哈工大(七)第二章平面力系

1、第二章第二章 平面力系平面力系引引 言言研究方法：几何法，解析法。研究方法：几何法，解析法。力系分为：平面力系、空间力系力系分为：平面力系、空间力系例：起重机的挂钩。例：起重机的挂钩。TT1T2 平面汇交力系平面汇交力系 平面力系平面力系 平面平面 力偶系力偶系 平面一般力系平面一般力系(平面任意力系平面任意力系) 平面汇交力系：平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。2-12-1 平面汇交力系平面汇交力系1 1、平面汇交力系合成的几何法、力多边形规则、平面汇交力系合成的几何法、力多边形规则一、两个共点力的合成一、两个共点力的

2、合成 cos2212221FFFFFR)180sin(sin1RFF合力方向可应用正弦定理确定：合力方向可应用正弦定理确定：由余弦定理：由余弦定理：由力的平行四边形由力的平行四边形法则作，也可用力法则作，也可用力的三角形来作。的三角形来作。cos)180cos(二、二、 任意个汇交力的合成任意个汇交力的合成多边形多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边称为此平面汇交力系的力多边形，矢量形，矢量 称此力多边形的封闭边。封闭称此力多边形的封闭边。封闭边矢量边矢量 即表示此平面汇交力系合力即表示此平面汇交力系合力 的大小与方向的大小与方向(即合力矢即合力矢)，而合力的作用线，而合力的作用线仍应通过

3、原汇交点仍应通过原汇交点A。aeFRae根据矢量相加的交换律，任意变换各分根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢仍然不变。边形，但其合力矢仍然不变。平面汇交力系可简化为一合力其合力的大小与方向等于各分平面汇交力系可简化为一合力其合力的大小与方向等于各分力的矢量和力的矢量和(几何和几何和)，合力的作用线通过汇交点。设平面汇交，合力的作用线通过汇交点。设平面汇交力系包含力系包含n个力，以个力，以 表示它们的合力矢，则有表示它们的合力矢，则有FRF =F +F + +F = FR12.nni 1i合力合力 对刚体的作用与

4、原力系对该刚体的作用等效。对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。FR力力 称为该力系的合力。称为该力系的合力。FR共线力系：共线力系：各力的作用线都沿同一直线的力系。各力的作用线都沿同一直线的力系。平面汇交力系的特殊情况，它的力多边形在同一直线上。平面汇交力系的特殊情况，它的力多边形在同一直线上。若沿直线的某一指向为正，相反为负，则力系合力的大小若沿直线的某一指向为正，相反为负，则力系合力的大小与方向决定于各分力的代数和，即与方向决定于各分力的代数和，即F =FRni 1i2、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的合力等于零。即ni 1Fi=0 在上面几何法求力系的

5、合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零求解平面汇交力系的平衡问题的方法求解平面汇交力系的平衡问题的方法几何法几何法，即根据图形的几何关系，即根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的未知量。用三角公式计算出所要求的未知量。图解法图解法，即按比例先画出封闭的力，即按比例先画出封闭的力多边形，然后，用尺和量角器在图多边形，然后，用尺和量角器在图上量得所要求的未知量；上量得所要求的未知量；例例 如图所示的压路碾子，自重如图所示的压路碾子，自重P20kN，半径，半径R0.6m，障碍物高障碍物高h0.08m。碾子

6、中心碾子中心O处作用一水平拉力处作用一水平拉力F。试求：试求：(1)当水平拉力当水平拉力F5kN时，碾子对地面及障碍物的压力；时，碾子对地面及障碍物的压力；(2)欲欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)力力F沿什么沿什么方向拉动碾子最省力，此时力方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。为多大。RF选碾子为研究对象选碾子为研究对象解：解：取分离体画受力图取分离体画受力图(1)由图中几何关系，可求得由图中几何关系，可求得866. 0cosRhR 故故o30再由各矢量的几何关系，可得再由各矢量的几何关系，可得FFBsinPFFBAcoskNFFB10si

