燕山大学材料考研资料第4章_X射线强度

1、第四章第四章 X射线的衍射强度射线的衍射强度4.1 4.1 一个电子对一个电子对X X射线的散射射线的散射4.2 4.2 一个原子对一个原子对X X射线的散射射线的散射4.3 4.3 一个晶胞对一个晶胞对X X射线的散射射线的散射4.4 4.4 一个小晶体对一个小晶体对X X射线的散射射线的散射4.5 4.5 粉末多晶体粉末多晶体HKLHKL晶面的衍射强度晶面的衍射强度一个典型的一个典型的X X射线谱射线谱照相法与衍射仪法所得图像对比照相法与衍射仪法所得图像对比上一章的上一章的X射线的衍射方向射线的衍射方向，即，即布拉格方程布拉格方程能反映衍射晶体的能反映衍射晶体的晶晶胞大小、形状和位向；胞大

2、小、形状和位向； 但是，但是，不能反映晶体中原子的不能反映晶体中原子的种类种类、坐坐标位置标位置和和完整程度完整程度。这些内容靠。这些内容靠X射线的衍射强度射线的衍射强度来研究。来研究。4.1 一个电子对一个电子对X射线的散射射线的散射 一束一束非偏振非偏振的的X射线沿射线沿Oy方向传播，在方向传播，在O点与电子点与电子碰撞发生散射，那么距离碰撞发生散射，那么距离O点上一点点上一点P点（点（OPR、OX与与OP夹夹2 角）的散射角）的散射强度为：强度为：22cos1244240RCmeIIp22cos12偏振因子偏振因子RPO2 y非偏振非偏振X射线的射线的Thomson散射公式散射公式 一束

3、一束X X射线经电子散射后，其散射强度在各射线经电子散射后，其散射强度在各个方向上是不同的：在沿原个方向上是不同的：在沿原X X射线射线r r入射方向上散入射方向上散射强度（射强度（2 2 0 0或或2 2 时）比垂直原入射方向时）比垂直原入射方向的强度（的强度（2 2 /2/2时）大一倍。时）大一倍。 若只考虑电子本身的散射本领，即单位立方若只考虑电子本身的散射本领，即单位立方体里对应的散射能量，体里对应的散射能量，OPOPR R1 1， 则有公式：则有公式：公式讨论：公式讨论：22cos124240CmeIIemCmere15221082. 2电子的经典半径：电子的经典半径：4.2 一个原

4、子对一个原子对X射线的散射射线的散射 原子：原子核原子：原子核+电子电子 原子核散射强度由于比电子散射小很多，可以忽略。原子核散射强度由于比电子散射小很多，可以忽略。 假设：对于一个有Z个电子的原子。 （1）若假设所以电子集中在一点，则各个电子散射波之间不存在位相差，那么一个原子的散射可看成Z个电子散射的简单叠加。 其中Ae为一个电子散射的振幅。eeaIZAZI22 但是，实际原子中电子分布着核外空间，不同但是，实际原子中电子分布着核外空间，不同位置电子散射存在位相差，由于位置电子散射存在位相差，由于X X射线波长与射线波长与原子尺度处于同一数量级，这个位相差不能忽原子尺度处于同一数量级，这个

5、位相差不能忽略。那么一个原子对略。那么一个原子对X X射线散射后该点的强度。射线散射后该点的强度。在某方向上原子的散射波振幅与一个电子散射波在某方向上原子的散射波振幅与一个电子散射波振幅的比值。振幅的比值。原子散射因数：原子散射因数：eaAAf eaaIfAI22散射强度：散射强度：1/sinnm30201000.51.01.5GeFeCuVAlC1、f 与与 和和有关，有关，是是sin / 的函数。的函数。f 与与sin / 的关系曲线，的关系曲线，称为称为f曲线。曲线。 各元素的原子散射因各元素的原子散射因数的数值可以由数的数值可以由X X射射线书中的附录查到。线书中的附录查到。讨论讨论1

6、/sinnm30201000.51.01.5GeFeCuVAlC2、f Z。角度越高。角度越高，f 越低。越低。当当 =0， sin / =1，f=Z。3、使用的、使用的X射线波射线波长越短，同一角度长越短，同一角度下，下，sin / 越高，越高，f值越小，散射强度值越小，散射强度越低。越低。1/sinnm30201000.51.01.5GeFeCuVAlC低角度低角度高角度高角度4、上面讨论的原子散射因数是在假定电子处于、上面讨论的原子散射因数是在假定电子处于无束缚、无阻尼的自有电子状态。实际电子受无束缚、无阻尼的自有电子状态。实际电子受核束缚，紧束缚电子与自由电子的散射能力不核束缚，紧束缚

