数字信号处理第2章

1、1 n模拟信号数字化处理模拟信号数字化处理 信号的数字处理与模拟处理相比有很信号的数字处理与模拟处理相比有很多优点，但实际问题中，要处理的往往是多优点，但实际问题中，要处理的往往是模拟信号。因此数字处理的第一个问题就模拟信号。因此数字处理的第一个问题就是将模拟信号数字化。处理完毕后恢复成是将模拟信号数字化。处理完毕后恢复成模拟信号。模拟信号。 模拟信号模拟信号数字信号处理数字信号处理ADCx(nT)y(nT)x(t)DACy(t)模拟信号输出模拟信号输出第第2 2章章 离散时间系统与离散信离散时间系统与离散信号的变换号的变换22.1 取样和内插n模拟信号与离散信号之间的转换模拟信号与离散信号之

2、间的转换 （1）将模拟信号离散化的过程称为抽样或取样。（2）将离散信号变为模拟信号的过程称为内插。32.1.1 取样 最常用的是等间隔周期取样，即每隔固定时间T取一个信号值。 取样频率： 取样角频率： 4n取样定理取样定理 对连续变化的模拟信号进行周期性的抽样，只对连续变化的模拟信号进行周期性的抽样，只要抽样频率等于或大于该模拟信号频带中最高频要抽样频率等于或大于该模拟信号频带中最高频率的两倍。则抽样值就能包含原始信号的全部信率的两倍。则抽样值就能包含原始信号的全部信息，利用低通滤波器就可由此抽样信息重构出原息，利用低通滤波器就可由此抽样信息重构出原始信号。始信号。 抽样频率fs与原始信号最高

3、频率fm的关系: fs2 fm5模拟信号取样实际上就是将它与取样函数相乘模拟信号取样实际上就是将它与取样函数相乘ss6n时域分析时域分析 原始信号：原始信号： 取样函数：取样函数： 则取样信号为：则取样信号为： ( )ax t7n频域分析频域分析 由傅氏变换的性质可知，两个信号若在时域是相由傅氏变换的性质可知，两个信号若在时域是相乘关系，映射到频域则为卷积的关系。乘关系，映射到频域则为卷积的关系。 因为在时域有：因为在时域有： 则在频域有：则在频域有： 或：或： ( )( )( )aaxtxt p ta1X()=() *()2aXPaX ( )=( )* ( )afXfP f8p取样信号的频谱

4、取样信号的频谱 原始信号原始信号 已知，那么其频谱已知，那么其频谱 也已知。也已知。 由由p(t)计算出取样函数的频谱计算出取样函数的频谱 ，即可根据频，即可根据频域关系计算取样函数的频谱：域关系计算取样函数的频谱：( )ax t( )aX ( )P a1X ( )=( )* ( )2aXP9计算得到计算得到取样信号的频谱为：取样信号的频谱为： 100 01 1Xa( )m m 0 xa(t)t(1)0p(t)T2Tt0 xs(t)2TTtXs( ) ss mm 1/TP( ) ss n原始信号和取样信号的频谱原始信号和取样信号的频谱11n原始信号和取样信号的频谱原始信号和取样信号的频谱12n

5、结论结论 抽样信号的频谱包含着原信号的频谱以及无抽样信号的频谱包含着原信号的频谱以及无限个经过平移的此基带频谱，频谱的幅度乘以限个经过平移的此基带频谱，频谱的幅度乘以常数常数1/T，平移的大小为取样角频率的整数倍。，平移的大小为取样角频率的整数倍。 时域中的连续信号经单位脉冲取样后，在频时域中的连续信号经单位脉冲取样后，在频域产生周期性函数，其周期等于取样角频率。域产生周期性函数，其周期等于取样角频率。 只要取样频率足够高，大于原信号频谱最高只要取样频率足够高，大于原信号频谱最高频率的两倍，该周期性函数就不会发生混迭。频率的两倍，该周期性函数就不会发生混迭。132.1.2 2.1.2 内插内插

6、p 由取样过程可知，只要取样频率不低于由取样过程可知，只要取样频率不低于原始信号频谱最高频率的两倍，得到的离原始信号频谱最高频率的两倍，得到的离散信号的频谱就不会发生混迭。散信号的频谱就不会发生混迭。p让取样信号通过一个理想的低通滤波器，让取样信号通过一个理想的低通滤波器，可以恢复出原来的连续信号。可以恢复出原来的连续信号。p因为相差一个常数因子，恢复后的信号：因为相差一个常数因子，恢复后的信号：1( )( )ag txtT14 这个过程的示意图如下：15 恢复后的信号：恢复后的信号：g(t) 理想低通滤波器的冲激响应和频率响应分理想低通滤波器的冲激响应和频率响应分别表示为别表示为h(t)和和

