第3章时域分析

1、1第第3 3章章 时域分析法时域分析法l3.1 典型输入信号和时域性能指标典型输入信号和时域性能指标l3.2 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析l3.3 控制系统的暂态性能分析控制系统的暂态性能分析 l3.4 控制系统的稳态性能分析控制系统的稳态性能分析l3.5 MATLAB用于时域响应分析用于时域响应分析 2什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入信号作用下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态性能和稳态性能。 时域分析是一种在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观和准确的优点。由于系统的输出量的时域表达式是时间的函数，所以系统的输出量的时域表达式又称为系统的时间响应。 3l

2、系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传递函数得到。在初值为零时，可利用传递函数进行研究，用传递函数间接的评价系统的性能指标。l控制系统的性能指标，可以通过在输入信号作用下系统的瞬态和稳态过程来评价。系统的瞬态和稳态过程不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。 4 在分析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准-典型输入信号。条件：1. 能反映实际输入； 2. 在形式上尽可能简单，便于分析； 3. 使系统运行在最不利的工作状态。 1阶跃函数（位置函数）：阶跃函数（位置函数）： )( 1)(ttrstL1)( 1 000)(ttAtr3.1 典型输入信号和时域性能

3、指标典型输入信号和时域性能指标3.1.1 典型输入信号典型输入信号6l当当A =1时，时， 称为单称为单 位斜坡函数。位斜坡函数。 )( 1)(tttr),( 1)( 1.1)( 12tttdtdsttL0( )00Attr tt71A 当时)( 121)(2tttr).( 1)( 1212ttttL3抛物线函数（等加速度函数）抛物线函数（等加速度函数）称为单位抛物线函数，称为单位抛物线函数，记作记作 且且 抛物线函数的导数是斜坡函数。抛物线函数的导数是斜坡函数。210( )200Attr tt80,0, 0)(ttt4脉冲函数：脉冲函数：, 1)(dtt及. 1)(tL0( )00Athr

4、thtth ,01( )hAt当、时，称为单位脉冲函数，记作。Ah( )r t)(thot9抛物线信号的导数是斜坡信号，斜坡信号的导抛物线信号的导数是斜坡信号，斜坡信号的导数是阶跃信号，而阶跃信号的导数是脉冲信号。数是阶跃信号，而阶跃信号的导数是脉冲信号。dtttttdtd)()( 1)()( 1 ，及，及4脉冲函数（续）脉冲函数（续）5正弦函数：正弦函数：000sin)(tttAtr10 选典型信号时应尽量选典型信号时应尽量接近接近实际工作情况，如输实际工作情况，如输 入具有突变情况时选阶跃函数，输入随时间入具有突变情况时选阶跃函数，输入随时间增增 加而变化时选斜坡函数，周期性变化时选正弦加

5、而变化时选斜坡函数，周期性变化时选正弦 函数等。函数等。22 sAtALsin正弦信号可以用于研究系统对不同频率的正弦输入的响应。11（一）衰减振荡：（一）衰减振荡：具有衰减振荡的瞬态过程具有衰减振荡的瞬态过程如图所示：如图所示： 延迟时间延迟时间 ：dt输出响应第一次达到稳输出响应第一次达到稳态值的态值的50%50%所需的时间。所需的时间。)(ydt2)(y 上升时间上升时间 ：rt输出响应第一次达到稳态值输出响应第一次达到稳态值y()y()所需的时间。无衰减振荡所需的时间。无衰减振荡时指由稳态值的时指由稳态值的10%10%上升到稳态值的上升到稳态值的90%90%所需的时间。所需的时间。 通

6、常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义暂态过程的时域性能指标。稳定系统的阶跃响应的单位阶跃响应函数有衰减振荡和单调变化两种。rt3.1.2 时域性能指标时域性能指标暂态过程的性能指标暂态过程的性能指标12 最大超调量最大超调量(简称超调量简称超调量) ：%max( )%100%( )yyy式中：式中： 输出响应的最大值；输出响应的最大值； maxy)(lim)(tyyt稳态值；稳态值；输出响应超过稳态值达到第输出响应超过稳态值达到第一个峰值一个峰值ymaxymax所需要的时间。所需要的时间。 峰值时间峰值时间 ：pt)(yptmaxy瞬态过程中输出响应的最大值瞬态过程中输出响应的最大值超过

