傅立叶Fourier变换方法ppt课件

1、12 . 3 傅立叶傅立叶(Fourier)变换方法变换方法一由延续傅立叶变换到离散傅立叶变换实函数其延续傅立叶变换 为 的谱，它是定义在 的复延续函数。反之，假设 以L为周期，那么仅当 时 才非0：xxf：)(xexfkgikxd)()()(xfkkekgxfikxd)()()(xfLmkkm2,.)2, 1,0(m)(kgmmgLkg2)(mxikmmegLxf1)(xexfgLxikmmd)(0这也可视为区间0, L上的变换，即在有限区间上定义的f (x) 具有分别谱反变换为反之， 中等间隔 离散函数 的傅立叶变换为可见： ， n为恣意整数,离散函数 的谱是周期谱xxifjxikjjji

2、kxjefefkgj)()2()(xnkgkgkekgxfxikxiid)(220if即 为 k 空间中以 为周期的函数。)(kgx2其逆变换为 在 k 空间中以 为间隔可划分无限多个周期带。我们称不同周期带中的模 互为重影 (aliasing)。x2)(kgx4 模和 模互为重影，两个模在离散点上具有一样行为，无法由离散采样加以区分x25x2重影的产生源于离散化过程中丧失了信息，虚线所含信息超出了能提供的信息，应舍弃，通常取ifxk|称为本带，之外一切周期带称为短波带。 截止波长为x2留意：无限区间的离散函数的谱为本带中的延续谱。假设 以N为周期，即 ，那么谱在本带中为离散值。ifNiiff

3、xNmkm2其中2121NmN相应地，NjNmjijNjxjikjmefefgm121即为定义在有限空间或周期离散函数 的傅立叶变换if由于 ，可见 既具有离散性，也具有周期性。其离散性是由 的周期性决议，其周期性是由 的离散性决议。Nmmggmgifif傅立叶变换：可推行到多维如2DNjNmjijmefg12逆变换：21212NNmNmjimjegfNnliMjNlMmjiljnmeefg2112, NnliMmNnMmjinmljeegMNf2112,1 求和上下限的变化利用了其周期性对一维，其计算量约N2个复运算，采用FFT， 那么降为Nlog2N。故N=2m。二傅立叶方法ljljljl

4、jljljljljljljljsfefdfcfbfa,1,1, 1, 1,假设系数是均匀的，那么可对上式快速直接求解均匀问题：一切系数与 j, l 无关半均匀问题：一切系数仅与 j 或仅与 l 有关oSWNEljljljljljljsefdfcfbfaf,1,1, 1, 1,如矩形解域、均匀网格下常系数线性椭圆型方程1 均匀问题例： 假设采用正方形网格),(2222yxsyfxf那么14edcba，边境条件(1)固定边境：BBf(2)自在边境：BIBff(3)周期边境：lMllMlffff, 0, 1, 1，NjjNjjffff,0 ,1,1 ,，或分为单周期和双周期边境条件当 和 不为0，那

5、么称为非齐次边境条件，否那么为齐次边境条件。BB非齐次问题很容易化为齐次边境条件，方法如下：任取一离散函数， 它在边境上的取值为令 ，那么 满足齐次方程及如下差分方程B ff*f*,1,1, 1, 1,ljljljljljljsefdfcfbfaf其中)(1,1, 1, 1,*,ljljljljljljedcbasslj特别地，假设 很小，可简单地取 的内点值为0B非边境邻点处 ，边境邻点处 ljsslj,*,BBljsslj,*,之一为edcbB,在其两边分别乘 ，再对下标 j (1 M)及l (1 N)求和其中nmnmnmsfA,1.1 双周期边境条件ljljljljljljsefdfcf

6、bfaf,1,1, 1, 1,NnliMmjiee22NnMmeedecebeaAnmiiiinmnnmm22,，NnliMjNlMmjiljnmNnliMjNlMmjiljnmeesseeff2112,2112, 其反变换为NnliMmNnMmjinmljeefMNf2112,1 1 经过快速傅立叶变换由 求利用 求经过快速傅立叶反变换由 求ljljljljljljsefdfcfbfaf,1,1, 1, 1,计算量为计算步骤nms,ljs,nmnmnmsfA,nmf,nmf,ljf,NMMN22loglog14edcba，当)2(sin)2(sin422,nmnmA时，周期边境条件jjjjs

7、cfbfaf11以1D齐次边境条件为例12Nj第一类边境条件1.2 第一类边境条件01NffjjjjScFbFaF11222NjNNFFFF22121，sSNx1x12Nx源的反对称延拓0221012122NjNjNjjSNjNsSSNjsS），（），（00121212NNNjjNjFFFFNjfFF，），（周期边境条件jjjjscfbfaf1112Nj第二类边境条件1.2 第二类边境条件121NNffff，jjjjScFbFaF11222NjNNFFFF22121，sNx1x12Nx源的对称延拓s01211202NNjjNjFFFFNjfFF，），（），（），（221122NjNsSNjsS

8、jNjjj2 半均匀问题ljljjljjljjljjljjsfefdfcfbfa,1,1, 1, 1,如x方向非均匀网格对每一个分量 n ，上式给出一个沿 x 方向的三对角方程组，采用追逐法即可将 解出，再经过 l 方向的傅立叶反变换将 求出。ljnjjnjijijjnjjsfcfeeedafb, 1, 1)(由于上式各系数与 l 无关，可在 y 方向进展傅立叶变换njf,ljf,此法也可用于均匀问题，特别是对单周期边境条件，可在具有周期边条的方向进展傅立叶变换，而另一方向采用追逐法。12 . 4 循环约化方法的思想循环约化方法的思想对2D可分别变量椭圆型方程或非均匀网格下的常系数方程ljlj

9、lljlljjljjljljsfefdfcfbf,1,1, 1, 1,)(它不可运用傅立叶方法，但可运用循环约化法，要求格点数12 knNjjjjfffx,2 ,1 ,Njjjjsssy,2 ,1 ,Mxxxx21Myyyy21yAxMMMMMACBACBACBAA11122211BIAIbBIcCjjjjjj，NNNMNedededB11122211其中因此，我们将一切格点写成块三角方式循环约化方法的根本思想循环约化方法的根本思想以一元三对角矩阵为例以一元三对角矩阵为例iiiiiiisfbfafc11延续写出三个相邻的方程由第一、三式解出由第一、三式解出 后代入第二式后代入第二式iiiiii

10、isfbfafc11111121iiiiiiisfbfafc121111iiiiiiisfbfafc11iiff ，)1(2)1()1(2)1(iiiisfbfafciii)22,.,4 , 2(ki其中其中111)1(iiicacciiiiiiiiacabbacai111111)1(111)1(iiicbabbiiiiiiiissabsacsi111111)1(这样做后，方程数大致减至一半对上式继续约化，至第 r 步 rk当进展至第当进展至第k-1步，那么仅剩一个未知数步，那么仅剩一个未知数, i.e.,解出解出 后上式逐渐回代。后上式逐渐回代。rrki2) 12,.,2 , 1 (其中其中)(2)()(2)(riririririirisfbfafc)()()()(rrrriiiisbac，可由递推公式得出。可由递推公式得出。)1(2121)1(21kNNkNsfa21Nf例子对一非均匀N元三对角代数方程组，此法约需6N次除，8N次乘和6N次加，为通常追逐法的2倍，但对均匀情况，各系数与脚标无关，却比追逐法更有效，且节约内存。1 2 3 4 5 6 712 123 234 345 456 567 6724 246 464取n=