高考数学一轮复习计数原理——二项式定理PPT课件

1、返回目录返回目录 1. 1.二项式定理的内容二项式定理的内容 (a+b)n= . 右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的的 ，其中的系，其中的系数数 (r=0,1,n)叫做展开式的叫做展开式的 ，式中的第式中的第r+1项项 an-rbr叫做二项展开式的叫做二项展开式的 ，记，记作作Tr+1= (其中其中0rn,rN,nN*).r rn nC Cr rn nC CN *)N *)(n (nb bC Cb ba aC Cb ba aC Ca aC Cn nn nn nk kk k- -n nk kn n1 1-1 -1n n1 1n nn n0 0n n+二项展开式二项展开式 二项式系数二

2、项式系数 通项通项 r rr r- -n nr rn nb ba aC C第1页/共24页 2.二项式系数的性质 （1）对称性与首末两端）对称性与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系的两个二项式系数相等，即数相等，即 . （2）增减性与最大值由）增减性与最大值由 知，当知，当k 时，二项式系数是逐渐的时，二项式系数是逐渐的 ，由对称性知它的，由对称性知它的后半部分是逐渐的后半部分是逐渐的 ，且在中间取最大值，且在中间取最大值.当当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，是奇数时，中间的两项中间的两项 相等，且同时取得最大值相等，且同时取得最大值. （

3、3）各二项式系数的和为）各二项式系数的和为2n，即，即 =2n. （4）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即系数的和，即返回目录返回目录 k k1 1k k- -n nC CC C-1-1k kn nk kn n+=2 21 1n n +. .C CC CC CC C3 3n n4 4n n2 2n n0 0n n+=+m m- -n nn nm mn nC CC C=增大增大 减小减小 C C, ,C C2 21 1n n2 21 1 - -n nn nn n+n nn n1 1n n0 0n nC CC CC C+第2页/共24页（

4、1） 的展开式中的展开式中x5的系数为的系数为 .（2）若在）若在(1+ax)5的展开式中的展开式中x3的系数为的系数为-80,则则a= .返回目录返回目录 由通项公式列方程可得由通项公式列方程可得.8 8) )x x1 1- -( (x x第3页/共24页（1）二项展开式的通项为）二项展开式的通项为 令令8- =5,则则r=2, T3=(-1)2 x5=28x5, x5的系数为的系数为28. （2）在二项展开式中通项公式）在二项展开式中通项公式Tr+1= (ax)r= arxr, 令令r=3,得得x3的系数的系数: a3=-80, a3=-8,a=-2.返回目录返回目录 2 23 3r r-

5、 -8 8r r8 8r rr r2 21 1- -r r- -8 8r r8 81 1r r x x C C( (- -1 1) ) ) ( (- -x xx xC CT T=+r r2 23 32 28 8C Cr r5 5C Cr r5 5C C3 35 5C C第4页/共24页（1）二项展开式的通项公式反映出展）二项展开式的通项公式反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项的系数运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项的系数或指数或指数. （2）求指定项的系数主要通过二项式定理的通）求指定

6、项的系数主要通过二项式定理的通项公式列方程求得，考查计算能力项公式列方程求得，考查计算能力.返回目录返回目录 第5页/共24页若若(x+ )n展开式的二项式系数之和为展开式的二项式系数之和为64,则展开式的则展开式的常数项为常数项为( )A.10 B.20 C.30 D.120B(由展开式的二项式系数之和为由展开式的二项式系数之和为64,得得2n=64,得得n=6,则展开式中的第则展开式中的第r+1项项Tr+1= x6-r(x-1)r= x6-2r, 令令6-2r=0,得得r=3.则展开式中的常数项为则展开式中的常数项为T4= =20.故应选故应选B.)返回目录返回目录 x x1 1r r6