7、电子与自由电子的散射能力不同。一般条件下，这个因素可以忽略，但同。一般条件下，这个因素可以忽略，但当入当入射波长接近某一吸收限，如射波长接近某一吸收限，如 k时时，f 值就会出现值就会出现明显的波动，称为反常散射效应。在这种情况明显的波动，称为反常散射效应。在这种情况下，要对下，要对f 值进行色散修正，数据在国际值进行色散修正，数据在国际X射线射线晶体学表中可以查到。晶体学表中可以查到。4.3 一个晶胞对一个晶胞对X射线的散射射线的散射 重点：结构因数重点：结构因数只由一类原子组成，每个晶胞有一个原子，这时一只由一类原子组成，每个晶胞有一个原子，这时一个晶胞的散射强度相当于一个原子的散射强度。

8、个晶胞的散射强度相当于一个原子的散射强度。简单点阵简单点阵（1）几个简单点阵的衍射方向完全相同。）几个简单点阵的衍射方向完全相同。（2）复杂点阵的衍射由各简单点阵相同方向的衍）复杂点阵的衍射由各简单点阵相同方向的衍射线相互干涉而决定。强度加强或减弱，一些方向射线相互干涉而决定。强度加强或减弱，一些方向的布拉格衍射线也可能消失。的布拉格衍射线也可能消失。复杂点阵复杂点阵 - 几类等同点构成的几类等同点构成的几个简单点阵的穿插几个简单点阵的穿插 设单胞中含有设单胞中含有n个原子，各原子占据个原子，各原子占据不同的不同的坐标位置坐标位置，它们的，它们的散射振幅散射振幅和和相位相位各不相同。单胞中所有

9、原子散射的合成振各不相同。单胞中所有原子散射的合成振幅不能进行简单叠加。引入一个称为幅不能进行简单叠加。引入一个称为结构结构因数因数 FHKL 2的参量来表征单胞的相干散射的参量来表征单胞的相干散射与单电子散射之间的对应关系。与单电子散射之间的对应关系。各类等同点原子的种类各类等同点原子的种类各类等同点原子的位置各类等同点原子的位置衍射强度衍射强度1、讨论对象及主要结论：、讨论对象及主要结论： FHKL 2 结构因数结构因数 （本章最重要的概念。）（本章最重要的概念。）eHKLIFI22、推导过程、推导过程3、结构因子、结构因子FHKL的讨论的讨论4.3.2 推导过程推导过程O为晶胞的一个顶点

10、，同时取为坐标原点，为晶胞的一个顶点，同时取为坐标原点，A为为晶胞中的任一原子晶胞中的任一原子j，矢量坐标为：，矢量坐标为：)(00SSrSrSrjjjjcZbYaXrOAjjjja, b, c为晶体基本平移矢量为晶体基本平移矢量A原子与原子与O原子间散射波的光程差为：原子间散射波的光程差为：单胞内两个原子的相干散射单胞内两个原子的相干散射022SSrjjj周相差为：周相差为：S S和和S S0 0是散射线与入射线的单位矢量。是散射线与入射线的单位矢量。根据衍射的矢量方程：根据衍射的矢量方程：HKLrSS*0*LcKbHarHKL)(2)()(22*jjjjjjHKLjjLZKYHXLcKbH

11、acZbYaXrrr*HKL为倒易矢量，为倒易矢量，于是，周相差：于是，周相差：022SSrjjj各原子的散射因子为：各原子的散射因子为：f1、f2 . fn；那么，散射振幅为：那么，散射振幅为：f1Ae、f2Ae . fnAe ；各原子散射波与入射波周相差为：各原子散射波与入射波周相差为：1、2 . n。这些原子散射振幅的合成就是晶胞的散射振幅。这些原子散射振幅的合成就是晶胞的散射振幅Ab。 （HKLHKL）是衍）是衍射指数射指数;XYZ;XYZ为为j j原子的阵点坐原子的阵点坐标。标。则晶胞内所有原子相关散射振幅的复合波振幅为：则晶胞内所有原子相关散射振幅的复合波振幅为：jnijnjein

12、iiebefAefefefAA121).(21njijHKLjefF1引入结构振幅引入结构振幅 ：这就是这就是晶胞的散射振幅晶胞的散射振幅。ebHKLAAF振幅一个电子的相干散射波干散射波振幅一个晶胞所有原子的相根据欧拉公式根据欧拉公式)(2sin)(2cosjjjjjjiHKLLzKyHxiLzKyHxfFsincosiei可得，可得，结合周相差：结合周相差：)(2jjjjLZKYHX21212)(2sin)(2cosnjjjjinjjjjiHKLLzKyHxfLzKyHxfF结构因数结构因数晶胞对晶胞对X射线的散射强度（用射线的散射强度（用FHKL2表达）与（表达）与（1）原子种）原子种类