7、 则：则：n频域分析频域分析()H ( )( )( )aGXH 16n时域分析时域分析( )( )* ( )ag tx th t11( )( )()2ch tHrect FF计算计算h(t）：）：17由此计算得到：由此计算得到：因为已知：因为已知：()() ()*2 sin (2 )2()sin 2 ()accncacng tx nTt nTfc ftfx nTc f t nT1( )( )ag txtT1( )2()sin 2()acacnx tfx nTcf tnTT所以：所以：18 若取若取 则有：则有：n这就是内插公式，其中这就是内插公式，其中 称为内插函称为内插函数。数。12cs 1

8、()()sin ()() ()aanannx tx nTct nTTx nTt( )nt19n连续信号的内插表示连续信号的内插表示20离散信号的表示方法离散信号的表示方法离散时间信号的运算离散时间信号的运算常用离散时间信号常用离散时间信号21离散时间信号：离散时间信号：是仅定义在离散的时间点上的时间信号是仅定义在离散的时间点上的时间信号.即其时间变量仅在一个离散集上取值即其时间变量仅在一个离散集上取值: xa(nT) x(n)或者记为或者记为xn，称为序列。，称为序列。22离散信号的表示方法n数字序列如数字序列如: (0.9,0.9,08,0.3,)n有规则的可以用函数表示有规则的可以用函数表

9、示: x(n)n波形表示波形表示: 线段的长短表示各序列值的线段的长短表示各序列值的大小大小23离散信号的运算1相加：2相乘：3乘系数：( )( )( )z nx ny n( )( )( )z nx ny n( )( )z nax n( )() ( )() z nx nmz nx nm右移位左移位4移位：24( )()z nxn( )(1)( )( )( )(1)x nx nx nx nx nx n前向差分：后向差分：5倒置：6差分：7累加：8序列的能量25常用离散信号单位取样序列单位取样序列单位阶跃序列单位阶跃序列 矩形序列矩形序列实指数序列实指数序列正弦序列正弦序列26( ) ( )(0)

10、 ( )f nnfn0,()1,njnjnjn)1( n 11O1单位取样序列时移性时移性抽样性抽样性27利用单位取样序列表示任意序列： 01,1.5,0, 3,0,0,nx n 11.532nnn( )( ) ()mx nx mnm28nO)(nu111 2 32单位阶跃序列0( )( )(1)(2)(3)()ku nnnnnnk293矩形序列与与u(n)的关系的关系: Rn(n)=u(n)-u(n-N)304.实指数序列 x(n)=an， a为实数为实数 如果如果|a|1，则称为发散序列。，则称为发散序列。315. 正弦序列x(n)=sin(n0)对模拟信号对模拟信号xa(t) =sin(

11、0t)采样采样,可得到可得到正弦序列：正弦序列： xa (t)|t=nT= xa(nT) =sin(0nT)= sin(n0)= x(n)上式中有关系：上式中有关系：0=0T32n上式可以写成一般形式：上式可以写成一般形式：=T其中：其中： ： 模拟角频率模拟角频率 单位：单位：red/s 弧度弧度每秒每秒 ： 数字角频率数字角频率 单位：单位：red 弧度弧度n具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率采样得到的序列，模拟角频率与序列的与序列的数字域频率数字域频率成线性关系。比例常数就是成线性关系。比例常数就是抽样周期抽样周期T。332.3

12、 离散系统及其特性离散系统及其特性2.3.1 离散系统的定义 从数学上定义，离散系统表示输入序列从数学上定义，离散系统表示输入序列x(n)映射成输出序列映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。的唯一性变换或运算。( ) ( )y nT x n342.3.2 线性非移变系统n1. 系统的线性系统的线性设设x1(n)和和x2(n)是两个任意的离散信号，是两个任意的离散信号，a,b为为两个任意常数，若满足下式，则为线性系统。两个任意常数，若满足下式，则为线性系统。1212( )( )( )( )T axnbxnaT xnbT xn35对系统对系统T有有Tx(n)=y(n),若满足下式，则该系统为非

13、移变的：若满足下式，则该系统为非移变的：n2. 系统的非移变特性系统的非移变特性00 ()()T x nny nn362.3.3 系统的单位取样响应,离散信号的线性卷积n1. 单位取样响应单位取样响应 当输入信号是单位取样序列时的输出信号就当输入信号是单位取样序列时的输出信号就是此离散系统的单位取样响应。记为是此离散系统的单位取样响应。记为h(n):h(n):()()h nTn37n2. 离散信号的线性卷积离散信号的线性卷积1212( )( )*( )( )()ky nxnxnxk xnk 设设x x1 1(n)(n)和和x x2 2(n)(n)是两个任意的离散信是两个任意的离散信号，定义它们