7、6C Cr r6 6C C3 36 6C CB第6页/共24页（1+2x）n的展开式中第的展开式中第6项与第项与第7项的系数相等，求项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.根据条件可求出根据条件可求出n；再根据；再根据n的奇偶性，的奇偶性，确定二项式系数最大的项；系数最大的项则由不等式确定二项式系数最大的项；系数最大的项则由不等式组确定组确定.返回目录返回目录 第7页/共24页T6= (2x)5,T7= (2x)6,依题意有依题意有 25= 26 n=8.(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为的展开式中二项式系数最大的项为T5=

8、(2x)4=1 120 x4,设第设第r+1项系数最大项系数最大,则有则有 2r 2r-1 2r 2r+1 返回目录返回目录 6 6n nC C5 5n nC C5 5n nC C6 6n nC C4 48 8C Cr r8 8C Cr r8 8C C-1-1r r8 8C C1 1r r8 8C C+1)1)- -r r- -( 8( 81) !1) !( r( r8! 28! 2r) !r) !- -( 8( 8r!r!8!8! 1) !1) !r r- -( 8( 81) !1) !- -( r( r8!8!r)r)- -( 8( 8r!r!8! 28! 2+第8页/共24页 2(8-r

9、+1)r r6 r+12(8-r) r5 又又rN，r=5或或r=6,系数最大的项为系数最大的项为T6=1 792x5，T7=1 792x6.返回目录返回目录 5r6.第9页/共24页求二项式系数最大的项，要根据二项求二项式系数最大的项，要根据二项式系数的性质，式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大为偶数时中间一项的二项式系数最大.求展开式中求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、各项系数的正、负变化情况，一

10、般采用列不等式组、解不等式组的方法解不等式组的方法.返回目录返回目录 第10页/共24页在在(3x-2y)20的展开式中的展开式中,求求:(1) 二项式系数最大的项二项式系数最大的项;(2) 系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项;(3) 系数最大的项系数最大的项.返回目录返回目录 第11页/共24页(1)二项式系数最大的项是第二项式系数最大的项是第11项项,T11= 310(-2)10 x10y10= 610 x10y10.(2)设系数绝对值最大的项是第设系数绝对值最大的项是第r+1项项, 320-r2r 319-r2r+1 320-r2r 321-r2r-1, 3(r+1)2(20-r) 2

11、(21-r)3r,解得解得 r .所以所以r=8.即即T9= 31228x12y8是系数绝对值最大的项是系数绝对值最大的项.返回目录返回目录 1 10 02 20 0C C1 10 02 20 0C Cr r2 20 0C Cr r2 20 0C C1 1r r2 20 0C C+1 1r r2 20 0C C+于是于是化简得化简得5 52 27 75 52 28 88 82 20 0C C第12页/共24页 (3)由于系数为正的项为奇数项由于系数为正的项为奇数项,故可设第故可设第2r-1项系数项系数最大最大,于是于是 322-2r22r-2 324-2r22r-4 322-2r22r-2 3

12、20-2r22r, 10r2+143r-1 0770 10r2+163r-9240. 解之得解之得r=5,即即25-1=9项系数最大项系数最大. T9= 31228x12y8. 返回目录返回目录 2 2- -2 2r r2 20 0C C2 2- -2r2rC C4 4- -2 2r r2 20 0C C2 2r r2 20 0C C8 82 20 0C C 化简得化简得 第13页/共24页设（设（2- x）100=a0+a1x+a2x2+a100 x100，求下列，求下列各式的值：各式的值：（1）a0;（2）a1+a2+a100;（3）a1+a3+a5+a99;（4）（）（a0+a2+a10

13、0）2-(a1+a3+a99)2.返回目录返回目录 利用二项式系数的性质利用二项式系数的性质.3 3第14页/共24页（1）由）由(2- x)100展开式中的常数项展开式中的常数项为为 2100，即，即a0=2100,或令或令x=0，则展开式可化为，则展开式可化为a0=2100. （2）令）令x=1，可得，可得 a0+a1+a2+a100=(2- )100， a1+a2+a100=(2- )100-2100.返回目录返回目录 3 30 01 10 00 0C C3 33 3第15页/共24页（3）令）令x=-1,可得可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+ )100， 与与x=1所得到的联