7、nkNFPFBA34.11cos解得解得根据作用与反作用关系，碾子对地面及障碍物的压力分根据作用与反作用关系，碾子对地面及障碍物的压力分别等于别等于11.34kN和和10kN。(2)碾子能越过障碍物的力学条件是碾子能越过障碍物的力学条件是 ，因此，碾子刚刚因此，碾子刚刚离开地面时，其封闭的力三角形为离开地面时，其封闭的力三角形为F =0A由几何关系，此时水平拉力由几何关系，此时水平拉力此时此时B处的约束反力处的约束反力kNPF55.11tankNPFB09.23cos(3)从图中可以清楚地看到，当拉力与从图中可以清楚地看到，当拉力与 垂直时，拉动碾子的垂直时，拉动碾子的力为最小，即力为最小，即

8、FBkNPF10sinmin例例21 支架的横梁支架的横梁AB与斜杆与斜杆DC彼此以铰链彼此以铰链C相联接，并各相联接，并各以铰链以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知连接于铅直墙上。如图所示。已知ACCB；杆；杆DC与水平线成与水平线成 角；载荷角；载荷P10kN，作用于作用于B处。设梁和处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链杆的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆的约束反力和杆DC所受的力。所受的力。450解：解：DC为二力杆为二力杆选取横梁选取横梁AB为研究对象。根据三力平衡汇交定理有受力图为研究对象。根据三力平衡汇交定理有受力图平面汇交力系平衡平面汇交力系平衡 的几何条件的几何条件几何

9、法解题的主要步骤如下：几何法解题的主要步骤如下：2分析受力，画受力图。分析受力，画受力图。若某个约束反力的作用线不能根据约束特性直接确定若某个约束反力的作用线不能根据约束特性直接确定(如铰如铰链链)，而物体又只受三个力作用，则可根据三力平衡必须汇，而物体又只受三个力作用，则可根据三力平衡必须汇交的条件确定该力的作用线。交的条件确定该力的作用线。 1选取研究对象，并画出简图。选取研究对象，并画出简图。4求出未知量。用比例尺和量角器在图上量出未知量，或求出未知量。用比例尺和量角器在图上量出未知量，或者用三角公式计算出来。者用三角公式计算出来。3作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺，从已知作力多边

10、形或力三角形。选择适当的比例尺，从已知力开始。根据矢序规则和封闭特点，就可以确定未知力的力开始。根据矢序规则和封闭特点，就可以确定未知力的指向。指向。3 3 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法1力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式力在某轴的投影，等于力的模乘以力力在某轴的投影，等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。与投影轴正向间夹角的余弦。 X=Fx=Fcos Y=Fy=Fsin = F cosb b注：力在轴上的投影为代数量，当力与轴间夹角为锐角时，其值为注：力在轴上的投影为代数量，当力与轴间夹角为锐角时，其值为正；当夹角

11、为钝角时，其值为负。正；当夹角为钝角时，其值为负。力力F沿正交轴沿正交轴Ox、Oy可分解为两个分力可分解为两个分力 和和 时，其分力时，其分力与力的投影之间有下列关系与力的投影之间有下列关系:FxFyF =Xix由此，力的解析表达式为由此，力的解析表达式为F =Xi +Yj其中其中i、j分别为分别为x、y轴的单位矢量。轴的单位矢量。22YXF力矢的力矢的大小大小方向余弦方向余弦cos(F,i)=XFcos(F,j)=YFyYFj力在轴上的投影力在轴上的投影X、Y为代数量，而力沿轴的分量为代数量，而力沿轴的分量 和和 为矢量。为矢量。 F =XixF =Yiy当当Ox、Oy两轴不相垂直时，力沿两

12、轴的分力两轴不相垂直时，力沿两轴的分力 、 在数在数值上也不等于力在两轴上的投影值上也不等于力在两轴上的投影X、Y。FxFy2平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法F =F i+F jRRxRy设由设由n个力组成的平面汇交力系作用个力组成的平面汇交力系作用于一个刚体上。以汇交点于一个刚体上。以汇交点O作为坐作为坐标原点，建立直角坐标系标原点，建立直角坐标系Oxy 。此汇交力系的合力此汇交力系的合力合矢量投影定理：合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和。一轴上投影的代数和。F =Y +Y + +Y =YRy12.n

