大学物理竞赛专题辅导之机械波

1、 理 学 院 物 理 系 张 晚 云理 学 院 物 理 系 张晚云1 1、描述波的物理量、描述波的物理量 u 仅取决于媒质仅取决于媒质波源、相对运动波源、相对运动液体和气体中的波速液体和气体中的波速 Bu 体积体积模量模量特别：理想气体中的波速特别：理想气体中的波速molMRTPu 固体中的波速固体中的波速 Gu Yu 切变切变模量模量弹性弹性模量模量横横 波波纵纵 波波 理 学 院 物 理 系 张晚云2 2、平面简谐波、平面简谐波(1)(1)波函数波函数 )cos(,0kxtAtxy 波源初相位波源初相位)(cos0 uxtA(2)(2)物理意义物理意义(a)当当x= x0时时-该处的振动方

2、程该处的振动方程 )cos(,000kxtAtxy 该处初相位该处初相位(b)当当t= t0时时-该时刻的波形方程该时刻的波形方程 )cos(,000kxtAtxy 2 k波源振动方程波源振动方程)(2cos0 x xt tA A 理 学 院 物 理 系 张 晚 云3、简谐波的能量与能流密度简谐波的能量与能流密度(1)(1)平均能量密度平均能量密度2212wA(2)(2)平均能流（波的功率）平均能流（波的功率） uSAuSwP2221(3)(3)平均能流密度（波的强度）平均能流密度（波的强度）2212IwuA u 理 学 院 物 理 系 张 晚 云4、波的相干叠加波的相干叠加)cos(:111

3、1 tAyS)cos(:2222 tAyS cos2212221AAAAAp )(2)(1212rr 21 若若 m 2/) 12( m加强加强减弱减弱21rr m2 ) 12( m加强加强减弱减弱21maxAAAA |21minAAAA (1)(1)一般规律一般规律 理 学 院 物 理 系 张 晚 云(2)(2)特例特例驻波驻波【形成】两等幅、等速的反向波发生相干叠加的结果【形成】两等幅、等速的反向波发生相干叠加的结果【特点】分段振动的稳定态，无相位、能量的传播【特点】分段振动的稳定态，无相位、能量的传播注意：半波损失及其发生条件注意：半波损失及其发生条件 在固定端反射、从波疏媒质垂直（或掠

4、）在固定端反射、从波疏媒质垂直（或掠）入射到小波密媒质界面反射时，产生半波损失入射到小波密媒质界面反射时，产生半波损失 理 学 院 物 理 系 张 晚 云振动的本征频率与简正模振动的本征频率与简正模21l222l233l, 3 , 2 , 1,2 nnl 41l432l453l, 2 , 14) 12( nnln u SSRRuu 反反之之，为为负负值值相相互互接接近近，取取为为正正值值；、SR 5 5、多普勒效应、多普勒效应 (1)(1)机械波的多普勒效应：机械波的多普勒效应：( (S和和R在同一直线上运动在同一直线上运动) ) 理 学 院 物 理 系 张晚云注：注：S和和R不不在同一直线上

5、运动，只需写出它们在连线在同一直线上运动，只需写出它们在连线 方向上的速度分量，代入上式进行计算即可。方向上的速度分量，代入上式进行计算即可。(2)(2)电磁波的电磁波的多普勒效应多普勒效应SRcc 相相对对速速度度SR (3)(3)若若Su，则产生冲击波则产生冲击波 Su S MVus1sin 马赫数马赫数注：注：带电粒子在介质中运动中，也可辐射锥形电磁波。带电粒子在介质中运动中，也可辐射锥形电磁波。理 学 院 物 理 系 张晚云典型问题及示例典型问题及示例波动考题大致可分为以下几种类型波动考题大致可分为以下几种类型(2) (2) 由已知点的振动，求波动表达式；由已知点的振动，求波动表达式；

6、(3) (3) 已知波形曲线，求波动表达式；已知波形曲线，求波动表达式；(5) (5) 波的叠加波的叠加波的干涉和驻波；波的干涉和驻波；(6) (6) 多普勒效应。多普勒效应。(4) (4) 波的能量或能流；波的能量或能流；理 学 院 物 理 系 张晚云一、由已知点的振动，求波动表达式一、由已知点的振动，求波动表达式 解题思路：解题思路：(1)(1)由题设条件写出波源或传播方向上某一点由题设条件写出波源或传播方向上某一点(x=x0)的振动表达式；的振动表达式；(2)(2)在波线上任取一点在波线上任取一点p( (坐标为坐标为x) )，计算由传播路径，计算由传播路径引起的点振动相位比已知点超前或滞