7、稳态值的百分数。超过稳态值的百分数。 调节时间或过渡过程时间调节时间或过渡过程时间 ：st当当 和和 之间的误差达到规定的范围之内（一般取之间的误差达到规定的范围之内（一般取 的的5%5%或或2%2%，称允许误差范围，用，称允许误差范围，用D D表示）且以后不再超表示）且以后不再超出此范围的最小时间。即当出此范围的最小时间。即当 ，有：，有：)(ty)(y)(ystt )52(%)(|)()(|或yyty)(02. 0)(05. 0yy或st13 振荡次数振荡次数N：srpttt,在上述几种性能指标中，在上述几种性能指标中， 表示瞬态过程进行的快慢，是表示瞬态过程进行的快慢，是快速性指标；而快

8、速性指标；而 反映瞬态过程的振荡程度，是振荡性指反映瞬态过程的振荡程度，是振荡性指标。其中标。其中 和和 是两种最常用的性能指标。是两种最常用的性能指标。%,N%st)(y在调节时间内，在调节时间内，y(t)y(t)偏离偏离 的振荡次数。的振荡次数。0trtptstymaxy)(y2)(y)(05. 0y)(02. 0y或或td14主要是稳态误差。主要是稳态误差。式中式中：e(t)=给定输入值给定输入值-实际输出值（单位反馈）；实际输出值（单位反馈）；E(s)是系统是系统的偏差。的偏差。)(lim)(lim0ssEteestss稳态过程的性能指标稳态过程的性能指标对一个控制系统的要求对一个控制

9、系统的要求 系统应该是稳定的；系统应该是稳定的； 系统达到稳态时，应满足给定的稳态误差的要求；系统达到稳态时，应满足给定的稳态误差的要求； 系统在瞬态过程中应有好的快速性。系统在瞬态过程中应有好的快速性。 简称为：简称为：稳、准、快稳、准、快153.2 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析3.2.1 稳定的概念稳定的概念 稳定性是系统能够正常工作的首要条件。稳定性是系统能够正常工作的首要条件。 稳定性的概念：稳定性的概念：一个处于某平衡状态的系统，在扰动信号的一个处于某平衡状态的系统，在扰动信号的作用下，会偏离原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统又能作用下，会偏离原来的平衡状态，当扰动作

10、用消失后，系统又能够逐渐地恢复到原来的平衡状态，或者说系统的零输入响应具有够逐渐地恢复到原来的平衡状态，或者说系统的零输入响应具有收敛性质，称系统是稳定的。收敛性质，称系统是稳定的。反之，若系统不能恢复到原平衡状反之，若系统不能恢复到原平衡状态，即系统的零输入响应具有发散性质，或者进入振荡状态，则态，即系统的零输入响应具有发散性质，或者进入振荡状态，则系统是不稳定的。系统是不稳定的。 稳定性是系统去掉外作用后，自身的一种恢复能力，所以是稳定性是系统去掉外作用后，自身的一种恢复能力，所以是系统的一种系统的一种固有特性固有特性，它只取决于，它只取决于系统的结构参数系统的结构参数而与初始条件而与初始

11、条件及外作用无关。及外作用无关。16稳定与不稳定系统的示例 AAf图图a a 摆运动示意图摆运动示意图图图b b 不稳定系统不稳定系统图图c c 小范围稳定系统小范围稳定系统dfc图图c c中，小球超出了中，小球超出了C C、D D范围后系统就不再是线性的，范围后系统就不再是线性的，故可以认为该系统在一定范围内是稳定的。故可以认为该系统在一定范围内是稳定的。稳定系统稳定系统 不稳定系统不稳定系统 小范围稳定系统小范围稳定系统物理意义的稳定概念：物理意义的稳定概念：17图示用曲线表示稳定性的概念和定义图示用曲线表示稳定性的概念和定义注意：仅适用于线性定常系统注意：仅适用于线性定常系统r(t)r(