13、ni 1i由此可得由此可得F =X +X + +X =XRx12.nni 1i其中其中 和和 ， 和和 ， 和和 分别为各分力在分别为各分力在x和和y轴上轴上的投影。的投影。X1X2XnY1Y2Yn2222)()(YXFFFRyRxR合力矢的合力矢的大小大小方向余弦方向余弦cos(F ,i)=FRRFRxcos(F , j)=FRRFRyoooo45cos25045cos10060cos30030cos200N3 .129ooooiiRyFFFFYF45cos45cos30cos60cos432141oooo45cos25045cos10030cos30060cos200N3 .112例例22

14、 求图中所示平求图中所示平面共点力系的合力。面共点力系的合力。ooooiiRxFFFFXF45cos45cos60cos30cos432141解：解：NFFFRyRxR3 .1713 .1123 .12922227548. 03 .1713 .129cosRRxFF6556. 03 .1713 .112cosRRyFFbo99.40o01.49b合力矢的大小合力矢的大小方向余弦方向余弦则合力矢与则合力矢与x，y轴夹角分别为轴夹角分别为作用线通过汇交点作用线通过汇交点O。3平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力平面汇交力系平衡的必要和充分条件

15、是：该力系的合力 等于零，即等于零，即FR2211()()0nnRiiiiFXY平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即满足标轴上投影的代数和分别等于零，即满足平面汇交力系平面汇交力系的平衡方程的平衡方程（两个独立的方程，（两个独立的方程， 可以求解两个未知量）可以求解两个未知量）0011niiniiYX例例23 如图所示，重物如图所示，重物P20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆上。杆AB与与BC铰接，并铰接，并以铰链以铰链

16、A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和和BC所受的力。所受的力。解：解：(1)取滑轮取滑轮B为研究对象。为研究对象。AB、BC两杆都是二力杆，假两杆都是二力杆，假设杆设杆AB受拉力、杆受拉力、杆BC受压力；受压力；(2)画受力图。画受力图。滑轮受到钢丝绳的拉力滑轮受到钢丝绳的拉力 P；由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看作是汇交力系。由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看作是汇交力系。2F1F(3)列平衡方程列平衡方程为使每个未知力只在一个轴上有投影，为使每个未知力只在一个轴上有

17、投影，在另一轴上的投影为零，坐标轴应尽量在另一轴上的投影为零，坐标轴应尽量取在与未知力作用线相垂直的方向。这取在与未知力作用线相垂直的方向。这样在一个平衡方程中只有一个未知数，样在一个平衡方程中只有一个未知数，不必解联立方程，故选取坐标轴如图所不必解联立方程，故选取坐标轴如图所示。示。060cos30cos, 021ooBCFFFY(b)030cos60cos, 021ooBAFFFX(a)由式由式(a)得得由式由式(b)得得kNPFBA321. 7366. 0kNPFBC321.27366. 1所求结果，所求结果， 为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同，为正值，表示这力的假设方向与实际方

18、向相同，即杆即杆BC受压。受压。 为负值，表示这力的假设方向与实际方向相为负值，表示这力的假设方向与实际方向相反，即杆反，即杆AB也受压力。也受压力。BAFBCF(4)求解方程求解方程例例 如图所示的压榨机中，杆如图所示的压榨机中，杆AB和和BC的长的长度相等，自重忽略不计。度相等，自重忽略不计。A、B、C处为铰处为铰链连接。已知活塞链连接。已知活塞D上受到油缸内的总压力上受到油缸内的总压力为为F3kN，h200mm，l1500mm。试。试求压块求压块C对工件与地面的压力，以及对工件与地面的压力，以及AB杆杆所受的力。所受的力。解：先选活塞杆解：先选活塞杆DB为研究对象。设二力杆为研究对象。设

19、二力杆AB、BC均受压力。均受压力。列出平衡方程列出平衡方程0coscos, 0BCBAFFX0sinsin, 0FFFYBCBA解得解得BCBAFF解得解得kNFFFBCBA35.11sin2再选压块再选压块C为研究对象，通过二力杆为研究对象，通过二力杆BC的的平衡，可知平衡，可知 。按图示坐标轴列出按图示坐标轴列出平衡方程平衡方程BCCBFF0cos, 0CBCxFFX0sin, 0CyCBFFY解得解得kNhFlFFFCx25.112cot2sin2coskNFFFCBCy5 . 12sin2-2-2 2 平面力对点之矩平面力对点之矩, 平面力偶平面力偶 力对刚体力对刚体的作用效应的作用