13、类 f 和（和（2）原子位置）原子位置(XYZ)有关。（有关。（3）每）每一组干涉面一组干涉面（HKL）（或者每个倒易点），它们的结构因子不同，则）（或者每个倒易点），它们的结构因子不同，则其强度就不同。其强度就不同。 eHKLIFI2因为衍射强度正比于散射振幅的平方。故有，因为衍射强度正比于散射振幅的平方。故有，4.3.3 结构因数结构因数FHKL2的讨论的讨论（1）产生衍射的充分条件）产生衍射的充分条件 系统消光系统消光（2）结构消光）结构消光4.3.3.1-1 产生衍射的充分条件：产生衍射的充分条件： 满足满足布拉格方程布拉格方程且且FHKL0。由于由于FHKL0而使衍射线消失的现象称为

14、而使衍射线消失的现象称为系统消光。包括：系统消光。包括：点阵消光点阵消光结构消光结构消光4.3.3.1-2 系统消光系统消光 简单点阵：简单点阵： 每个晶胞只有一个原子，坐标位置（每个晶胞只有一个原子，坐标位置（000） FHKL 2f a2cos22 (0)+sin22 (0)=fa2所以，对于简单点阵，所以，对于简单点阵，FHKL不受不受HKL的影响，的影响，即即HKL为任意整数时，都能产生衍射。为任意整数时，都能产生衍射。1，点阵消光（，点阵消光（1） 底心点阵底心点阵: : 每个晶胞中有每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为个同类原子，其坐标分别为(000)和和( 0)。原子散射因子相

15、同，都为原子散射因子相同，都为f fa a。 FHKL2= f a2cos2 (H0+K0+L0)+cos2 (1/2H+1/2K+0L)2 + f a2sin2 (H0+K0+L0)+sin2 (1/2H+1/2K+0L)2 = f a21+cos (H+K)2 1) 当当HK偶数时，偶数时， FHKL24f a2 2) 当当HK奇数时，奇数时， FHKL2 0所以，在底心点阵的情况下，所以，在底心点阵的情况下， FHKL2 不受不受L的影响，的影响，只只有当有当H、K全为奇数全为奇数或或全为偶数时才能产生全为偶数时才能产生衍射。衍射。点阵消光（点阵消光（2） 体心立方体心立方: :每个晶胞

16、中有每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为个同类原子，其坐标分别为(000)和和( )。原子散射因子相同，都为原子散射因子相同，都为f fa a。 FHKL2= f a2cos2 (H0+K0+L0)+cos2 (1/2H+1/2K+1/2L)2 + f a2sin2 (H0+K0+L0)+sin2 (1/2H+1/2K+1/2L)2 f a21+cos (H+KL)2 1)当当HKL偶数时，偶数时， FHKL2 4f a2 2) 当当HKL奇数时，奇数时， FHKL 2 0所以，对于体心立方点阵的情况，所以，对于体心立方点阵的情况， 只有当只有当HKL为偶数时才能产生为偶数时才能产生衍射。衍

17、射。点阵消光（点阵消光（3） 面心立方面心立方: :每个晶胞中有每个晶胞中有4个同类原子，其坐标分别为个同类原子，其坐标分别为(000)，(0 )， ( 0 )， ( 0)。 原子散射因子相同，都为原子散射因子相同，都为f fa a。 FHKL 2 =+ f a21+cos (H+K)+cos (H+L)+ (K+L)2 1) 当当H、K、L全奇数或偶数时，全奇数或偶数时， FHKL 2 16f a2 2) 当当H、K、L奇、偶混杂时，奇、偶混杂时， FHKL 2 0 所以，在面心立方点阵的情况下，所以，在面心立方点阵的情况下， 只有当只有当H、K、L全为奇数或全为偶数时才能产生衍射。全为奇数

18、或全为偶数时才能产生衍射。点阵消光（点阵消光（4）面心立方典型的衍射谱面心立方典型的衍射谱产生衍射的晶面：产生衍射的晶面：111；200；220；311；222；400；331；420； (111)(200)(220)(311) 2 四种基本点阵的消光规律四种基本点阵的消光规律布拉菲点布拉菲点阵阵出现的反射出现的反射消失的反射消失的反射简单点阵简单点阵全部全部无无底心点阵底心点阵H、K全为奇数或全为偶数全为奇数或全为偶数H、K奇偶混奇偶混杂杂体心点阵体心点阵H+K+L为偶数为偶数H+K+L为奇为奇数数面心点阵面心点阵H、K、L全为奇数或全为偶全为奇数或全为偶数数H、K、L奇奇偶混杂偶混杂衍射线

