得30 解一：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。avrvev

32、建立如图的投影坐标轴，由 将各矢量投影到投影轴上，得reavvv30sinravv 30cos0revv 因为eOAve2于是可解得eva332evr3348.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 动点的加速度合成矢量图如图。ABCOraacaranraea其中222eOAae229316ervarnr23382evarc 建立如图的投影坐标轴，由 将各矢量投影到投影轴上，得cnrreaaaaaacnreaaaaa30cos30cos故顶杆AB的加速度为9230cos)(2eaaaacnrea可见， 的实际方向铅直向下。aa8.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 解二：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取过凸轮中心的平动坐标系（如图）。动点的速度合成矢量图如图。ABCOrxyavevrv动点的加速度合成矢量图如图。ABCOrnraraeaaa8.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 解三：以凸轮中心C为动点，静系取在地面上，动系取在顶杆上（如图）。动点的速度合成矢量图和加速度合成矢量图如图。ABCOABCOevavrvxyaanraeara8.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理