北京理工大学自动化考研自动控制原理辅导班笔记

1、本文由sail2011贡献pdf文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT,或下载源文件到本机查看。2011年考研精品资料清风扬帆收集整理自动控制原理考研辅导班笔记钟海秋教授一,自动控制理论的分析方法:(1时域分析法;(2频率法;(3根轨迹法;(4状态空间方法;(5离散系统分析方法;(6非线性分析方法二,系统的数学模型(1解析表达:微分方程;差分方程;传递函数;脉冲传递函数;频率特性;脉冲响应函数;阶跃响应函数(2图形表达:动态方框图(结构图;信号流图;零极点分布;频率响应曲线;单位阶跃响应曲线时域响应分析一,对系统的三点要求:(1必须稳定,且有相位裕量和增益裕量Kg(2动态品质指标

2、好.tp,ts,tr,%(3稳态误差小,精度高二,结构图简化梅逊公式例1,解:方法一:利用结构图分析:2011年考研精品资料清风扬帆收集整理E(s=R(sX1(s+Y(s=R(sY(sX1(sn方法二:利用梅逊公式PKKG(s=k=1QjkNMj,k=1其中特征式=1Li+i=1LLd,e,f=1LdLeLf+式中:Li为所有单独回路增益之和LLij为所有两个互不接触的单独回路增益乘积之和LdLeLf为所有三个互不接触的单独回路增益乘积之和其中,Pk为第K条前向通路之总增益;k为从中剔除与第K条前向通路有接触的项;n为从输入节点到输出节点的前向通路数目对应此例,则有:通路:P1=G1G2,1=

3、1特征式:=1(G1G2G1G 3=1+G1G2+G1G3则:P11Y(s=R(s1+G1G2+G1G3例2:2002年备考题2011年考研精品资料清风扬帆收集整理G5G1G4G2G3G2H1H2解:方法一:结构图化简G5G6G1G2+G4G31+G3G2H1H2继续化简:1+G3G2H1(G1G2+G4G3G5G6G3(G1G2+G41+G3G2H1H2于是有:1+G3G2H1G6+(G1G2+G4G3G5(G1G2+G4G31+G3G2H1+(G1G2+G4G3H2结果为G(s其中G(s=2011年考研精品资料方法二:用梅逊公式清风扬帆收集整理=1G3G2H1G1G2G3H2G4G3H2+

4、0通路:P1=G5G6G1G2G3,1=1P2=G5,2=1+G3G2H1P3=G5G6G4G3,3=1Y(sP11+P22+P33=R(s于是:三,稳态误差G1HG2(1参考输入引起的误差传递函数:E(s1;=R(s1+G1G2H扰动引起的误差传递函数:G2HE(s=N(s1+G1G2H(2求参考输入引起的稳态误差essr时.可以用Kp,Kv,Ka叠加,也可以用终值定理:limsEr(ss0(3求扰动引起的稳态误差essn时,必须用终值定理:limsEN(ss0(4对阶跃输入:Kp=limG0(s,s0如r(t=a1(t,则R(s=aa,essr=s1+Kp2011年考研精品资料清风扬帆收集

5、整理(5对斜坡输入:Kv=limsG0(s,s0如r(t=bt,则R(s=bb,essr=2Kvs(6对抛物线输入:Kp=lims2G0(s,s0如r(t=1ccct2,则R(s=3,essr=2Kas例3:求:Y(sY(s,令N(s=0,求,令R(s=0R(sN(s解:结构图化简:H3G1H1G3G1+G22HG23继续化简,有:G2G31+G2H2+G2G3H3H1+G3G3当N(s=0时,求得Y(s=.;当R(s=0时,有R(s2011年考研精品资料清风扬帆收集整理求得Y(s=N(s例4:令N(s=0,求Y(sY(s,令R(s=0,求R(sN(s为了完全抵消干扰对输出的影响,则Gx(S=