12、t)C(t)C(t)(c)(c)不稳定不稳定C(t)C(t)( (a)a)外加扰动外加扰动r(t)r(t)(b)(b)稳定稳定C(t)C(t)18 根据上述稳定性的定义，可以用 函数作为扰动来讨论系统的稳定性。 设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲 ，这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于 时，系统的输出响应C(t)收敛到原来的零平衡状态，即该系统就是稳定的。)(tlim( )0tC t( ) t数学意义上的稳定概念193.2.2 线性定常系统稳定的充分必要条件线性定常系统稳定的充分必要条件 设系统的闭环传递函数为设系统的闭环传递函数为: : 1212

13、211()( )( )( )()(2)mriinnjknknkjkKszM ssD sspss 系统系统单位脉冲单位脉冲响应为响应为: :1211( )sin()0jknknnp ttjkdkkjkc tA eD ett R(s)=1线性定常系统稳定的充分必要条件是线性定常系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程：闭环系统特征方程的根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点都位于的根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点都位于S S平面的左半部。平面的左半部。为什么？为什么？203.2.3 3.2.3 劳斯劳斯(Routh)(Routh)稳定判据稳定判据设线性系统的特征方程为设线性系统的特

14、征方程为1. 1. 线性定常系统稳定的必要条件线性定常系统稳定的必要条件 0123123( )0nnnnnnnnD sa sasasasa10,nna aa式中，特征方程的系数式中，特征方程的系数 为实数。为实数。 系统稳定的必要条件是系统稳定的必要条件是：特征方程的所有系数都大于零。：特征方程的所有系数都大于零。 劳斯稳定判据是利用特征方程的系数进行代数运算来劳斯稳定判据是利用特征方程的系数进行代数运算来确定特征方程根的位置，以判定控制系统的稳定性，也称确定特征方程根的位置，以判定控制系统的稳定性，也称为代数稳定判据。为代数稳定判据。 21设系统的特征方程为设系统的特征方程为 式中式中 （当

15、（当 时，可将方程两边同乘以时，可将方程两边同乘以-1-1）。若）。若该方程的特征根为该方程的特征根为 （1,2,1,2,.n.n）, ,该该n n个根可以是实数个根可以是实数也可以是复数，则上式可改写成为也可以是复数，则上式可改写成为 将上式展开将上式展开0.0111asasasannnn0na0naip0).()(.210111 nnnnnnnpspspsaasaasaas112(.)nnnapppa2121323241.nnnnap pp pp pp pppa012( 1).nnnap ppa 即下列关系式成立（即下列关系式成立（韦达定理韦达定理） ：11211nniinnnijinji

16、japaap pa 01( 1)nniinapa 由此可见，如果特征方程的根由此可见，如果特征方程的根 都具都具有负实部，则上式的所有系数有负实部，则上式的所有系数 必然必然都大于零。故都大于零。故系统稳定的必要条件是其特征方程的各系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正项系数均为正，即，即naaa,10),2,1 ,0(0niai nppp,21232. 劳斯稳定判据劳斯稳定判据（1）建立劳斯表）建立劳斯表 2411352123145123113131 2151 3123112121101.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsaaasaaaaaa aaaa asbbbaa

17、baabbaabscccbbseesfsg将特征方程的系数按以下方法构成一个将特征方程的系数按以下方法构成一个n+1n+1行的劳斯表：行的劳斯表： 24（2 2）劳斯稳定判据）劳斯稳定判据 系统稳定的充分必要条件是：劳斯表第一列数都大于零。如果劳斯表第一列数出现小于或等于零的数，则系统不稳定。且劳斯表第一列数符号改变的次数等于特征方程正实部根的个数。25 1 14 10 6 17 25s4s3s6676171146658621106677916676586176672s26670626671s7916150677912667658677910s2例例1 1：已知系统的特征方程为：已知系统的特征