19、的干涉指数衍射线的干涉指数干涉指数与点阵类型干涉指数与点阵类型(HKL)100110111200210211220221300310311222H2+K2+L21 2 3 4 5 6 8 9101112简单立简单立方方 体心立体心立方方 面心立面心立方方 222LKHad22222LKHad.:1:1:1.:232323222222212121232221LKHLKHLKHdddsin2d222sin4d.: )( : )( : )(.:sin:sin:sin232323322222212121322212LKHLKHLKHBragg Law:根据各种点阵类型的消光规律根据各种点阵类型的消光规

20、律222LKH简单立方简单立方：1：2：3：4：5：6：8：9：10：体心立方体心立方：1：2：3：4：5：6：7：8：9：面心立方面心立方：1：1.33：2.66：3.67：4：5.33：立方晶系：立方晶系：30405060708090 Intensity2degrees(111)(200)(311)(222)(400)(331)(420)(422)(220).:33. 5:4:67. 3:56. 2:33. 1:1.:sin:sin:sin322212面心立方面心立方点阵消光（点阵消光（5）晶胞中包含不同类型的原子：晶胞中包含不同类型的原子：（即散射因子（即散射因子f有可能不再是一个恒定值

21、）有可能不再是一个恒定值） AuCu3有序有序-无序两种结构无序两种结构（395 C） 1、完全无序情况完全无序情况: 每个晶胞中有每个晶胞中有4(0.25Au+0.75Cu)个个同类原子，即每个位置上发现同类原子，即每个位置上发现Au和和Cu的几率是的几率是0.25与与0.75。这个平均原子的原子散射因数是：。这个平均原子的原子散射因数是： f平均平均 = 0.25f Au + 0.75f Cu其坐标分别为其坐标分别为(000)，(0 )， ( 0 )， ( 0)。 1) 当当H、K、L全奇数或偶数时，全奇数或偶数时， FHKL 2 16f a2 2) 当当H、K、L奇、偶混杂时，奇、偶混杂

22、时， FHKL2 0消光规律与同类原子的面心立方完全相同。消光规律与同类原子的面心立方完全相同。 2、完全有序情况、完全有序情况: Au原子占据原子占据(000)位置，而位置，而Cu原子占据原子占据(0 )， ( 0 )， ( 0)。 1) 当当H、K、L全奇或全偶时，全奇或全偶时， FHKL2 (fAu3 fCu)2 2) 当当H、K、L奇、偶混杂时，奇、偶混杂时， FHKL 2 (fAu3 fCu)2 因此，有序化面心立方因此，有序化面心立方Au-Cu合金，对于所有的合金，对于所有的HKL都能产生衍射线，出现超点阵线条。都能产生衍射线，出现超点阵线条。2040608010012014002

23、0406080(420)(331)(400)(222)(311)(220)(200) Intensity (counts)2degrees(111)20406080100120140020406080(100)(110)(321)(210)(320)(211)(300)(310)(421)(411)(410) AuCu3 无序无序-有序转变有序转变总结总结 消光规律与晶体点阵消光规律与晶体点阵l结构因子中不包含点阵常数。结构因子中不包含点阵常数。因此，结构因因此，结构因子只与原子品种和晶胞的位置有关，而不受子只与原子品种和晶胞的位置有关，而不受晶胞形状和大小的影响。晶胞形状和大小的影响。 例如

24、：只要是体心晶胞，则体心立方、正方例如：只要是体心晶胞，则体心立方、正方体心、斜方体心，系统消光规律是相同的。体心、斜方体心，系统消光规律是相同的。4.3.3.3 结构因子与倒易点阵结构因子与倒易点阵倒易点阵的物理意义：倒易点阵的物理意义：每个倒易阵点代表一每个倒易阵点代表一组干涉面，它们的结构因子不同，则其组干涉面，它们的结构因子不同，则其强度强度就就不同。不同。 倒易阵点倒易阵点 VS. 衍射强度衍射强度因此，结构因子是倒易空间的衍射强度分布函数。因此，结构因子是倒易空间的衍射强度分布函数。思考题（思考题（1） 有（有（100）衍射线条，一定有（）衍射线条，一定有（200）衍）衍射线条吗？