6、?解:求Y(s,用用梅逊公式:R(sP1=1,1=1+KG1G2P2=G1Gx,2=1=1KG1G2KG1=1+KG1G2+KG1则:Y(s1+KG1G2+G1GxY(s,同理求得=R(s1+KG1G2+KG1R(s若完全抵消干扰对输出的影响,则干扰引起的输出应该为零.1+KG1G2Y(s1+KG1G2+G1GxY(s=0,故=0,所以Gx=R(s1+KG1G2+KG1G1N (s即例5:2002年题4其中输入.G1(s=s+1K,G2(s=n2,r(t和n(t分别是参考输入和扰动s(s+2s( s+4n1(1求误差传递函数Gre(s=E(sE(s和Gne(s=;R(sN(s2011年考研精品

7、资料清风扬帆收集整理(2是否存在n10和n20,使得误差为零?(3设r(t和n(t皆为阶跃输入,若误差为零,求此时的n1和n2解:G2Gre(s=G2E(sE(s1=,Gne(s=,N(s为负R(s1+G1G2N(s1+G1G2r(t=t,要求essr=0.则系统应为型系统,那么n1+n2=2.r(t=1(t,n(t=1(t,要求ess=0,则n1+n2=1因为如E(sK(s+4,则=N(ss(s+4(s+2+K(s+1E(sE (s1N(s=lims=4s0N(sN(ssessn=limsE(s=limss0s0而事实上:E(sKs(s+4=N(ss(s+4(s+2+K(s+1E(sE(s1

8、N(s=lims=0s0N(sN(ssessn=limsE(s=limss0s0可见积分环节在G1(s部分中,而不在G2(s中.故n1=1,n2=0.就可以实现要求2011年考研精品资料清风扬帆收集整理例6:如图,当r(t=sin(t+15°2cos(3t20°时,求稳态输出解:应用频率法:5,则j+75s+(j=2(j1=551553=tan1,(j3=tan1j+77j3+775058y(t|t=51103sint+15°tan1cos3t20°tan1775058四,动态指标(1二阶系统传递函数的标准形:2nY(s=22R(ss+2n+n(2cos

9、=,越大,越小(3tr=n12,tp=n12,ts=34(=5%或2%n例7:如图,要求tp=0.1s,%=30%,试确定参数K,T.Ks(Ts+12011年考研精品资料清风扬帆收集整理2解:nY(sKK/T=2=2=2,R(sTs+s+Ks+s/T+K/Ts+2ns+n2K1,2n=.由tp=0.1,TTn12=0.3,可得=?,T=?则n=2%=exp12例8:求:选择K1,Kt,使得%20%,ts=1.8秒(=±2%求Kp,Kv,Ka,并求出r(t=1(t+t时的稳态误差1s2K1Kts2n2=K1nK1Y(s解:=R(ss2+K1Kts+K1s2+2ns+n22n=K1Kt由

10、%20%,则exp1220%,求得由ts=4=1.8,求得n.,从而得K1,Kt.n由传递函数:G0(s=K1得,s(s+K1Kt1,Ka=lims2G0(s=0s0KtKp=limG0(s=,Kv=limsG0(s=s0s02011年考研精品资料当r(t=1(t+t时,ess=清风扬帆收集整理11+=0+Kt=Kt1+KpKv频率法一,基本概念:G(sG(ss=j=G(j,输入是正弦信号,稳态输出.如:r(t=R1s in1t,G(j1G(j1R1sin1t+1+G(j11+G(j1则y(t=二,惯性环节KK,G(j=,Ts+11+T22+jwu0+G(j=tan1(T,0°90&

11、#176;K1K,G(j=,s(Ts+11+T22+G(j=90°tan1(T,则:+,00+(:90°180°,A(:0注意:1=2=32011年考研精品资料清风扬帆收集整理因为1(=2(=3(=G(j=90°tan1(T +K,(如图3则(T1s+1(T2s+1K1+(T11+(T2220+A(=tan1T1tan1T2+K,(如图4s(T1s+1(T2s+10+A(=K1+(T11+(T22290°tan1T1tan1T2求w1.因(1=180°,故90°tan1T1tan1T2=180°tan1T1+tan