7、后量：引起的点振动相位比已知点超前或滞后量：(3)(3)在原振动表达式中的加上（超前）或减去（滞后）在原振动表达式中的加上（超前）或减去（滞后）上述相位差即得到波动表达式；上述相位差即得到波动表达式；)(20 xx 注意：若涉及反射，则讨论半波损失。注意：若涉及反射，则讨论半波损失。2008.03 理 学 院 物 理 系 张 晚 云例例1 如图，如图，处波源的振动方程为处波源的振动方程为 该振动以平面波形式沿该振动以平面波形式沿x轴正向传播，波速为轴正向传播，波速为u。在。在距波源距波源d处发生反射，反射点为一固定端。设反射时处发生反射，反射点为一固定端。设反射时无能量损失，试求反射波的表达式

8、。无能量损失，试求反射波的表达式。 )(2cos0SItAy x入射波入射波xd提示：提示：(1)(1)传播过程传播过程相位延迟：相位延迟：)2(2x xd d (2)(2)固定端反射固定端反射半波损失半波损失)()2(22cos),(S SI Ix xd dt tA At tx xy yr r 反射波反射波补充：半波反射和全波反射补充：半波反射和全波反射半波反射半波反射固定端固定端入射波入射波反射波反射波全波反射全波反射反射波反射波入射波入射波自由端自由端理 学 院 物 理 系 张晚云理 学 院 物 理 系 张晚云二、已知波形曲线，建立波动表达式；二、已知波形曲线，建立波动表达式； 解题思路

9、：解题思路：(1)(1)由某时刻的波形曲线写出振幅与波长等，由某时刻的波形曲线写出振幅与波长等，特别要特别要注意从曲线上确定某点（如原点）的振动相位，通常注意从曲线上确定某点（如原点）的振动相位，通常是用旋转矢量法。是用旋转矢量法。(2)(2)写出上述某点的振动方程；写出上述某点的振动方程；(3)(3)根据传播方向写出波动表达式。根据传播方向写出波动表达式。 注意：若同时给出两个时刻的波形图，注意：若同时给出两个时刻的波形图， 可得到波速等信息。可得到波速等信息。1. 一沿一沿x 轴负向传播的平面余弦波在轴负向传播的平面余弦波在t =1/3 s时的波时的波形如图所示，且周期形如图所示，且周期T

10、 =2s PQ20 x/cmoy/cm-5.u(1)(1)写出写出O点的振动表式点的振动表式; ;(2)(2)写出此波的波动表式写出此波的波动表式; ;(3)(3)写出写出Q点的振动表式点的振动表式(4)(4)Q点离点离O点的距离多大点的距离多大? ? 理 学 院 物 理 系 张晚云 解：解：0.5Hz =20cm/s= 400.5A =10cm =40cm2T=u =2sT(1)(1)由旋转矢量法可知由旋转矢量法可知O点在点在t=1/3s时的相位为时的相位为-2/313t+= + =23= ()10tcos=y0O点的振动规律：点的振动规律：+=x2032)(+10tcos=yQ6=23.3

11、cmx13t+= + 2= 6(2)(2)波动方程为波动方程为(3)(3)对于对于Q点点由由(1)(1)式：式：+()10tcos=yx20(1)理理 学学 院院 物物 理理 系系 张晚云张晚云()10tcos=y0PQ20 x/cmoy/cm-5.u例例6.已知一列沿已知一列沿x正向传播的简谐波在正向传播的简谐波在t1=0和和t2=0.25s时的波形如图所示。求：时的波形如图所示。求： (1)P点的振动表式点的振动表式; ; (2)此波的波动表式此波的波动表式; ; x / moy / m0.20.45ut1=0t2=0.25sP. 解：解： A =0.2m =0.6mT=1s= 40.25

12、 1Hz =2T=2 2=u =0.6m/s+0.2tcos=2yx20.6 t =0 x =0y =0v0 2=+2310 x0.2tcos=2y理 学 院 物 理 系 张晚云+2310 x0.2tcos=2y2+0.2tcos=2yO2+0.33100.2tcos=2yP20.2tcos=2理 学 院 物 理 系 张晚云x / moy / m0.20.45ut1=0t2=0.25sP.2例例3 如图所示为一平面简谐波在如图所示为一平面简谐波在t = 2 s时刻的波形图，时刻的波形图，设此简谐波的频率为设此简谐波的频率为250 Hz，且此时质点，且此时质点P的运动方向的运动方向向下，求向下，