18、方程为试用劳斯判据分析系统的稳定性。试用劳斯判据分析系统的稳定性。0210171462345sssss解解 列劳斯表列劳斯表26 劳斯表第一列的系数符号全为正，故系统稳定。劳斯表第一列的系数符号全为正，故系统稳定。* *为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正数为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正数后，再继续运算。后，再继续运算。本例中，劳斯表可按如下方法计算：本例中，劳斯表可按如下方法计算： 1 14 10 6 17 2 67 58 (同乘以6，实质是不除6) 791 134 （同乘以67，不除67） 36900 （同乘以791，不除791） 134 由于第一列系数的符号相同，故

19、系统稳定。由于第一列系数的符号相同，故系统稳定。5s4s3s0s1s2s27 设某控制系统的特征方程为设某控制系统的特征方程为: :例例3-2 432( )33220D sssss判定系统的稳定性。判定系统的稳定性。 解解 特征方程的系数都大于零，满足稳定的必要条件。特征方程的系数都大于零，满足稳定的必要条件。 列劳斯表列劳斯表: : 符号改变一次符号改变一次）同乘674763273(6230123737321332323101234sssss 由于劳斯表第一列数不全为正，故由于劳斯表第一列数不全为正，故系统不稳定系统不稳定。第一列。第一列数符号改变了两次，故系统有两个正实部根。数符号改变了两

20、次，故系统有两个正实部根。28（3 3）两种特殊情况的劳斯判据）两种特殊情况的劳斯判据 1）在劳斯表的某一行中，第一列数为零，而其余数不全为零。按照劳斯判据，因第一列元素不全大于0，可以确定系统不稳定。如需要了解根的分布情况，可用一个有限小的正数代替0，完成劳斯表。 29例例3：设系统特征方程为：设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳劳 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=22710(6-14)/1= -8-82+87-8(2+8) -77（小于零（小于零,不稳定）不稳定）有几个根位于有几个根位于s平面右半平面

21、？平面右半平面？ 两个两个30 2 2）劳斯表某行元素全为零，表示特征方程具有劳斯表某行元素全为零，表示特征方程具有对称于原点的根存在。对称于原点的根存在。可用全零行的可用全零行的前一行数值前一行数值组组成辅助方程成辅助方程 ，并用这个方程的导数，并用这个方程的导数 的系数的系数代替全零行的各项，完成劳斯表。代替全零行的各项，完成劳斯表。利用辅助方程利用辅助方程 可解得那些对称根可解得那些对称根。 ( )P s( )P s( )P s310. 064. 023224260332323161832346124011324012345 ssssssssss求导：求导：辅方：辅方：。例例022336

22、2345 sssss解：解：求对称根：求对称根：2, 0)2)(1(234 . 32 . 12224jsjsssss 及及故故还有一个根是多少？还有一个根是多少？系统稳定吗？系统稳定吗？几个右根？几个右根？方程的根是多少？方程的根是多少？不稳定不稳定没有右根没有右根s = -1323. 劳斯判据的应用劳斯判据的应用（1 1）确定闭环系统稳定时的参数条件）确定闭环系统稳定时的参数条件（2 2）检验系统的稳定裕量）检验系统的稳定裕量 例例3-63-6 确定图确定图3-43-4所示系统稳定时所示系统稳定时K的取值范围。的取值范围。( )C s2(1)(4)Ks sss ( )R s解解 系统的特征方

23、程为系统的特征方程为432( )5540D sssssK列劳斯表：列劳斯表： 432101554021215(558425215sKssKKKssK同乘 ）系统稳定条件：系统稳定条件： 0, 84250,0KKK84即2533稳定裕度的检验 应用劳斯判据不仅可以判断系统稳定与否，也可以判断系统的是否具有一定的稳定裕度，即相对稳定性。这时可以将S平面的坐标系左移 ，然后再应用劳斯判据。如图：orzs令 将上式代入原方程，得到以Z为变量的新的特征方程，再检验其稳定性。此时系统如果仍然稳定，则说系统具有稳定裕度。 zsoo34判断系统是否有根在右半平面，并验有几个根在判断系统是否有根在右半平面，并验