12、1T2=90°两边取正切:T1+T21=1T1T2T1T2K(s+1,其中T1>>T2,(如图5s(T1s+1(T2s+1+0+2011年考研精品资料增益裕量:Kg=清风扬帆收集整理1,相位裕量:=180°+(c,如图6A(1注意:用G(jc=1求K;用tan1G(j1=180°求w1.例1:K(s+1,T1>T2,K=10,作出波德图s(T1s+1(T2s+1例2:2002年题1求:(1写出开环传递函数G0(s(2计算系统的相位裕量和增益裕量(3做出G0(s的Nyquist曲线,并分析闭环系统的稳定性2011年考研精品资料解:G0(s=清风扬帆

13、收集整理K(2s+1s2(0.1s+1可见图中c=2,因为幅频特性曲线在w1=0.5和w2=10时发生转折,显然w=2时,曲线只在w1=0.5发生转折,而未到w2=10.故w2=10不发生作用,所以K(2×22s+1=1K=1,故G°(s=222s(0.1s+1相位裕量:=180°+(c=tan14tan12=因为tan1g=:则Z=0,N=0,P=0.符合Z=P+N,故稳定三,Nyquist判据Z为闭环右半平面根数,P为开环G0(s右半平面根数,N为G0(s包围-1圈数,顺时针为正,逆时针为负.当符合Z=P+N是系统稳定.其中Z=0例3:G0(s=K(s+1,&

14、lt;Ts2(Ts+1解:奈氏曲线如下图.N=2,P=0,Z=N+P=20,故不稳定.2011年考研精品资料清风扬帆收集整理例4:G0(s=K,如图:N=2,P=0,Z=N+P=20,故不稳定.s(Ts+12例5:1+G0(s=s4+2s3+5s2+6s+10=0,判断系统是否稳定.分析:判断稳定性,用劳斯判据:如:1+G0(s=Ts3+s2+K=0.显然缺s项,故不稳定.劳斯阵列第一列全为正,则系统稳定.如果有一个负数,则变号2次,即系统有2个有根,不稳定.系统如果与虚轴有交点,则劳斯阵有一行全为0 ,此行的上一行为辅助多项式,由辅助多项式可求出与虚轴的交点坐标.如相邻系数必须为正,不能缺项

15、s3+3s2+2s+6=0,劳斯阵为:s3:120s2:360s1:000s0:62011年考研精品资料清风扬帆收集整理3s2+6=0s1,2=±2j,则与虚轴的交点为±2j.解:劳斯阵:s4s3s2121526226210210=25611020220202100=10,可见系统不稳定,有两个右根.s1s0=4=0例6:1+G(s=s4+2s3+5s2+10s+20=0,解:劳斯阵:s4s3s2s1s0152021000(20,因为此处0不能往下计算,换成.2102040=102040<0,故系统不稳定.当0且,100时,例7:2002年备考题单位反馈系统,开环传递

16、函数G0(s=10000,s(s+1002要求:画出对数幅频特性,求c,判断系统稳定性.加入矫正装置,使c扩大一倍,求矫正后系统传递函数和相位裕量.2011年考研精品资料清风扬帆收集整理解:开环传递函数应由所给的零极点形式化成时间常数形式:100,由作图可得c=10,由劳斯判据可知,s(0.01s+120.001s3+s2+100=0,缺项,则系统不稳定.0.01×10=190°,1也可由G(jc=180°tan1=180°+G(jc=10°,判定系统不稳定.也可由零极点判断画图,不稳定.100(s1+11s+1,即G0(s =21s(0.01

