非齐次线性方程组PPT课件

1、非齐次线性方程组解的性质一、非齐次线性方程组解的性质第1页/共32页.0,1)( 2121的解的解为对应的齐次方程为对应的齐次方程则则的解的解都是都是及及设设 AxxbAxxx 证明 . 021 bbA . 021 Axx满满足足方方程程即即 bAbA 21, 第2页/共32页证明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 证毕.,0,2)( 的解的解仍是方程仍是方程则则的解的解是方程是方程的解的解是方程是方程设设bAxxAxxbAxx 第3页/共32页.11 rnrnkkx其中 为对应齐次线性方程组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特解.rnrnkk 11 非齐次线性方程

2、组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为第4页/共32页与方程组 有解等价的命题bAx ;, 21线线性性表表示示能能由由向向量量组组向向量量nb ;,2121等价等价与向量组与向量组向量组向量组bnn .,2121的秩相等的秩相等与矩阵与矩阵矩阵矩阵bBAnn 线性方程组 有解bAx 第5页/共32页线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题第6页/共32页（2）利用初等变换特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算

3、方法第7页/共32页例1 求解方程组 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解:施行初等行变换施行初等行变换对增广矩阵对增广矩阵B 2132111311101111B,00000212100211011 第8页/共32页并有并有故方程组有解故方程组有解可见可见, 2)()( BRAR .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2131 xx则则即得方程组的一个解即得方程组的一个解.021021 取取中中组组在对应的齐次线性方程在对应的齐次线性方程,2,43421 xxxxx 第9页/共32页,100142 及及xx,210131 及及则则xx程

4、组的基础解系程组的基础解系即得对应的齐次线性方即得对应的齐次线性方,1201,001121 第10页/共32页于是所求通解为于是所求通解为).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx 第11页/共32页 .123438,23622, 2323, 75432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解 12134382362120231213711111B例2 求下述方程组的解第12页/共32页 0000000000002362120711111 .,知知方方程程组组有有解解由由BRAR , 3, 2 rnAR又又第13页/共32页所以方程

5、组有无穷多解.且原方程组等价于方程组 236227543254321xxxxxxxxx第14页/共32页求基础解系.100,010,001543 xxx 令第15页/共32页依次得.32,10,212121 xx 236227543254321xxxxxxxxx代入代入第16页/共32页.10032,01010,0012121321 求特解.223,29, 021543 xxxxx得得令令故得基础解系第17页/共32页.0002232910032000100012121321 kkkx.,321为为任任意意常常数数其其中中kkk所以方程组的通解为第18页/共32页 00000000000023

6、62120711111另一种解法 12134382362120231213711111B第19页/共32页 00000000000022331211029202101则原方程组等价于方程组第20页/共32页 223321292215432531xxxxxxx 5544335432531223322922xxxxxxxxxxxxx所以方程组的通解为第21页/共32页.0002232910032010100012121321 kkkx.,321为任意常数为任意常数其中其中kkk第22页/共32页齐次线性方程组基础解系的求法 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA二、小结（1）对系数

7、矩阵 进行初等变换，将其化为最简形A第23页/共32页 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbxAx11111110由于（2）得出 ，同时也可知方程组的一个基础解系含有 个线性无关的解向量 rAR rn 第24页/共32页令.,xxxnrr 10001000121,bb,bb,bbxxrn ,rrn ,rrr 12121111得得第25页/共32页,bbr 0011111 ,bbr 0102122 .bb,rn ,rrn ,rn 1001 故为齐次线性方程组的一个基础解系.第26页/共32页有解有解0 Ax 个解向量个解向量此时基础解系中含有此时基础解系中含有ARn nBRAR nB

8、RAR.有无穷多解有无穷多解bAx BRAR .无解无解bAx .有唯一解有唯一解bAx 线性方程组解的情况nAR)(第27页/共32页 满满足足的的三三个个解解向向量量方方程程组组如如果果非非齐齐次次线线性性且且矩矩阵阵是是设设321,. 1,3 bAxARmA ,32121 ,11032 10113 .的通解的通解求求bAx 思考题第28页/共32页, 1)(,3 ARmA矩阵矩阵是是解解 思考题解答.2130 无关的解向量无关的解向量个线性个线性的基础解系中含有的基础解系中含有 Ax则则令令,133221cba 第29页/共32页,21231)(211 bca ,23230)(213 acb ,25210)(212 cba 第30页