25、射线条吗？答：不一定。对于没有消光的体系有答：不一定。对于没有消光的体系有（100100）衍射线条，一定有（）衍射线条，一定有（200200）。但是，）。但是，对于一些体系，如体心和面心立方，由于对于一些体系，如体心和面心立方，由于消光的因素，二者不同时出现。这也从另消光的因素，二者不同时出现。这也从另一个角度说明，（一个角度说明，（100100）不一定与（）不一定与（200200）相关。相关。4.3.3.2 结构消光结构消光由两种以上等同点构成的点阵结构来说，一方由两种以上等同点构成的点阵结构来说，一方面要遵循点阵消光规律，另一方面，因为有附面要遵循点阵消光规律，另一方面，因为有附加原子的存

26、在，还有附加的消光，称为加原子的存在，还有附加的消光，称为结构消结构消光光 金刚石结构金刚石结构: :每个晶胞中有每个晶胞中有8个同类原子，其坐标分别为个同类原子，其坐标分别为(000), (0 ), ( 0 ), ( 0),( ) ( ), ( ), ( ) F2HKL2f2a 1+cos /2(H+K+L) 1) 当当H、K、L奇、偶混杂时，由于奇、偶混杂时，由于F2F0， F2HKL0 2) 当当H、K、L全为奇数时，全为奇数时， F2HKL2 F2F 32f a2 3) 当当H、K、L全为偶数，且全为偶数，且HKL4n时，时， F2HKL2 F2F (1+1)64f a2 4) 当当H

27、、K、L全为偶数，而全为偶数，而HKL 4n时，时， HKL2(2n+1)，F2HKL2 F2F (1-1)0 所以，由于金刚石型结构的晶胞中有八个原子，所以，由于金刚石型结构的晶胞中有八个原子， 比一般的面心立方结构多出四个原子，因此，需要引比一般的面心立方结构多出四个原子，因此，需要引入附加的系统消光条件入附加的系统消光条件(2)、(3)、(4)。结构消光（结构消光（1）30405060708090100 110 12005000100001500020000250003000035000CPS2金刚石结构衍射谱（金刚石结构衍射谱（Si）产生衍射的晶面：产生衍射的晶面：111；220；31

28、1；400；331；422；333(511)；440；531； 密排六方结构密排六方结构: :每个晶胞中有每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为个同类原子，其坐标分别为(000)和和( )。 F2HKL4f a21+cos2 (H+ KL) 1) 当当H2K3n，L2n1， F2HKL0 2) 当当H2K3n，L2n， F2HKL4 fa2 3) 当当H2K3n 1，L2n1， F2HKL2 fa2 4) 当当H2K3n 1，L2n， F2HKL2fa2 密堆六方结构的单位平行六面体晶胞中的两个原子，分密堆六方结构的单位平行六面体晶胞中的两个原子，分别属于两类等同点。所以，它属于简单六方结构，

29、没别属于两类等同点。所以，它属于简单六方结构，没有点阵消光。只有结构消光。不能出现（有点阵消光。只有结构消光。不能出现（(h+2k)/3(h+2k)/3为为整数且整数且l l为奇数的晶面衍射。为奇数的晶面衍射。结构消光（结构消光（2）40608010012002000400060008000100001200014000CPS2六方结构衍射谱六方结构衍射谱4.4 一个小晶体对一个小晶体对X射线的衍射射线的衍射 材料晶体结构不可能是尺寸无限大的理材料晶体结构不可能是尺寸无限大的理想完整晶体。实际上是一种嵌镶结构。想完整晶体。实际上是一种嵌镶结构。 镶嵌结构模型认为，晶体是由许多小镶嵌结构模型认为

30、，晶体是由许多小的嵌镶块组成的，每个块大约的嵌镶块组成的，每个块大约10-5cm，它们之间的取向角差一般在数秒或数分它们之间的取向角差一般在数秒或数分范围内。每个块内晶体是完整的，块间范围内。每个块内晶体是完整的，块间界造成晶体点阵的不连续性。界造成晶体点阵的不连续性。4.4.1 镶嵌结构模型镶嵌结构模型 X射线的相干作用只射线的相干作用只能在嵌镶块内进行，嵌能在嵌镶块内进行，嵌镶块之间没有严格的相镶块之间没有严格的相位关系，不可能发生干位关系，不可能发生干涉作用。涉作用。 整个晶体的反射强度整个晶体的反射强度是各个亚晶块的衍射强是各个亚晶块的衍射强度的机械叠加。度的机械叠加。 小晶体（晶粒）

31、小晶体（晶粒） 亚晶块亚晶块 N个晶胞个晶胞4.4.2 晶粒尺寸对衍射峰的影响晶粒尺寸对衍射峰的影响 具有亚晶结构的实际晶体具有亚晶结构的实际晶体的衍射强度，除了在布拉的衍射强度，除了在布拉格角位置出现衍射峰值外，格角位置出现衍射峰值外，在偏离布拉格叫一个小范在偏离布拉格叫一个小范围内也有一定的衍射强度。围内也有一定的衍射强度。实际（左图）与理想（右图）晶实际（左图）与理想（右图）晶体的衍射强度曲线体的衍射强度曲线2 1 12 2 22 BI最大最大2 1、亚晶块尺寸小。、亚晶块尺寸小。2、入射线并非严格单色、入射线并非严格单色（在小范围内波动）。（在小范围内波动）。3、入射线并非严格平行、入