17、s+120加入矫正装置是G0(sc=20=180°+tan11tan10.01×20=160°(w1可由图中按比例读出,则=180°+Gjc=20°.例8:2001年备考题1+Khs4s(s+1求:系统阻尼比=0.5时,Kh=?Kh=0时,求%,tp,ts(=±2%4(1+KhnY(s,则=2=2R(ss+s+4(1+Khs+2ns+n22解:2011年考研精品资料清风扬帆收集整理n=4+4Kh311=Kh=4224+4Kh=2Y(s4,则n,=2R(ss+s+4=0.25Kh=0时,于是ts=4=8s,tp=%=n例9设计型题,较易

18、,主要考概念Gc(s10s(Ts+12求:Gc(s,使r(t=t时,ess=0;使r(t=12t时,ess0.012解:Gc(s=s+1,>T,利用基本概念,不用计算Gc(s=K(s+1,(>T,则Ka=lims2s0K(s+1×10=10Ks2(Ts+1故:ess=11=0.01K10.Ka10K根轨迹法一,定义:1+G0(s=1+K*(s+zii=1m(s+pij=1n=0.m其中K*为根轨迹增益.开环放大倍数K=K*zii=1npj=1j闭环特征方程的根随参数K*而变化的轨迹,称为根轨迹.幅值条件:0(s=1G相角条件:G(s=(2k+1,最小相位系统其符合两个条件

19、:0或G(s=2k,非最小相位系统0几条规则:实轴上的根轨迹最小相位系统右边有奇数个零极点时,有根轨迹非最小相位系统右边有偶数个零极点时,有根轨迹根轨迹条数=Max(n,m,起点为开环极点(Kg=0,终点为开环零点(Kg渐进线条数:(n-m条,与实轴交点坐标:1=极点零点nm与实轴夹角:1=±(2k+1nm.分离点与会合点:使dK*=0,并使K*>0的点ds复数极点出射角:p1=180°+零点至极点的向量辐角其他极点至该极点的向量辐角对非最小相位系统p1=零点至极点的向量辐角其他极点至该极点的向量辐角2011年考研精品资料复数零点的入射角:清风扬帆收集整理z1=180

20、°其他零点至该零点的向量辐角+极点至该零点的向量辐角对非最小相位系统z1=其他零点至该零点的向量辐角+极点至该零点的向量辐角与虚轴交点:(a用劳斯判据确定,用辅助方程求得(bs=j代入闭环特征方程,由实部=0,虚部=0求得例1:G0(s=Ks(s+1(s+2解:渐进线(3条=:(1+(2=1,=±(2k+1303=,3由1+K=0,则K=s(s+1(s+2,s(s+1(s+2dK*d(s3+3s2+2s=(3s2+6s+2=0,得dsdss1=0.423,K1*=0.385*s2=1.577,K2=0.385与虚轴的交点:方法一s3+3s2+2s+K=0,劳斯阵:s3s2s

21、1s01322K0K3KK=0K=63要与虚轴有交点,则有一行全零,即2辅助方程:3s2+6=0s1,2=±2j方法二将s=j代入特征方程:(j+3(j+2(j+K=0实部:K32=0K=6,=2,虚部:33=0232则与虚部的交点s1,2=±2j,K=6根轨迹如下图例2:G0(s=K(s+2s2+2s+322=140°0解:渐进线一条.出射角p1=180°+tan12tan1分离点与会合点:K*=s2+2s+3,s+22011年考研精品资料清风扬帆收集整理故:(s+2(2s+2(s2+2s+3=0,则s2+4s+1=0,得dK*=ds(s+22s1=0

22、.265,可见根轨迹是圆弧.s2=3.752,K2=5.464证明:取圆弧上一点s=+j.G(s=+2+j(+j+2(+j+3(应用辐角条件2+2=tan1tan12=180°+22+2+3两边取正切:2+212+2=2=2(2+2+2+3+22+2+3(22+(2=(2可见是圆.例3:K1s(s+K1Kh解:结构图化简,有:闭环特征方程为1+K1=0s2+K1Khs+K1=0s+K1Khs2K1Khs+1=0,(K*=K1Kh,由此画Kh根轨迹图.s2+K12011年考研精品资料清风扬帆收集整理也可以由1+K1(1+Khs=0,画K1根轨迹.s22s2+(3+s+2解:K=,=0,