14、立相减可得所得到的联立相减可得a1+a3+a99= .（4）原式）原式=(a0+a2+a100)+(a1+a3+a99)(a0+a2+a100)-(a1+a3+a99)=(a0+a1+a2+a100)(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100)=(2- )100(2+ )100=1.返回目录返回目录 3 32 2) ) 3 3(2 (2- -) ) 3 3 - -(2 (2100100100100+3 33 3第16页/共24页（1）求关于展开式中系数和的问题，）求关于展开式中系数和的问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如如

15、1,-1,0,. （2）一般地，对于多项式）一般地，对于多项式 g(x)=(a+bx)n=a0+a1x+anxn. g(x)的各项的系数和为的各项的系数和为g(1), g(x)的奇数项的系数和为的奇数项的系数和为 g(1)+g(-1), g(x)的偶数项的系数和为的偶数项的系数和为 g(1)-g(-1).返回目录返回目录 2 21 12 21 1第17页/共24页设设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+a9x9,则则|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=（ ）A.29 B.49 C.39 D.59 B(由通项公式可知，由通项公式可知，(1-3x)9的展开式中含的展开式中含x的奇

16、的奇次幂的项的符号均为次幂的项的符号均为“-”，即，即a1,a3,a9均小于零均小于零. |a0|+|a1|+|a2|+|a9|=a0-a1+a2-a9.因而在因而在(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9中令中令x=-1，便可求出其，便可求出其值值.即即 |a0|+|a1|+|a2|+|a9|=1-3(-1)9=49. 故应选故应选B.)返回目录返回目录 第18页/共24页求值：求值：（1）2n+ 2n-13+ 2n-232+ 23n-1+ 3n;（2）2 + +2 + + +2 .返回目录返回目录 构造二项式，通过赋值法求值构造二项式，通过赋值法求值.1 1n nC C2 2n n

17、C Cn nn nC Cn n- -1 1n nC C0 0n n2 2C C1 1n n2 2C C2 2n n2 2C C3 3n n2 2C Cn-1n-12 2n n2 2C Cn n2 2n n2 2C C与组合数有关的求值问题，解答过程大体上用两与组合数有关的求值问题，解答过程大体上用两个知识点个知识点:二项展开式的逆用（从右往左用）；赋值法二项展开式的逆用（从右往左用）；赋值法.第19页/共24页（1）在二项展开式）在二项展开式(a+b)n= an+ an-1 b+ bn中，令中，令a=2,b=3,得得 2n+ 2n-13+ 2n-232+ 23n-1+ 3n=(2+3)n=5n

18、. （2）原式）原式 =( )+( ) =(1+1)2n+ (1+1)2n=22n+22n-1=22n-1(2+1)=322n-1.返回目录返回目录 2n2n2n2n2 22n2n1 12n2n0 02n2nC C+ + +C C+ +C C+ +C C2n2n2n2n2 22n2n0 02n2nC C+ + +C C+ +C C2 21 10 0n nC C1 1n nC Cn nn nC C1 1n nC C2 2n nC C- -1 1n nn nC Cn nn nC C第20页/共24页证明：证明：2(1+ )n1时，时， (1+ )n=1+ + + + =1+1+ + 2.当当n=1时等号成立时等号成立.(1+ )n2成立成立.返回目录返回目录 n n1 11 11 1n n1 11 1n nC C2 2n nC Cn n1 12 2n n1 13 3n nC C3 3n n1 1n nn nC C2 2n n1 12 2n nC C2 2n n1 1n nn nC Cn nn n1 1n n1 1第21页/共24页(1+ ) n=1+ + + 1+1+ 2+ =2+ =2+1-( )n-1=3-( )n-13.2(1+ )n3成立成立.返回目录返回目录 , ,k!k!1 1n nk!