14、的线性卷积为：号，定义它们的线性卷积为：或者：或者：2121( )( )*( )( ) ()ky nx nx nx k x nk38n3. 3. 线性非移变系统对输入信号的响应线性非移变系统对输入信号的响应( ) ()( ) ()( )* ( )nnx k Tnkx k h nkx nh n( ) ( )y nT x n( )( ) ()ny nTx knk392.3.4 线性卷积的计算1. 由解析式计算由解析式计算2. 做图法做图法3. 序列排列法序列排列法40n例2.4 一个LTI系统的单位脉冲响应为 ,求当输入信号为矩形序列 时的输出 .1. 由解析式计算由解析式计算( )(0.9)(

15、)nh nu n( )( )(10)x nu nu n( )y n解: 由离散卷积的定义得到99()00( )(1)(0.9)()(0.9)(0.9)()n knkkky nu nku nk(1) n0时：u(n-k)=0, 因此y(n)=0(2)0n9时：u(n-k)=1, 因此y(n)=101-(0.9)n+1(3) n9时：u(n-k)=1, 因此99100( )(0.9)(0.9)10(0.9)1(0.9) nknky n(0k n)412. 做图法做图法423. 序列排列法序列排列法A=3,2,1, B=1,1,1,1, C=c1,c2,c6 3 2 1 1 1 1 1 c1=1*3

16、=3 1 1 1 1 c2=1*3+1*2=5 1 1 1 1 c3=6 1 1 1 1 c4=6 1 1 1 1 c5=3 1 1 1 1 c6=1432.3.5 系统的稳定性和因果性系统的稳定性和因果性1. 稳定性稳定性:一个离散系统，输入序列有界时一个离散系统，输入序列有界时, 如果其输出序列如果其输出序列也有界也有界, 则此系统是稳定的。则此系统是稳定的。对一切对一切n, |x(n)| |y(n)| 44n线性非移变系统稳定的条件的推导：线性非移变系统稳定的条件的推导：( )( )* ( )( ) ()ky nh nx nh k x nk( )( ) ()( )()kky nh k x

17、 nkh kx nk若若x(n)有界，则存在以一正数，使：有界，则存在以一正数，使：( )x nM( )( )ky nMh k( )kh n 45n2. 因果性因果性 若一个系统的输出变化不会发生在输若一个系统的输出变化不会发生在输入变化之前，则该系统为入变化之前，则该系统为因果系统因果系统。一个线性非移变系统是因果系统的充分必要条件：一个线性非移变系统是因果系统的充分必要条件：其单位取样响应其单位取样响应h(n)当当n0时等于时等于0对某一个时刻对某一个时刻n0, 当当nn0时时,x1(n)=x2(n), 则则 当当nn0时时,也有也有y1(n)=y2(n)46必要性：如果一个线性非移变系统

18、必要性：如果一个线性非移变系统h(n)是因果系统，是因果系统， (简简) 则当则当n0时时h(n)=0对某一个对某一个n0，设，设n n0 ，x1(n)=x2(n)时，也有时，也有y1(n)=y2(n)0111111110( )( ) ()( ) ()( ) ()kkky nh k x nkh k x nkh k x nk对某一个对某一个n1，设，设n1 n00212121210( )( )()( )()( )()kkky nh k x nkh k x nkh k x nkn1 -k n0当当k0时时h(k)=047充分性：如果一个线性非移变系统，当充分性：如果一个线性非移变系统，当n0时时h

19、(n)=0 (简简) 则是因果系统则是因果系统 即对某一个即对某一个n n1 1nn0 0，x1(n1 1)=x2(n1 1)，则，则y1(n1 1)=y2(n1 1)1111110( )( ) ()( ) ()nny nh n x nnh n x nn2121210( )( )()( )()nny nh n x nnh n x nn当当n n时，时，n1 1-n n-n n0 0，于是，于是x1(n1 1)=x2(n1 1)，因此因此y1(n1 1)=y2(n1 1)482.3.6 系统的差分方程描述( )., (1), ( ), (1),.y nfx nx nx n1. 非递归型：非递归型

20、：输出对输入无反馈( )()(iiiy na x nia为常数）线性非移变线性非移变因果系统因果系统有限项有限项0( )()iiy na x ni0( )()Niiy na x ni49n2. 递归型递归型系统输出值不仅取决于输入，也取决于输出值系统输出值不仅取决于输入，也取决于输出值若系统是线性非移变，因果的：若系统是线性非移变，因果的：01( )()()MNiiiiy na x nib y ni( )., (1), ( ), (1),.,(1),(1),.y nfx nx nx ngy ny n50能否直接对离散信号能否直接对离散信号求傅氏变换得到其频求傅氏变换得到其频谱函数？谱函数？2.