23、s+1ds(s+12*则:s=(3+±(3+2164或s=0=1,=9时,有一个分离点(3+16>0,解得>9或<122011年考研精品资料清风扬帆收集整理当<1时,显然不稳定.当>9时,如取=10,则1=10(1=4.5,31s1,2=13±13216010=,4,根轨迹如上图.44离散系统分析方法一,采样定理镜像作用,采样频率s>2max二,1eTssKs(s+1开环脉冲传递函数2011年考研精品资料清风扬帆收集整理1eTsK1111G0(z=K(1z2+s(s+1ss+1ss TzzzK(0.368z+0.264=K(1z1+T=1

24、2T(z1(z0.368z1ze(z1闭环ry=G0(zY(z=,特征方程R(z1+G0(z1+G0(z=0即z2+(0.368K1.368z+(0.264K+0.368=0.+1,将其代入特征方程中,再用劳斯判据.1如果K给定,则直接解特征方程,若|z|<1则稳定,若|z|>1则不稳定.判断稳定性:用双线性变换z=G0(z=G(s,对参考输入有:Kp=limG0(z,当r(t=a1(t时,ess=z1a1+KpbTKvKv=lim(1z1G0(z,当r(t=bt时,ess=z1Ka=lim(1z1G0(z,当r(t=2z112cT2ct时,ess=2KaE(z有干扰时,=en(z

25、,essn=lim(z1E(zz1N(z<此时必须且唯有用终值定理>求Y(z=ry(zR(z,y*(t =1Y(z=1ry(zR(z时,可以用两种方法:a部分分式法;b长除方法G(sz变换公式:2011年考研精品资料清风扬帆收集整理1z1zX(z=zeatTzX(z=(z12T2z (z+1X(z=3z(z1x(t=1(tx(t=eatx(t=tx(t=12t2X(s=X(s=1sX(z=1s+a1X(s=2s1X(s=3s1eTsK如:G0(s=(s+2(s+3s11213=1z1K+=1z1Kss+2s+3(非线性系统分析方法G(s注:1为sinwt;2为基波和高次谐波经过G(

26、s后剩下的基波.一,分析方法:相平面法只适用于二阶系统不考描述函数法可适用于高阶,是频率法的推广考李雅谱诺夫方法二,描述函数法:1N(X闭环特征方程:1+N(XG(s=0,则G(s=判断G(jw是否包围1,包围则系统不稳定,不包围则稳定.N(X如同1+G0(s=0,G(jw=1,判断是否包围-1,包围则不稳定,不包围则稳定.2011年考研精品资料负倒特性:清风扬帆收集整理A点不稳定,自激振荡B点为稳定自激振荡,因有干扰时系统发散,则系统正好进入稳定区,而系统稳定时要衰减,则系统又回到B点右边,又再次进入到不稳定区,又要发散,然后又进入稳定区,如此反复,则系统始终稳定再B点附近.例1:如图.其中

27、:4bKaN(X=1,G(s=,K=11,a=1,b=3Xs(0.1s+1(s+1X判断是否存在稳定的自激振荡?为消除自激振荡如何调整?2解:G(jw=180°求出相交频率wG(jw=1求出相交幅度N(XB 点是稳定的自激振荡点,A点不稳定.xAxB不稳定,<x<xA0和x>xB稳定.减小K,使两者不相交,或调整a,b使两者不相交.例2:2011年考研精品资料清风扬帆收集整理解:x0=110h1h2,当x<x0时无输出,s+>x0时输出s2,则合成为:x1MM11s+110s+11s1s+1111则,变换成:=ss+1s(s+1102s(s+1再画图分析