24、有几个根在s=-1s=-1的右边。的右边。041310223sss例：例：系统特征方程为系统特征方程为故故S S右半平面无根。右半平面无根。ROUTHS TABLE：42 .124101320123ssss将将s=z-1s=z-1代入原方程得：代入原方程得：014223zzzNEW ROUTHNEW ROUTHS TABLES TABLE：15 . 014120123ssss故有一个根在故有一个根在s=-1s=-1的右边。的右边。353.3 控制系统的暂态性能分析控制系统的暂态性能分析3.3.1 一阶系统分析一阶系统分析( )1( )( )1C ssR sTs一阶系统的传递函数和典型结构为一阶

25、系统的传递函数和典型结构为 1 1）单位阶跃响应单位阶跃响应的拉氏变换式为的拉氏变换式为 111( )( ) ( )11TC ss R sTsssTs 可得系统的单位阶跃响应可得系统的单位阶跃响应 -1( )L ( )10tTc tC set 一阶系统的单位阶跃响应是一阶系统的单位阶跃响应是单调上升单调上升的指数曲线。的指数曲线。34 ,stTT或0,p性能指标：性能指标：0sse 电炉、液位电炉、液位一阶系统阶跃响应具备两个一阶系统阶跃响应具备两个重要的特点：重要的特点：可以用时间常数可以用时间常数T T去度量去度量系统输出量的数值。系统输出量的数值。响应曲线的初始斜率等于响应曲线的初始斜率

26、等于1/1/T T。 T 2T 3T 4T tc(t)0.6320.950.9820.8651.0T T反映了系统的惯性。反映了系统的惯性。T T越小，惯性越小，响应快！越小，惯性越小，响应快！T T越大，惯性越大，响应慢。越大，惯性越大，响应慢。01 t ec(t)TtTsTsTssTssC1111122 )()0( )(/ tTeTttcTttc(t)0r(t)= tc(t) = t T + Tet/T稳态响应稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后了一个时间常数迟后了一个时间常数T T的斜坡函数。的斜坡函数。TT稳态分量（跟踪项+常值）暂态

27、分量Ttc )( r(t) = t 在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于最终趋于0 0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；最大；无差跟踪无差跟踪 在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值最终趋于常值T T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于于0 0。有差跟踪有差跟踪。0 tc(t)1.0tc(t)0r(t)=

28、tTT11)( TssC 它恰是系统的闭环传函，这它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲（冲激）响应时输出称为脉冲（冲激）响应函数，以函数，以h(t)标志。标志。TteTtCth 1)()(脉冲 为求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用为求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。)()(tCdtdtC斜坡阶跃 )()(tCdtdtC阶跃脉冲 )()(trdtdtr斜坡阶跃 )()(trdtdtr阶跃脉冲 对应T 2T 3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T

29、0.05/T3）单位脉冲响应 R(s)=1( )( ) ( )C ss R s1( )( )( ) ( )( )( )dr tC ss LssR ssC sdtdttdctc)()(1 . 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定。2( )1( )( ) ( )( )( )R sC ss L r t dtsC sss2( )( )c tc t dt当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数。线性定常系统的重要性质线性定常系统的重要性质3.3.2 二阶系统分析二阶系统分析微分方程式为：微分方

30、程式为：)()()()(22trtcdttdcRCdttcdLC22222( )1( )( )212nnnC s sR sT sTsss零初条件LCT 2RCLTn/1 例如例如: RLC电路电路RCr(t)c(t)L11)(2RCsLCss1. 1. 数学模型数学模型 423.3.2 二阶系统分析二阶系统分析22 222( )1( )( )212nnnC ssR sT sTsss典型二阶系统的结构和闭环传递函数：典型二阶系统的结构和闭环传递函数： 系统的特征方程为系统的特征方程为 0222nnss特征方程的根，即闭环系统的极点为特征方程的根，即闭环系统的极点为 122, 1nns特征方程根的

