拉压超静定问题

1、一、静定与超静定问题一、静定与超静定问题(Statically determinate & indeterminate problem) 2-6 拉压超静定问题拉压超静定问题 (Statically indeterminate problem of axially loaded members) 1.1.静定问题静定问题 (Statically determinate problem) 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题这种情况称作静定问题.2.2.超静定问题超静定问题(Statically indeterminate problem

2、) 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题静定问题.21.1.超静定的次数超静定的次数(Degrees of statically indeterminate problem ) 未知力数超过独立平衡方程数的数目未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数称作超静定的次数.二、超静定问题求解方法二、超静定问题求解方法 (Solution methods for statically indeterminate problem） 2.2.求解超静定问题的步骤求解超静定问题的步骤(Procedure for solvi

3、ng a statically indeterminate)（1）确定静不定次数；列静力平衡方程）确定静不定次数；列静力平衡方程（2）根据变形协调条件列变形几何方程）根据变形协调条件列变形几何方程（3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程补充方程（4）联立补充方程与静力平衡方程求解）联立补充方程与静力平衡方程求解n = 未知力的个数未知力的个数 独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目3 例题例题8 8 设设 1，2，3 三杆用绞链连结如图所示，三杆用绞链连结如图所示，l1 = l2 = l，A1 = A2 = A， E1

4、= E2 = E，3杆的长度杆的长度 l3 , ,横截面积横截面积 A3 , ,弹性模量弹性模量E3 。试求在沿铅垂方向的外力试求在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力作用下各杆的轴力. .CABDF1 12 23 3三、一般超静定问题举例三、一般超静定问题举例(Examples for general statically indeterminate problem) xyFAFN2FN3FN1 解：解： （1 1）列平衡）列平衡方程方程2 21 10 0NNFFFx 0coscos03N2N1N FFFFFy 这是一次超静定问题这是一次超静定问题4（2 2）变形几何方程变形几何方程 由于问题

5、在几何由于问题在几何,物理及物理及 受力方面都是对称受力方面都是对称,所以变形后所以变形后A点将沿点将沿铅垂方向下移铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起CABDF1 12 23 3xyFAFN2FN3FN1 CABD1 12 23 3A53 3l 变形几何方程为变形几何方程为A1 12 23 3CABDF1 12 23 3CABD1 12 23 3AA1 1l cos3 31 1ll 1 11 11 11 1EAlFlN 3 33 33 33 3AElFl cosN （3）补充方程）补充方程 2 23 33 33 31 1cosNNAEEAFF

6、 物理方程为物理方程为6（4）联立平衡方程与补充方程求解）联立平衡方程与补充方程求解CABDF1 12 23 33 3lA1 12 23 3A1 1l 2 23 33 32 21 12 21 1coscosNNAEAEFFF 2 21 1NNFF 0 03 32 21 1 FFFFNNNcoscos 2 23 33 33 31 1cosNNAEEAFF 2 23 33 33 32 21 1cosNAEEAFF 7铁路货车的缓冲弹簧铁路货车的缓冲弹簧例题例题9 9 车辆的缓冲弹簧常采用双层圆柱螺旋弹簧车辆的缓冲弹簧常采用双层圆柱螺旋弹簧. .若内弹簧的刚若内弹簧的刚度为度为k k1 1 , ,外

7、弹簧的刚度为外弹簧的刚度为 k k2 2 , ,总压力为总压力为F. F. 求内求内, , 外弹簧分担的外弹簧分担的压力压力. .F F解解: :设内设内, ,外弹簧分担的压力分别为外弹簧分担的压力分别为 F F1 1 , F , F2 2 , ,则则 12FFF在在F F1 1作用下作用下, ,内弹簧的压缩量为内弹簧的压缩量为22Fk在在F F2 2作用下作用下, ,外弹簧的压缩量为外弹簧的压缩量为11Fk1212FFkk两弹簧的变形协调条件为两弹簧的变形协调条件为得内得内, ,外弹簧分担的压力分别为外弹簧分担的压力分别为1112,k FFkk2212k FFkk例题例题9 9 图示平行杆系

8、图示平行杆系1、2、3 悬吊着刚性横梁悬吊着刚性横梁AB，在横梁上作，在横梁上作用着荷载用着荷载 F。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A，l，E. .试求三杆的轴力试求三杆的轴力 FN1, FN2, FN3. .ABCF3aal21ABCF3aal21FABC3aa21FN1FN2FN3Fx解：（解：（1） 平衡方程平衡方程 0 xF0 xF 0 0yF03N2N1N FFFF 0 0BM这是一次超静定问题这是一次超静定问题,且假设均为拉杆且假设均为拉杆.0 02 22 21 1 aFaFNN（2） 变形几何方程变形几何方程 物理方程物理方