21、4.1 问题的提出1( )()aasnXXnT 该结论是由该结论是由“时域相乘，频域卷积时域相乘，频域卷积”的关的关系推导得出的：系推导得出的： ( )( )( )1()()*()2aaaaxtxt p tXXP 2.4 2.4 离散信号的傅氏变换离散信号的傅氏变换取样信号的频谱：取样信号的频谱：51n2.4.2 离散信号傅氏变换对的推导( )( )( ) ( )aaaXx tx t p t FF() ()anxnTtnTF() ()anx nTtnTF()jnTanx nT e520000/2/20( )1( )jntnnTjntnTf tA eAf t edtT002T 周期为周期为T0

22、( )()jn TaanXx nT e / 2/ 21()()ssjnTaasxnTXed周期为取样角周期为取样角频率：频率： s2sT53n最终离散信号傅氏变换对表示为最终离散信号傅氏变换对表示为( =T)：X()1( )X()2jjex ned-jnn=-jn=x(n)eenX(ej ) 是数字角频率是数字角频率 的周期函数的周期函数, 周期为：周期为： sT=2542.4.3 离散信号傅氏变换的性质1122( )()( )()jjx nX ex nXen线性线性若：若：则：则：1212( )( )()()jjax nbx naX ebXe55n时移与频移特性：时移与频移特性：若：若：则：

23、则：()jXex ( n )0000()()()( )()j njjnjx nneX eex nX e 56n序列的卷积特性序列的卷积特性1212( )*( )()()jjx nx nX eXe频域卷积定理：时域卷积定理：12121( )( )()*()2jjx nx nX eXe()121()()2jjX eXed 571212( )( )( )( )jnnx nx nx nx n eFn证明证明：12( )()jnnkx k x nk e 12( )()jnknx kx nk e()12( )()jkj n kknx k ex nk e12( )()jkjkx k eXe21()()jjX

24、eX e58n离散信号的傅氏变换是离散信号的傅氏变换是的周期函数，的周期函数，周期为周期为2n序列傅氏变换的周期性序列傅氏变换的周期性证明：证明：(2 )(2 )( )jjnnX ex n e2( )jnjnnx n ee( )jnnx n e()jX e59n序列傅氏变换的对称性序列傅氏变换的对称性共轭对称序列共轭反对称序列( )()eex nxn( )()oox nxn 60n任意一个序列总能表示成一个共轭任意一个序列总能表示成一个共轭对称序列和一个共轭反对称序列之对称序列和一个共轭反对称序列之和：和：( )( )( )eox nx nx n*1( ) ( )()21( ) ( )()2e

25、oxnx nxnxnx nxn其中其中：61n若若x(n)为复序列为复序列p性质性质3：p性质性质4：Re ( )()jex nXe Im ( )()jojx nX e 证明：证明：*1Re ( )( )( )21()()()2jjjex nx nx nX eXeXe *01Im ( )( )( )21()()()2jjjjx nx nx nX eXeXe 62n若若x(n)为复序列为复序列p性质性质5：p性质性质6：( )Re()jex nX e ( )Im()jox njX e 证明：证明：*1( )( )()21()()Re()2ejjjx nx nxnX eXeX e *1( )( )

26、()21()()Im()2ojjjx nx nxnX eXejX e 63推论：要画出X(ej)的幅频特性，只要画出其半个周期即可，通常在实际中是选择0, 的部分642.4.4 线性非移变系统的频率响应线性非移变系统的输入输出关系为：线性非移变系统的输入输出关系为：( )( )*( )y nx nh n由序列的卷积特性得：由序列的卷积特性得：()()()jjjY eX eH e定义定义H(ej)为系统的频率响应。为系统的频率响应。65n频率响应的求取：频率响应的求取：()( )jjnnH eh n e()()()jjjY eH eX e()jH e()jH e幅度响应：幅度响应：相位响应：相位