31、性质由特征方程根的性质由 的值完全决定了。的值完全决定了。 1nT其中，其中， 为系统的为系统的阻尼比阻尼比； 为为无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率（或自然（或自然振荡频率）。振荡频率）。432.2.单位阶跃响应单位阶跃响应 单位阶跃响应的拉氏变换式为单位阶跃响应的拉氏变换式为 ssssssCnnn121)()(22222212nnnssss（1 1） 无阻尼情况无阻尼情况0njs2, 1221( )nsC sss0cos1)(tttcn一对纯虚根一对纯虚根 0n n 44 可见：系统处于无阻尼状态，响应为等幅振荡的周可见：系统处于无阻尼状态，响应为等幅振荡的周期函数，频率为期函数，频率为 ，故称

32、，故称 为无阻尼自然角频率。为无阻尼自然角频率。此时系统不能正常工作。此时系统不能正常工作。 n n 而且：而且： 10100 ，ssset%c(t) t 0等幅振荡等幅振荡45（2 2） 欠阻尼情况欠阻尼情况01dnnnjjs22 , 11单位阶跃响应为单位阶跃响应为: : 22221( )()()nnndndsC sssstetetcdtdtnnsin1cos1)(22211 1cossin1ntddett 0)sin(1112ttedtnarccos其中， 称为阻尼角。Wd为阻尼振荡频率为阻尼振荡频率为一对具有负实部的共轭复数根为一对具有负实部的共轭复数根 46 欠阻尼二阶系统响应的暂态

33、分量，是幅值随时间按指数规律衰减的正弦振荡项。其振荡的角频率为阻尼振荡频率 ，即特征方程根的虚部；其衰减的速度由 ，即特征方程根的实部的绝对值决定。dnc(t) t 0121( )1sin() 1ntdc tet 衰减振荡衰减振荡47（3 3） 临界阻尼情况临界阻尼情况1ns2, 1一对相等的负实数根一对相等的负实数根 2222111( )2()nnnnnnsC sssssss( ) 1(1)0ntnc tett 响应为单调上响应为单调上升、无振荡及升、无振荡及超调的曲线超调的曲线 （4 4） 过阻尼情况过阻尼情况1122, 1nns2 2个不相等负实根个不相等负实根 212ns s21212

34、1211( )(1)(1)(1)(1)nAAC ssTsTsssTsT1212( )10t Tt Tc tAeA et 121211,ssTT 令响应的暂态分量是两个单调衰减的指数项，响响应的暂态分量是两个单调衰减的指数项，响应曲线与临界阻尼时一样，无振荡单调上升应曲线与临界阻尼时一样，无振荡单调上升 不同阻尼比时系统特征方程的根在S平面的位置及其单位阶跃响应曲线 )ajn1001100100123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.20.41.02.049 上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其

35、阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面） 等幅周期振荡一对共轭虚根 无阻尼, 0njs2, 1欠阻尼, 1o22, 11nnjs临界阻尼，1)(2, 1重根ns过阻尼，1122, 1nns p p 用tr ，tp ， p p，ts 四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。c(t) t 010.55%或2%tr tp tstd2.2.欠阻尼欠阻尼典型二阶系统暂态性能指标计算典型二阶系统暂态性能指标计算 2arccos1rdnt(1) 上升时间上升时间tr ：从零上升至：从零上升至第

36、一次第一次到达稳态值所需的时到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量。间，是系统响应速度的一种度量。tr 越小，响应越快。越小，响应越快。21( )1sin()1 1nrtrdt tc tet sin()0 rdt tt (k1)d rtk21( )1sin()01ntdc tett欠阻尼单位阶跃响应式：欠阻尼单位阶跃响应式：2sin0 sin011n ptnd pd pd petttkk，22sin()cos()0 11n pn pttndd pd petet(2) 峰值时间峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。的时间。0)( pt

37、tdttdc222 sin()1cos()0=cos1cossin()sincos()0 1n pn ptnd pd ptnd pd pettett，而21pdnt53(3) (3) （最大）超调量（最大）超调量 p p2221max2211( ),( )1sin()1sin()sin1()1()()100%()100%代入有：而ppppptc tec tc tec tcce p%n仅与 有关，与无关，且 可见：可见： 设计时，按要求的设计时，按要求的p先确定。，再确定，再确定n 54（4 4）调整时间）调整时间t ts s 40.0230.05snsntt 当阻尼比很小时当阻尼比很小时 ，经