9、程ABCF3aal21ABCl 3l 2l 1ABC3212 23 31 12 2 lll 1 11 11 11 1EAlFlN EAlFl3 33 3N EAlFl2 22 2N （3） 补充方程补充方程2 23 31 12 2NNNFFF ABCF3aal21ABCl 3l 2l 1ABC321（4）联立平衡方程与补充方程求解）联立平衡方程与补充方程求解N2N3N1FFF2 2 0 0 xF0 0 FFFFN3N2N102N2N1 aFaF6/53/6/N3N2N1FFFFFF 图示杆系图示杆系,若若3杆尺寸有微小误差杆尺寸有微小误差,则则在杆系装配好后在杆系装配好后,各杆将处于图中位置各

10、杆将处于图中位置,因因而产生轴力而产生轴力. 3杆的轴力为拉力杆的轴力为拉力,1. 2杆的轴杆的轴力为压力力为压力. 这种附加的内力就称为装配内这种附加的内力就称为装配内力力. 与之相对应的应力称为与之相对应的应力称为装配应力装配应力 (initial stresses) .A四、装配应力四、装配应力 (Initial stresses)(Statically indeterminate structure with a misfit)ABCD2 21 13 3l14AABCD2 21 13 3ll 3l 13 3l代表杆代表杆3的伸长的伸长1l代表杆代表杆1或杆或杆2的缩短的缩短代表装配后代

11、表装配后A点的位移点的位移（1） 变形几何方程变形几何方程3l 1cosl cos1 13 3ll（2） 物理方程物理方程3 33 33 31 11 11 1AElFlAElFlN3N1cos 15（3）补充方程）补充方程AABCD2 21 13 3ll 3l 1 2 21 11 13 33 3cosN1N3AElFAElF（4） 平衡方程平衡方程0coscos0sinsinN2N1N3N2N1 FFFFF FN3FN2FN1FN1， FN2， FN3（5）联立平衡方程与补充方程求解）联立平衡方程与补充方程求解162123312NNEAFFL cos cos3333212NEAFL cos c

12、os （拉）（拉）123AAAA（压）（压）当当 时时,17212331 2 cos cosEL3333212ELcos cos 30 0045o 210GPa, .2, EL13123MPa174MPa例如例如（压）（压）（压）（压）（拉）（拉）（拉）（拉）装配应力装配应力 虽然制造误差很小虽然制造误差很小, 但但装配应力很大装配应力很大, 和钢材和钢材Q235的屈服极限的屈服极限(约约235MPa)是一个量级。是一个量级。18 例题例题10 两铸件用两根钢杆两铸件用两根钢杆 1. 2 连接连接,其间距为其间距为 l =200mm. 现要现要将制造得过长了将制造得过长了 e = 0.11mm

13、的铜杆的铜杆 3 装入铸件之间装入铸件之间, 并保持三并保持三根杆的轴线平行且等间距根杆的轴线平行且等间距 a, 试计算各杆内的装配应力试计算各杆内的装配应力. 已知：钢已知：钢杆直径杆直径 d =10mm, 铜杆横截面积为铜杆横截面积为2030mm的矩形的矩形, 钢的弹性模钢的弹性模量量 E=210GPa, 铜的弹性模量铜的弹性模量E3=100GPa. 铸件很厚铸件很厚, 其变形可略其变形可略去不计去不计, 故可看作刚体故可看作刚体.ABC12aaB1A1C1l3C1Ce19（1）变形几何方程为）变形几何方程为l3C1eCl3ABC12B1C1A1l1l2=ell 3 31 1aax（3）补

14、充方程）补充方程（4）平衡方程）平衡方程EAlFl1 11 1N1 3 33 33 3AElFlN3 （2）物理方程）物理方程AElFeAElFN1N3 3 33 3CABFN3FN1FN20 0 N2N1N3FFFN2N1FF 联立平衡方程与补充方程求解联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出即可得装配内力，进而求出装配应力装配应力.五、温度应力五、温度应力 (Thermal stresses or temperature stresses)例题例题11 图图 示等直杆示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结的两端分别与刚性支承连结.设两支承设两支承的距离（即杆长）为的距离（即杆

15、长）为 l, 杆的横截面面积为杆的横截面面积为 A,材料的弹性模量材料的弹性模量为为 E, 线膨胀系数为线膨胀系数为 .试求温度升高试求温度升高 T 时杆内的温度应力时杆内的温度应力. 温度变化将引起物体的膨胀或收缩温度变化将引起物体的膨胀或收缩. 静定结构可以自由变形静定结构可以自由变形,不会引起构件的内力不会引起构件的内力,但在超静定结构中变形将受到部分或但在超静定结构中变形将受到部分或全部约束全部约束,温度变化时往往就要引起内力温度变化时往往就要引起内力,与之相对应的应力与之相对应的应力称为称为热应力热应力 (thermal stresses)或或温度应力温度应力 (temperature stresses).ABl解解: 这是一次超静定问题这是一次超静定问题 变形相容条件是变形相容条件是杆的总长度不变杆的总