32、射线并非严格平行（有一定的发散度）。（有一定的发散度）。晶体由（晶体由（m+1）个点阵面构成，面）个点阵面构成，面间距为间距为d。垂直与晶面方面上的厚度。垂直与晶面方面上的厚度为为L=md。（1）如果严格遵循）如果严格遵循Bragg方程，则方程，则各个晶面在各个晶面在Bragg反射方向上形成一反射方向上形成一条最强的衍射线。条最强的衍射线。（2）如果有一微小的偏差）如果有一微小的偏差，出现，出现附加相位差，反射晶面并不是无穷附加相位差，反射晶面并不是无穷多个，这些方向上的衍射线不能完多个，这些方向上的衍射线不能完全相消。全相消。（3）衍射强度为零的）衍射强度为零的2 1和和2 2，是当是当偏离

33、到偏离到 1和和 2入射时，第一层与入射时，第一层与最底层的光程差恰好等于（最底层的光程差恰好等于（N31） 。于是第一层于中间的相差于是第一层于中间的相差 /2。最终上半部分与下半部分的衍射线最终上半部分与下半部分的衍射线相互抵消。相互抵消。L=N3dN3半高宽 B= /t cos 在强度的一半高度在强度的一半高度对应一个强度峰的对应一个强度峰的半高宽半高宽B，它与晶，它与晶粒大小的关系是：粒大小的关系是： B = /t cos (t=md, m晶面晶面数，数，d晶面间晶面间距距)实际（左图）与理想（右图）晶实际（左图）与理想（右图）晶体的衍射强度曲线体的衍射强度曲线2 1 12 2 22

34、BI最大最大2 谢乐公式谢乐公式图中的图中的，即，即峰的半高宽度峰的半高宽度表示峰的宽度，可近似地认为表示峰的宽度，可近似地认为21212221按按1、2角入射所产生的累加波程差方程是角入射所产生的累加波程差方程是 1sin231 NL1sin232 NL两式相减即得两式相减即得21sinsinL2sin2cos22121L即即考虑到考虑到1及及2偏离偏离值很少，可认为值很少，可认为22122sin2121再将式关系及再将式关系及L=N3C代入，则得代入，则得coscos3LCN 这样，式（这样，式（3-10）可写成）可写成 cos2221L式（式（3-11）说明衍射线宽度与晶块在反射晶面法线

35、方）说明衍射线宽度与晶块在反射晶面法线方向上的尺度成反比。这就是有名的向上的尺度成反比。这就是有名的谢乐公式。谢乐公式。根据衍射峰的宽度利用它可测定晶块大小。根据衍射峰的宽度利用它可测定晶块大小。 4.4.3 亚晶块尺寸对积分强度的影响亚晶块尺寸对积分强度的影响 1， 忽略晶体对忽略晶体对X射线的吸收，即上层亚晶射线的吸收，即上层亚晶块不影响入射到下层亚晶块上的入射束强度。块不影响入射到下层亚晶块上的入射束强度。 2，由于取向差，各个亚晶块间的衍射线没，由于取向差，各个亚晶块间的衍射线没有固定的周相关系，各自独立地贡献强度。有固定的周相关系，各自独立地贡献强度。 3，入射束发散度固定到某一程度

36、。，入射束发散度固定到某一程度。假设：假设：已知一个晶胞的衍射强度（已知一个晶胞的衍射强度（HKL晶面）为：晶面）为： 若亚晶块的体积为若亚晶块的体积为VC，晶胞体积为晶胞体积为V胞胞，则：，则： 如果晶体和入射线束均为如果晶体和入射线束均为理想情况理想情况，这，这N个个晶胞的亚晶块中（晶胞的亚晶块中（HKL）晶面衍射的叠加）晶面衍射的叠加强度为：强度为：eHKLHKLIFI2胞VVNc22HKLceFVVI胞小晶粒的衍射强度小晶粒的衍射强度 在布拉格角附近记录到的是取向适合的晶粒在布拉格角附近记录到的是取向适合的晶粒内，各个亚晶块的（内，各个亚晶块的（HKL)晶面产生衍射的晶面产生衍射的总能