38、过二次近似后，常，经过二次近似后，常用下列两式计算调整时间用下列两式计算调整时间 (0.8) 阻尼比阻尼比越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间t ts s长；长； 过大时，系统响应迟钝，调节时间过大时，系统响应迟钝，调节时间t ts s也长，快速性差；也长，快速性差； =0.7=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量，调节时间最短，快速性最好，而超调量 %5%6K6时，系统将不稳定。时，系统将不稳定。KssssKsssGKssv)12)(1()15 .0()(limlim00)12)(1()15.0()(limlim00ssssKsGKssp系统的稳

39、态误差系数分别为系统的稳态误差系数分别为由图可知，系统的开环传递函数为由图可知，系统的开环传递函数为)12)(1()15.0()(ssssKsGKKKevpss55110所以，系统的稳态误差为所以，系统的稳态误差为83减小或消除误差的措施减小或消除误差的措施：提高开环积分环节的阶：提高开环积分环节的阶次次 、增加开环增益、增加开环增益 K K。表表3-2 3-2 不同输入信号作用下的稳态误差不同输入信号作用下的稳态误差84)()()()(1)()(212sNsHsGsGsGsC)()()()()()(1)()()(212sNssNsHsGsGsHsGsEen3.4.3 扰动信号作用下的稳态误差

40、扰动信号作用下的稳态误差 扰动输入作用下系统的误差传递函数扰动输入作用下系统的误差传递函数)()()(1)()()(212sHsGsGsHsGsen2012( )( )( )( )1( )( )( )limlimsstssGs H see tN sG s Gs H s控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的作用。作用。扰动稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。扰动稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。扰动扰动输入可以作用在系统的不同位置输入可以作用在系统的不同位置，因此因此系统对于某种形式的系统对于某种形式的给给定输入定输

41、入的稳态误差为零，但对同一形式的的稳态误差为零，但对同一形式的扰动输入扰动输入其稳态误差其稳态误差则不一定为零则不一定为零。)()()()()(sCsHsBsRsER(s)-B(s)N(s)+C(s)(1sG)(2sG)(sHE(sE(s) )设给定输入为零，由误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为设给定输入为零，由误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为85 可见，扰动作用下稳态误差的大小，除了与可见，扰动作用下稳态误差的大小，除了与扰动信号扰动信号有有关外，主要取决于关外，主要取决于扰动作用点到误差信号之间的传递函数扰动作用点到误差信号之间的传递函数。 式中，式中， 是是扰动作用点与误差信号

42、之间扰动作用点与误差信号之间的传递函数。的传递函数。)(1sG12( )( )( )( )( )1G s H sG s G s H s21( )( )( )( )( )( )( )( )nG s H s N sN sEsG s H sG s 当当86例例3.153.15 设控制系统如图所示，其中设控制系统如图所示，其中给定输入给定输入 ，扰动输入，扰动输入（ 和和 均为常数均为常数 ），试求系统的稳态误差。），试求系统的稳态误差。sKsG1111)()1 ()(222ssKsG)( 1)(tRtrr)( 1)(tRtnnrRnR解解 当系统同时受到给定输入当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用

43、时，其稳定和扰动输入的作用时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。态误差的叠加。令令n(t)=0n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为时，求得给定输入作用下的误差传递函数为) s (G) s (G11) s (21erR(s)-)(1sG)(2sG+N(s)C(s)所以给定稳态误差为所以给定稳态误差为0sRKK) s1)(s1 ( s) s1)(s1 (s) s (G) s (G1) s (Rser21212120s210sssrlimlim87)()(1)()(212sGsGsGsen令令r(t)=0r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递

44、函数为时，求得扰动输入作用下的误差传递函数为121211202120)1)(1 ()1 ()()(1)()(limlimKRsRKKssssKssGsGsNssGennssssn所以扰动稳态误差为所以扰动稳态误差为 由上式计算可以看出，由上式计算可以看出，r(t)r(t)和和n(t)n(t)同是阶跃信号，由于同是阶跃信号，由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。由扰动稳态误差的表达式可知由扰动稳态误差的表达式可知1K 提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节的放提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节的放大系数大系数 ，可