13、求(1) (1) 该波的波函数；该波的波函数；(2) (2) 在距原点在距原点O为为100 m处质点的振动方程处质点的振动方程 与振动速度表达式。与振动速度表达式。提示：先根据提示：先根据P P点的振动方向可判断波向左传播。点的振动方向可判断波向左传播。uA/2x (m)y (m)o100 mP 理 学 院 物 理 系 张 晚 云t =2s y (m)2uA/2x (m)o100 mP2A/2/4t = 2s yo 理 学 院 物 理 系 张 晚 云4)(20 s st tt t再求再求O 点振动的初相：点振动的初相：写出波函数：写出波函数： )cos(,0 kxkxt tA At tx xy

14、 y代入考察点点坐标，得该点振动方程代入考察点点坐标，得该点振动方程理 学 院 物 理 系 张晚云三、波的能量三、波的能量要求：熟记相关公式，要求：熟记相关公式，注意波动能量与谐振动能量的区别。注意波动能量与谐振动能量的区别。1. 一扬声器的膜片，半径为一扬声器的膜片，半径为0.1m，使它产生，使它产生 l kHz、40W的声辐射，则膜片的振幅应多大的声辐射，则膜片的振幅应多大? ?已知该温度下空已知该温度下空气的密度为气的密度为=1.29kg/m3，声速为，声速为344m/s。 提示：提示：u 12AI2=2Pr2=2 2、一扬声器各向同性地发出频率为、一扬声器各向同性地发出频率为2kHz的

15、球面波，在的球面波，在6m远处的强度为远处的强度为1.010-3 W/m2，设没有反射，则。，设没有反射，则。 (1)(1)在在30m处的声强为多大处的声强为多大? ? (2) (2)6.0m处的位移振幅为多大处的位移振幅为多大? ? 解：解：2530=62=I61251.010-3 2=I6I30r30r62(1)1I3025=4.010-5 ( W/m2 ) u 12AI2=2u12AI=1.7210-7 ( m ) (2)理 学 院 物 理 系 张晚云理 学 院 物 理 系 张晚云四、波的叠加四、波的叠加干涉与驻波干涉与驻波波的干涉问题主要是计算相干波在相遇处是增强波的干涉问题主要是计算

16、相干波在相遇处是增强还是减弱，这可通过二者相位差或波程差来确。还是减弱，这可通过二者相位差或波程差来确。驻波问题中，重点是计算波腹和波节的位置，关驻波问题中，重点是计算波腹和波节的位置，关键是写出入射波与反射波在相遇点的相位差或波程差。键是写出入射波与反射波在相遇点的相位差或波程差。1海边有一发射天线发射波长为海边有一发射天线发射波长为的电磁波，海轮上有一接的电磁波，海轮上有一接收天线，两天线都高出海面收天线，两天线都高出海面H，海轮自远处接近发射天线。，海轮自远处接近发射天线。若将平静海面视为水平反射面，当海轮第一次接收到时讯若将平静海面视为水平反射面，当海轮第一次接收到时讯号极大值时，两天

17、线的距离为号极大值时，两天线的距离为。发射发射天线天线24222 xxHxH 反射波与直射波的波程差：反射波与直射波的波程差： k 1442 Hx变化：两天线高度不等；变化：两天线高度不等；船船飞机飞机(波源波源)，结果如何？，结果如何？变变1. 地面上波源地面上波源S与高频率波探测器与高频率波探测器D之间的距离为之间的距离为d，从从S直接发出的波与从直接发出的波与从S发出经高度为发出经高度为H的水平层反射后的水平层反射后的波，在的波，在D处加强，反射线及入射线与水平层所成的角处加强，反射线及入射线与水平层所成的角度相同。当水平层逐渐升高度相同。当水平层逐渐升高h距离时，在距离时，在D处测不到

18、讯号。处测不到讯号。不考虑大气的吸收。试求不考虑大气的吸收。试求此波源此波源S发出波的波长。发出波的波长。dhHSD32112BA提示：提示：SBBD+=d1SAAD+=d22d1 +=kd 1、3两波在两波在D处干涉加强处干涉加强2、3两波在两波在D处干涉相消处干涉相消1()+2d2 +=kd22 d2=2 d1得得理 学 院 物 理 系 张晚云变变2. 图为演示声波干涉的声音干涉仪。图为演示声波干涉的声音干涉仪。S为扬声器，为扬声器，D为声音探测器。路径为声音探测器。路径SAD固定，但路径固定，但路径SBD的长度可变。的长度可变。干涉仪内有空气，声强在干涉仪内有空气，声强在B的第一位置时为