37、量，即积分强度，等于衍射峰的面积。总能量，即积分强度，等于衍射峰的面积。在稍微偏离布拉格角时在稍微偏离布拉格角时,衍射强度峰并不是衍射强度峰并不是在对应于布拉格角的位置出现的一根直线，在对应于布拉格角的位置出现的一根直线，而是在而是在角附近角附近范围内出现强度。范围内出现强度。考虑到实际晶体结构与之的差别，乘以一考虑到实际晶体结构与之的差别，乘以一个因子：个因子：2sin13cV2232sinHKLeFVVII胞晶粒当整个晶粒均浸没在入射束中并进入衍射位当整个晶粒均浸没在入射束中并进入衍射位置时，晶粒内部有微小取向差的亚晶块均可置时，晶粒内部有微小取向差的亚晶块均可独立地产生上述衍射强度。当把

38、整个晶粒作独立地产生上述衍射强度。当把整个晶粒作为一个小晶体来考虑它的积分强度时，应把为一个小晶体来考虑它的积分强度时，应把亚晶块的体积亚晶块的体积Vc换成晶粒的体积换成晶粒的体积 V： 一个小晶体可以看成由晶胞在三维空间周期重复排列一个小晶体可以看成由晶胞在三维空间周期重复排列而成。因此，在求出一个晶胞的散射波之后，按位相而成。因此，在求出一个晶胞的散射波之后，按位相对所有晶胞的散射波进行叠加，就得到整个晶体的散对所有晶胞的散射波进行叠加，就得到整个晶体的散射波的合成波，即得到衍射线束。射波的合成波，即得到衍射线束。 按前面方法求得合成振幅：按前面方法求得合成振幅：FGAeeeFAeFAAe

39、NppiNnniNmmiemnpieMmnp102102102321102102102321NppiNnniNmmieeeG4.4.4 干涉函数（形状因子）干涉函数（形状因子）【N N1 1, N, N2 2, N, N3 3 为为 a, b, c a, b, c 方向上的晶胞数。方向上的晶胞数。】22GFIIHKLeM它表示的它表示的选择反射区选择反射区任意任意一点一点的强度值，称为小的强度值，称为小晶体的晶体的衍射强度衍射强度。 散射强度与振幅的平方成正比，故散射强度与振幅的平方成正比，故称干涉函数或形状因子称干涉函数或形状因子2G321102102102321GGGeeeGNppiNnn

40、iNmmi* * *如果说结构因子的提出是因为一个晶胞中包含了不同类型如果说结构因子的提出是因为一个晶胞中包含了不同类型、不同数量（且不同位置坐标）的原子的话，那么干涉函数、不同数量（且不同位置坐标）的原子的话，那么干涉函数（形状因子）的提出是因为小晶体中包含了多个晶胞。（形状因子）的提出是因为小晶体中包含了多个晶胞。 * * *2G反射球反射球OO*QNH K LPS0 / 900da aS0 / 22GFIIHKLeM 选择反射区选择反射区晶体很大时，倒易空间的衍射区（选择反射区）为晶体很大时，倒易空间的衍射区（选择反射区）为一个点，即倒易点；一个点，即倒易点； 晶体为晶体为二维片状二维片

41、状(晶体极薄晶体极薄)时，倒易空间为杆状；时，倒易空间为杆状； 晶体晶体为一维针状时，倒易空间为片状；为一维针状时，倒易空间为片状；晶体晶体为点为点(晶体极小晶体极小)时，倒易空间时，倒易空间(衍射区域衍射区域)为球。为球。重要结论重要结论*干涉函数决定了衍射峰的形状！干涉函数决定了衍射峰的形状！干涉函数的图象为参与衍射的晶胞数干涉函数的图象为参与衍射的晶胞数N1越多，越多，G2 越大，峰也越尖锐。越大，峰也越尖锐。干涉函数的讨论干涉函数的讨论addd22GFIIIHKLeM一个小晶体衍射的积分强度一个小晶体衍射的积分强度 add22GFIIHKLe积2232sinHKLeFVVII胞晶粒4.