28、例3:2002年题5s+1s10s21+Ts4M4bMb其中:N(X=1j,b=1,M=4.XX2X讨论参数T为系统自激振荡的影响设T=0.25sec,求输出自激振荡的振幅和频率.2解:G0(s=(s+1(1+Ts×10,s31=,N(X两者相切时,即频率特性G(jw的虚部等于-1/N(X,B点稳定,A点不稳定.此时,xA<x<xB稳定;<x<xA和x>xB不稳定02011年考研精品资料清风扬帆收集整理李雅普诺夫稳定性理论连续系统在左平面稳定特征方程求根离散系统在单位圆判断稳定性劳斯判据Nyquist稳定判据李氏稳定判据一,李氏第一方法:线性化方法f1(

29、x1,x2xnf(x,xxnx=f(xe,t=212,平衡状态为xe.即f(xe ,t=0,fn(x1,x2xn线性系统平衡状态只有一个;非线性系统平衡状态有多个.雅可比矩阵:f1f1f1xxx2nf1,判断其稳定性用特征多项式sIA=0,A=|=x=xexfnfnfnx1x2xnx=xe然后用劳斯判据.如果线性系统稳定,则非线性系统稳定;反之,如果线性系统不稳定,则非线性系统不稳定.如果处于稳定边界(有纯虚根,则不能判定非线性系统的稳定性.V(x=xTPx,P为正定对称矩阵,则V(x>0;如果V(x<0,则大范围稳定李氏直接方法:1克拉索夫斯基方法;2变量梯度法(不考二,对非线性

30、系统在平衡状态处的稳定性问题的解题步骤:先用线性化方法:f1x=1f2x1f1x2,由sIA=0得,s1=1,s2=2f2x=xe0x1A=fxx=xe0若:(11>0,2>0,则系统在平衡状态xe0处是不稳定的;2011年考研精品资料清风扬帆收集整理(21<0,2<0,则系统在平衡状态xe0处是渐进稳定的.(31,2中至少有一个实部为0,则此方法失效.否则,用克拉索夫斯基方法:f1fx1A=xf2x1f1fTff1(xx2,其中f(x=当,Q (x=x+x,Q(x正定时,f2f2(xx1即当主子式均大于零时,且当x1时,有:V(x=fT(xf(x=,则系统在平衡状态x

31、e=0处大范围渐进稳定.最后想到用李雅普诺夫第二方法:构造标量函数V(x,例如:2V(x=x12+x2,要求V(0=0,x0,V(x>0.2步骤:1,构造V(x=x12+x2;2,V(x=2x1x1+2x2x2,将x1,x2代入,若V(x为负定,半负定,x1,有V(x.则系统在xe=0处大范围渐进稳定.例1:<2000年题6>使用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡状态的稳定性.35x1=x1+x2x1,x2=x1x2x2解:线性化方法失效,则只好用克拉索夫斯基方法:2f13x1=x11,则415x22011年考研精品资料清风扬帆收集整理2+10x2242fTf2+6x

32、12Q(x=+=x2x2主子式2+6x1>0,2+6x12+10x24>0Q(x正定且x1时,有(2(V(x=fT(xf(x=x1+x2x1范围渐进稳定.(32+(x1x2x252=,故此系统在原点处大例2:<2001年题6>试用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡状态的稳定性.x1=x13x1,x2=x1+x25x235解:用线性化方法:A=s+1010f=,sIA=s21=01s1xxe=011则s1=1,s2=1,故系统在原点处不稳定.状态空间分析方法一,模型的建立0=R则xm1x0c1+1x2mm0Fc,f=ma,vm02011年考研精品资料清风扬帆收集整理则F+(v0ycky=m,即:m+cy+ky=F+cv0yyx1=x2令x1=y,x2=y,则kxcxFcv,x2=12+0ymmmm如对y(n+a1y(n1+an1y+any=b1u,令x1=y,x2=y,xn=y(n1x1=x2x=x32则,x=xnn1xn=anx1an1x2a1xn+b1 u输出方程:y=x11000x=或anan10100000x+u10b1a1y=100x例1:由传递函数来求G(s=b0sm+