45、以减小系统的扰动稳态误差。，可以减小系统的扰动稳态误差。该系统总的稳态误差为该系统总的稳态误差为1KReeenssnssrss88111( )(1)KG sss222( )1KG ss为了分析系统中为了分析系统中串联的积分环节串联的积分环节对稳态误差的影响，假设对稳态误差的影响，假设图中图中系统总的稳态误差为系统总的稳态误差为0ssnssrsseee0)()(1)(210limsGsGssResssr)()()(1)(2120limsNsGsGssGesssn0)1)(1 ()1 (21212120limsRKKssssKsns给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误给定输入和扰动输入保

46、持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出，差可按上述相同的方法求出，89 比较以上两次计算的结果可以看出：比较以上两次计算的结果可以看出：若要消除系统的给定稳态误差，在系统前向通道中串联的积分环节都起作用。若要消除系统的扰动稳态误差，在系统前向通道中只有扰动输入作用点之前的积分环节才起作用。若要消除由给定输入和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态误差，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前。3.4.4 3.4.4 减小或消除稳态误差的方法减小或消除稳态误差的方法 前面分析表明，为了减小系统的稳态误差，可以增加开环传递函数中的串联积分环节的数目或提高系统的开环放大系数。但是

47、，串联的积分环节一般不超过2，而开环放大系数也不能任意增大，否则系统将可能不稳定，为了进一步减小系统稳态误差，可以采用加前馈控制的复合控制方法，即从给定输入或扰动输入处引出一个前馈控制量，加到系统中去，通过适当选择补偿装置和作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的。91 在图示系统中，为了消除由在图示系统中，为了消除由r(t)r(t)引起的稳态误差，引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从给定输入处引出前馈量经可在原反馈控制的基础上，从给定输入处引出前馈量经补偿装置补偿装置 对系统进行开环控制。对系统进行开环控制。)(sGc 按给定输入补偿的复合控制按给定输入补偿的复合控制)()()(1)

48、()(1 )(212sRsGsGsGsGsEc整理得整理得)(1)(2sGsGc如果选择补偿装置的传递函数为如果选择补偿装置的传递函数为则系统的给定稳态误差为零。则系统的给定稳态误差为零。)()()()()()()(12sRsGsEsGsGsRsEc此时系统误差信号的拉氏变换式为此时系统误差信号的拉氏变换式为)(sGc)(1sG)(2sGR(s)E(s)C(s)-+92 在图示系统中，为了消除由在图示系统中，为了消除由n(t)n(t)引起的稳态误差，可引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿在原反馈控制的基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置装置 加到系统中，加到系统

49、中，)(sGc)(1sG)(2sG)(sGcR(s)N(s)E(s)-+C(s)A 按扰动输入补偿的复合控制按扰动输入补偿的复合控制)()()()()()()()(112sCsGsNsGsGsNsGsCc 若设若设r(t)=0r(t)=0，则，则系统的输出系统的输出C(s)C(s)就是系统的误差信号就是系统的误差信号。系统输出的拉氏变换式为系统输出的拉氏变换式为)()()(1)()(1)()(2112sNsGsGsGsGsGsCc整理得整理得)(1)(1sGsGC如果选择补偿装置的传递函如果选择补偿装置的传递函数为数为可使输出不受扰动可使输出不受扰动n(t)n(t)的影响，故系统的扰动稳态误差为零。的影响，故系统的扰动稳态误差为零。93 从结构上看，当满足从结构上看，当满足 时，扰动时，扰动信号经两条通道到达信号经两条通道到达A A点，两个分支信号正好大点，两个分支信号正好大小相等，符号相反，因而实现了对扰动的全补偿。小相等，符号相反，因而实现了对扰动的全补偿。)(1)(1sGsGC 前馈控制加入前后，系统的前馈控制加入前后，系统的特征方程特征方程保持保持不变，因此，系统的稳定性不会发生变化。不变，因此，系统的稳定性不会发生变化。94例例3.163.16 控制系统如图所示控制系统如图所示(1) (1) 计算扰动计算扰动 引起的稳态误差；引起的稳态误差； (2)