19、极小值的第一位置时为极小值100单位，而渐增至单位，而渐增至B 距第一位置为距第一位置为1.65cm 的第二位置时，的第二位置时，有极大值有极大值 900单位，求：单位，求：(1)(1)声源发出的声波频率声源发出的声波频率; ; (2)(2)抵达探测器的两波的相对振幅抵达探测器的两波的相对振幅 ABDS理 学 院 物 理 系 张晚云(1)(1)由题意由题意解：解：4 =1.6510-2(m) = 6.610-2(m) =u =331=5015(Hz)6.610-2(2)(2)A1=A2I1I21001900=3=例例2. 有一平面波的波动方程为：有一平面波的波动方程为：此波传到隔板上的两个小孔

20、此波传到隔板上的两个小孔A、B上，上，A、B相距相距1m,PAPB ,如如图所示。若从图所示。若从 A、B 传出的子波到达传出的子波到达P 时时恰好第一次相消，求恰好第一次相消，求P 点到点到A点的距离。点的距离。2tycos=x330600(SI)ABP理 学 院 物 理 系 张晚云u =330m/s=300Hz =u =330300=1.1(m)2tycos=x330600解：解：ABPx1m ()2PBPA=1()+=k2=2 ()PBPA1()+k20=k令令得得1 x2+=x2 x =0.634m解得：解得：理 学 院 物 理 系 张晚云1x=4 2 1变题变题1 1：如图所示，从远

21、处声源发出的波长为如图所示，从远处声源发出的波长为 的声波的声波垂直入射到墙上，墙上有两相距为垂直入射到墙上，墙上有两相距为 的小孔的小孔A和和B。若。若将一探测器沿与墙垂直的将一探测器沿与墙垂直的AP直线移动，则只能探测到直线移动，则只能探测到两次极大，它们的位置两次极大，它们的位置Q1、Q2已定性地在图中示出，已定性地在图中示出，则则Q1、Q2到到A点的距离分别为点的距离分别为d1 = ，d2 =。 声声波波BAQ2Q1P33理 学 院 物 理 系 张晚云提示：提示：222AQBQ 设设111AQBQ 设设AB 12 则则 3 ;21 2例例3. 标准声源能发出频率为标准声源能发出频率为0

22、=250Hz的声波，一音的声波，一音叉与该标准声源同时发声，产生频率为叉与该标准声源同时发声，产生频率为1.5Hz的拍音，的拍音，若在音叉的臂上粘上一小块橡皮泥，则拍频增加，由此若在音叉的臂上粘上一小块橡皮泥，则拍频增加，由此可知，音叉的固有频率可知，音叉的固有频率= 。将上述音叉置于。将上述音叉置于盛水的玻璃管口调节管中水面的高度，当管中空气柱高盛水的玻璃管口调节管中水面的高度，当管中空气柱高度度L从零连续增加时，发现在从零连续增加时，发现在L=0.34m和和1.03m时产时产生相继的两共鸣，由以上数据可得声波在空气中的传播生相继的两共鸣，由以上数据可得声波在空气中的传播速度为速度为。理 学

23、 院 物 理 系 张晚云提示：提示： 0 拍拍0 拍拍 0拍拍音叉粘橡皮泥音叉粘橡皮泥 此时拍频此时拍频()拍拍 0 mHz5 .248 共鸣时气柱内形成驻波共鸣时气柱内形成驻波4/)12( k kL Ln n连续两次共鸣时气柱的高度差连续两次共鸣时气柱的高度差2/ nL nL2 理 学 院 物 理 系 张晚云五、多普勒效应典例求解五、多普勒效应典例求解 1. (1) (1)一波源一波源( (=2040Hz) )以速度以速度s向一反射面接近，向一反射面接近，观察者在观察者在A点听得拍音的频率为点听得拍音的频率为 = 3Hz ，求波源，求波源移动的速度移动的速度s ，设声速为，设声速为340m/s； (2)(2)若若(1)(1)中波源没有运动，而反射面以速中波源没有运动，而反射面以速度度=0.20m/s向观察者接近向观察者接近, ,所听得的拍音频率所听得的拍音频率= 4Hz求波源的频率。求波源的频率。Avs波源波源观测者观测者解解(1)： 观察者直接听到的频率为观察者直接听到的频率为 uSvu+= 1 由反射面反射后的波的频率为由反射面反射后的波的频率为 uSvu-= 2=21=Sv uSvu222+=0 Sv2Sv u2 u2+=0 Sv2Sv u2 u2