42、5 4.5 粉末多晶体的衍射强度粉末多晶体的衍射强度 理论证明，对粉末样品中晶体某理论证明，对粉末样品中晶体某hklhkl反射的累计强度表反射的累计强度表达式为：达式为： 式中：式中：I0为入射为入射X射线强度；射线强度； 为波长；为波长；R为德拜为德拜(P.J. Debye)相机或衍射仪测角仪半径；相机或衍射仪测角仪半径；e、m为电为电子的电荷及质量；子的电荷及质量；c 为光速；为光速； V为样品被照射的体为样品被照射的体积；积；V0为晶胞体积；为晶胞体积； Phkl为为hkl反射面的多重性因反射面的多重性因子；子； FHKL2为为HKL衍射结构因子；衍射结构因子； ( ) 角因子；角因子；

43、A( )为吸收因子；为吸收因子；e-2M为温度因子。为温度因子。MHKLeAFPVVmceRII22HKL2022230HKL)()(32mc VV0入入射射射射线线强强度度入入射射射射线线波波长长样样品品到到衍衍射射仪仪距距离离电电子子电电荷荷电电子子质质量量光光速速X射射线线照照射射的的样样品品体体积积单单位位晶晶胞胞体体积积结结构构振振幅幅度度多多重重性性因因数数角因角因子子（由（由偏振偏振因子因子与洛与洛伦兹伦兹因子因子构成构成）温温度度因因数数吸吸收收因因数数0IReHKLF2HKLP)(Me2)(AMHKLeAFPVVmceRII22HKL2022230HKL)()(32 实验条件

44、一定时，所获得的同一衍射花实验条件一定时，所获得的同一衍射花样中样中 、R、e、m、c 、V、V0均为常数，因此衍射均为常数，因此衍射线的相对强度表达式可改写为：线的相对强度表达式可改写为： 下面仅就强度公式中各项因数的物理意义下面仅就强度公式中各项因数的物理意义及计算方法作简要介绍。及计算方法作简要介绍。MHKLeAFPI22HKLHKL)()( 4.5.1结构因子结构因子FHKL2 结构因子它表示某晶胞内原子散射波的结构因子它表示某晶胞内原子散射波的振幅相当于一个原子散射波振幅的若干倍。振幅相当于一个原子散射波振幅的若干倍。 计算结构因子，要知道（计算结构因子，要知道（1）原子的种类）原子

45、的种类（用以求出原子结构因子），（用以求出原子结构因子），（2）晶胞中各）晶胞中各原子的数目（原子的数目（3）晶胞中各原子的坐标。）晶胞中各原子的坐标。 4.5.2多重性因子多重性因子PHKL 晶体中面间距相等的晶面称为晶体中面间距相等的晶面称为等同晶面等同晶面。根据布根据布拉格方程这些晶面的衍射角拉格方程这些晶面的衍射角2 2 都相同，因此，等都相同，因此，等同晶面族的反射强度都重叠在一个衍射位置上。这同晶面族的反射强度都重叠在一个衍射位置上。这一影响在强度公式中以等一影响在强度公式中以等多重性因数多重性因数的形式出现。的形式出现。 多重性因子多重性因子Phkl，表示晶体中与某种晶面等同晶表

46、示晶体中与某种晶面等同晶面的数目。此值愈大，这种晶面获得衍射的几率就面的数目。此值愈大，这种晶面获得衍射的几率就愈大，对应的衍射线就愈强。愈大，对应的衍射线就愈强。 多重性因数多重性因数Phkl的数值随晶系及晶面指数而变化。的数值随晶系及晶面指数而变化。立方晶系：可以简单变更立方晶系：可以简单变更H,K,L的顺序并分别改变的顺序并分别改变各个指数正负号，得到可能的排列数目。各个指数正负号，得到可能的排列数目。HH0 12个个)0(),0(),0(),0(),0(),0()0(),0(),0(),0(),0(),0(HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH00, 6个个)00(),00

47、(),00(),00(),00(),00(HHHHHH各晶面族的多重因子列表各晶面族的多重因子列表 晶系晶系指数指数H000K000LHHHHH0HK00KLH0LHHLHKLP 立方立方6812242448菱方、六方菱方、六方6261224 正方正方4248816 斜方斜方248 单斜单斜2424 三斜三斜2224.5.3 参与衍射的晶粒数目参与衍射的晶粒数目2232sinHKLeFVVII胞晶粒多晶体衍射强度正比于参与衍射多晶体衍射强度正比于参与衍射的晶粒数目。不同掠射角的晶粒数目。不同掠射角 ，参与衍，参与衍射的晶粒数目不同。射的晶粒数目不同。 实际上参与衍射的是近于实际上参与衍射的是近于 角附近角附近很微小的角度范围很微小的角度范围。形成一个环。形成一个环。由于是粉末衍射，晶粒取向无序。由于是粉末衍射，晶粒取向无序，所以晶粒的晶面法线均匀分布于，所以晶粒的晶面法线均匀分布于整个参考球面。整个参考球面。参与衍射晶粒数目与总晶粒数目参与衍射晶粒数目与总晶粒数目之比环面积与球面之比：之比环面积与球面之比：S0O(hkl)900一个晶粒的衍射强度：一个晶粒的衍射强度：2cosNN设被设被X射线照射并浸没其中的式样体积为射线照射并浸没其中的式