多元复合函数的求导法则

1、科学出版社第四节一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分多元复合函数的求导法则 第八八章 科学出版社一元复合函数)(),(xuufy求导法则ddddddyyuxuxxxufuufyd)()(d)(d微分法则科学出版社)(),(ttfz定理定理1. ,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 在对应点（u, v）可微, 在点 t 可导, ddddddzfufvtutvtz则复合函数证证:ffzuvuv )()(22vu)(o则相应中间变量且有链法则（见右边的树图）vutt有增量u ,v , 由于 f 可微，所以上式两端同时除

2、以t ，得到一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则若函数设 t 为t 的增量,科学出版社,0t令,0,0vu则有to)(导数，zfufvtutvtto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,ddddddddzfufvtutvtddddddzzuzvtutvt为了与偏导数区别, 称为全全导数还可以写成:科学出版社若定理中 注注: ),(),(vuvuf在点如如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但不可微（验证），此时复合函数),(ttfz 21ddtztvvztuu

3、zdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz可微减弱为偏导数存在,2t0,22222vuvuvu,0022vu则定理结论不一定成立.科学出版社推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. , ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzddzvuyxtuuzddtvvzddtwwzdd)(, )(, )(twtvtu例如,yx定理定理2. 设( , )zf u v在对应点可微xzyzxuuzxvvzyuuzyvvz( , )vx y( , )ux y，则zwvuttt偏导数都存在，科学出版社例例1. 设 243zx yxy，其中 e ,sintxyt，求 d.dzt解解:ddd

4、dzzxtxt4(23)etxyy4(2e sin3sin)etttt23(12)cosxxyt23(e12e sin)costttt代入解法二，所以 ddzt24e sin3e sinttztt，先代入，变成一元函数的求导.因为43e sin12e sin costtttt222e sine costtttddzyyt解法一，科学出版社例例2. ,sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解xzvusine)cos()sin(eyxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxyxvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 zvuyxyx设科学出版社例例3

5、. 22()xyzxy的偏导数. 解解:有了多元函数的链法则，就不需要用对数求导法了. 22()xyzxy由 vzu，22uxy和vxy复合而成， 于是 12vvuxzzuz vxuxv x lnvuu y222222()ln()xyx yxyyxy同理可得12lnvvzvuyuu xy22222222()ln()xyxyxxyxy22xy求这是一个幂指函数，科学出版社例例4. 设 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzddtz求全导数,etu ,costv 解解:tusintcos注意：验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有

6、助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.求导口诀求导口诀 :分段用乘, 分叉用加. 多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与科学出版社,zf x y，( , )xs t，( )yt求复合函数 ( ( , ),( )zfs tt的偏导数. 例例5. 都具备可微条件， zxyts t解解:,zz xsx s zz xtxt 注：ddzyyt有时会出现复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要注意防止记号的混淆. 如左图，有在应用链法则时，设科学出版社如,( , ),( , )zf x yyx t当它们都具有可微条件时, 有zxztfz xxt注意注意: 这里xzxfxz表示 复

7、合函数f ( x, ( x, t ) )固定 t 对 x 求导xf表示f ( x, y )固定 y 对 x 求导fxfyyxfyyt与不同,y科学出版社例例6. 设 ( , , ),( , ),( , ),uf x y zyx t tx z都有一阶求 连续偏导数，.uuxz和解解:( , ( ,( , ), )uf xxx zzuxyztxzxufxxfyx fytx ufzzfytz 代入中间变量，得到复合函数科学出版社为简便起见 , 引入记号2112,ffffuu v 1(,)fxyz xyz例例7. f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvz

8、yxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11f2fyz2(,)yz fxyz xyz则zxw2111f21112222()fy xz fxy z fy f12fxy2y f zy211f22fxy12,ff 设科学出版社二、一阶全微分形式不变性二、一阶全微分形式不变性设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性

9、质叫做一阶全微分形式不变性.科学出版社利用这个性质，容易证明，无论 u, v 是自变量还是中间变量，d()dduvuvd()dduvv uu v2ddduv uu vvv用链法则求复合函数偏导数时，和中间变量. 有了一阶全微分形式不变性，考虑这种区别，使计算变得方便。 可以不再首先要分清自变量都有下面的微分法则：科学出版社221()xyxy xy例例 8.的全微分和偏导数. 解解:22()uxydddzzzuvuv22222222() (ln()xyzx yxyyxyxxy22222222() (ln()xyzxyxyxxyyxyvxy1dln dvvvuuuu v222222() ()dxyx yxyxxy求22()xyzxy则vzu2222() ln()xyxyxy22222222() (ln()dyxyxyxyxxyxy所以(2 d2 d )x xy y( dd )y xx y22ln()yxy设科学出版社例例 9.都可微, 求d z.解解:ddddfffuxyzxyz.设( , , ),( , ),( , )uf x y zyx ttx zddffxzxzdddffffxxzxyxytzdfffxxyxytx ddfxtyxtddxzxzdffz