D91多元函数的基本概念学习教案

1、会计学1D91多元函数的基本概念多元函数的基本概念第一页，编辑于星期六：五点 三十二分。 第九章 一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第1页/共32页第二页，编辑于星期六：五点 三十二分。1. 邻域邻域点集称为点 P0 的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成点 P0 的去心邻域去心邻域记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共32页第三页，编

2、辑于星期六：五点 三十二分。在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共32页第四页，编辑于星期六：五点 三十二分。(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称 P 为 E 的边界点边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必

3、不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 第4页/共32页第五页，编辑于星期六：五点 三十二分。若对任意给定的 , ,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束 E邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集 .E 的边界点 )第5页/共32页第六页，编辑于星期六：五点 三十二分。D 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.

4、则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;第6页/共32页第七页，编辑于星期六：五点 三十二分。开区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo21xyoxyoxyo21第7页/共32页第八页，编辑于星期六：五点 三十二分。 整个平面 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 11oxy 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K ,则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为无

5、无第8页/共32页第九页，编辑于星期六：五点 三十二分。n 元有序数组的全体称为 n 维空间维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标坐标 .记作即机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个点点, 当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O .第9页/共32页第十页，编辑于星期六：五点 三十二分。的距离距离记作中点 a 的 邻域邻域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定为 ),(R21nnxxxx中的点与零元 O 的距离为第10页/共32页第十一页，编辑于星期六：五点 三十二分。引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式cba机动 目录 上

6、页 下页 返回 结束 hr第11页/共32页第十二页，编辑于星期六：五点 三十二分。点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共32页第十三页，编辑于星期六：五点 三十二分。xzy定义域为圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球xyz第1

7、3页/共32页第十四页，编辑于星期六：五点 三十二分。定义定义2. 设 n 元函数点 ,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 , 总存在正数 ,切第14页/共32页第十五页，编辑于星期六：五点 三十二分。求证：证证:故总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 第15页/共32页第十六页，编辑于星期六：五点 三十二分。求证：证：证：故0),(lim00yxfyx总有要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共32页第十七页，编辑于星期六：五点 三

8、十二分。 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于不存在 .函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共32页第十八页，编辑于星期六：五点 三十二分。解解: 因而此函数定义域不包括 x , y 轴则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共32页第十九页，编辑于星期六：五点 三十二分。仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,显然

9、与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共32页第二十页，编辑于星期六：五点 三十二分。定义定义3 . 设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点 .则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续, 第20页/共32页第二十一页，编辑于星期六：五点 三十二分。在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.第

10、21页/共32页第二十二页，编辑于星期六：五点 三十二分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 * (4) f (P) 必在D 上一致连续 .在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 第22页/共32页第二十三页，编辑于星期六：五点 三十二分。解解: : 原式例例6. 求函数的连续域.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyx第23页/共32页第二十四页，编辑于星期六：五点 三十二分。1. 区域 邻域 : 区域连通的开集 2. 多元函数概念n 元函数常用

11、二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共32页第二十五页，编辑于星期六：五点 三十二分。有4. 多元函数的连续性1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P62 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8P130 题 3; 4机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习第25页/共32页第二十六页，编辑于星期六：五点 三十二分。P62 题 2. 称为二次齐次函数 .P63 题 4.P63 题 5(3).定义域P63 题 5(5).定义域2xy DyxoRxyoDr机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共32页第二十七页，编辑于星期六：五点 三十二分。P63 题 8.间断点集P130 题 3.定义域P130题 4. 令 y= k x ，0若令xy Dyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 则 可见极限不存在第27页/共32页第二十八页，编辑于星期六：五点 三十二分。1. 设求解法解法1 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共32页第二十九页，编辑于星期六：五点 三十二分。设求解法解法2 令即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共32页第三十