27、响应：或：或：66n线性模拟系统线性模拟系统描述方法：常系数线性微分方程描述方法：常系数线性微分方程求解方法：解常系数线性微分方程（时域求解方法：解常系数线性微分方程（时域方法）方法）拉氏变换的作用：转化为解代数方程（频域方法）拉氏变换的作用：转化为解代数方程（频域方法）n线性离散系统线性离散系统描述方法：差分方程描述方法：差分方程求解方法：解差分方程（时域方法）求解方法：解差分方程（时域方法）Z变换的作用：转化为解代数方程（频域方法）变换的作用：转化为解代数方程（频域方法）2.5 离散信号的Z变换67nZ变换的定义及其收敛域变换的定义及其收敛域序列的序列的Z变换定义为：变换定义为：( ) (

28、 )( )nnX zx nx n zZ Z= z: X(z)收敛域存在在收敛域内，在收敛域内，X(z)为解析函数，具有高阶导数，为解析函数，具有高阶导数，极点都在收敛域之外。极点都在收敛域之外。收敛域：收敛域：对于任意的序列，使其对于任意的序列，使其Z变换收敛的变换收敛的Z 值集合称为值集合称为X（z）的收敛域。）的收敛域。68n右边序列的右边序列的Z变换变换右边序列的定义将nR- 左边序列收敛域： |z|R+因此双边序列的收敛域是一个环状区域： R-|z| R+76n例：求下面序列的例：求下面序列的Z变换：变换：( )( )(1)nnx na u nbn 解：( )zzX zzazb若若 ，

29、收敛域为空集，收敛域为空集，X(z)不存在。不存在。 ba若若 ，收敛域为，收敛域为 abazb7778n例：例：已知X(z)的3个极点z1, z2 , z3, 且|z1| | z2| | z3|若 x(n)为左边序列，则X(z)收敛域为：| z|0时，c内无极点，采用2.83式，x(n)=02.当n0时，在z=2有一个一阶极点，z=0有一个极点，阶次根据n不同，阶数可能从1到无穷大。采用2.84式，确定积分围线确定积分围线：c在半径为2的圆内1( )2nzz 1( )Re ( ),2(2)2nx ns Xz z 归纳1，2( )2()nx nun1042.6 单边Z变换n单边单边Z变换的定义

30、变换的定义0( )( )nInXzx n zn 单边单边Z变换的收敛域变换的收敛域由于单边由于单边Z变换只含变换只含z的负指数项，其收敛域在半径的负指数项，其收敛域在半径为某以个值的圆周之外，包括为某以个值的圆周之外，包括z等于无穷大在内。等于无穷大在内。n 适用场合适用场合单边单边Z变换适用于需要初值条件解决因果系统响应变换适用于需要初值条件解决因果系统响应的问题的问题。105n单边单边Z反变换反变换计算方法与因果序列的计算方法与因果序列的Z反变换相同反变换相同但是解并不唯一但是解并不唯一 因为对单边因为对单边Z变换求出的反变换，仅是变换求出的反变换，仅是x(n)在在n大于等于大于等于0时的

31、表达式，时的表达式，n小于小于0时则是不定时则是不定的。的。106n单边单边Z变换的性质变换的性质 ( )( )IIx nXzZ Z 双边双边Z变换的定理和性质，除了和移位有关变换的定理和性质，除了和移位有关的外，其它都适用于单边的外，其它都适用于单边Z变换。变换。n 单边单边Z变换的移位性质变换的移位性质右移：右移：左移：左移：0001200 ()( 1)( 2).()( )nnnIIx n nxzxzx nzX z Z Z000 ()( )0,1,.,1nIIx nnz Xznn需假设当时，x(n)=0Z Z若：若：107000 ()()nInx n nx n nzZ Z1010()1()

32、nnnnx nz00011(2)(1)0010().( 2)( 1)()nnnnnxn zxzxzzx nz右移：右移：000(2)00(1().( 2)( 1)( )nnnIxn zxzxzzXz）10(n =n+n )108000 ( +)( +)nInx n nx n nzZ Z2020()2()nnnnx nz02220( )nnnzx nz左移：左移：202若n =0,1,.,n -1时x(n )=0,则：0220n-n2n =n=zx(n )z0( )nIz Xz20(n =n+n )1091( )( )( )( 1)IIIY zXzaz Y zayP.41 例例 2.10 解解: 取单边取单边Z变换变换故有故有1( )( 1)( ),1IIXzayY zazza而而00101( )1jnnIjnX zeezz01jze所以所以01111( ),1(1)(1)IjakY zazazezmax(,1)za000011111( )111jIjjjakaeY zazaeazaeez000(1)11( ),jnnnjjaey nkaaeae0n 1102.7 Z变换与傅氏变换的关系n关系：关系：z=ejw 傅氏变换就是单位圆上的z变换n收敛条件：收敛