20、效应移动效应移动效应 用力矢来度量用力矢来度量转动效应转动效应 用力对点的矩用力对点的矩(简称力矩简称力矩)来度量来度量1力对点之矩力对点之矩(力矩力矩)如图所示，平面上作用一力如图所示，平面上作用一力 F ，在同平面内任取一点在同平面内任取一点O，点点O称为称为矩心矩心，点，点O到力的作用线的垂直距离到力的作用线的垂直距离h称为称为力臂力臂。力对点的矩：力对点的矩：力对点之矩是一个力对点之矩是一个代数量代数量， 它的它的绝对值绝对值恒等于力的大小与力臂的乘积，恒等于力的大小与力臂的乘积， 它的它的正负正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转向转动可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转向转动 时

21、为正，反之为负。时为正，反之为负。OABMO2)(F F由右图容易看出，力由右图容易看出，力F对点对点O的矩的大的矩的大小也可用三角形小也可用三角形OAB面积的两倍表示，面积的两倍表示，即即力力 F 对于点对于点O的矩的矩FhMO)(F F显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它对矩心显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它对矩心的力矩等于零。的力矩等于零。力矩的单位常用力矩的单位常用Nm或或kNm。力对点之矩的矢量表示力对点之矩的矢量表示以以 r 表示由点表示由点O到到A的矢的矢径。径。矢量积矢量积 rF 的大小就是的大小就是三角形三角形OAB面积的两倍。面积的两倍。此矢积的模此

22、矢积的模 |rF| 就就等于力等于力 F 对点对点O的矩的的矩的大小，其指向与力矩的大小，其指向与力矩的转向符合右手法则。转向符合右手法则。2合力矩定理合力矩定理合力矩定理：合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。证明：证明：r 为矩心为矩心O到汇交点到汇交点A的矢径，平面汇交力系的矢径，平面汇交力系 ， ， 的合力的合力2F F1F FnF FnRF FF FF FF F21以以 r 对上式两端作矢积，有对上式两端作矢积，有nRF Fr rF Fr rF Fr rF Fr

23、r21nRF Fr rF Fr rF Fr rF Fr r21 力力 ， ， 与点与点O共面，上式各矢积平行。共面，上式各矢积平行。 上式矢量和可按代数和计算。而各矢量积的大小就是力对上式矢量和可按代数和计算。而各矢量积的大小就是力对点点O之矩，于是证得合力矩定理，即之矩，于是证得合力矩定理，即1F F2F FnF FniinRMMMMM121)()()()()(F FF FF FF FF FOOOOOniinRMMMMM121)()()()()(F FF FF FF FF FOOOOO合力矩定理合力矩定理适用于任何有合力存在的力系。适用于任何有合力存在的力系。 当平面汇交力系平衡时，合力为零

24、；由合力矩定理可知，各当平面汇交力系平衡时，合力为零；由合力矩定理可知，各力对任力对任点点O之矩的代数和皆为零。即之矩的代数和皆为零。即0)(1niiMF FO注：可用力矩方程代替投影方程求解平面汇交力系的平衡。注：可用力矩方程代替投影方程求解平面汇交力系的平衡。3力矩与合力矩的解析表达式力矩与合力矩的解析表达式由合力矩定理，有平面内力矩的由合力矩定理，有平面内力矩的解析表达式解析表达式( )()()sincosyxMMMxFyFOOOF FF FF F 或或yXxYM)(F FO其中其中x、y为力为力 F 作用点的坐标；作用点的坐标；X、Y为力为力 F 在在x、y轴的轴的投影（投影（代数量代

25、数量）。）。niiiiiXyYxM1)()(ROF F将上式代入合力矩定理表达式将上式代入合力矩定理表达式，即可得合力即可得合力 对坐标原点对坐标原点之矩的解析表达式，即之矩的解析表达式，即RF F例例24 如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力 的作用。设的作用。设1400N。压力角压力角 。齿轮的节圆。齿轮的节圆(啮合圆啮合圆)的半径的半径 r60mm，试计算力试计算力 对于轴心对于轴心O的力矩。的力矩。nF FnFo20nF F解：解法一解：解法一hFMn)(nOF F力力 对于轴心对于轴心O的力矩的力矩nF F其中力臂其中力臂 ，故，故cosrh mNrFMon9

26、3.7820cos601400cos)(nOF F 解法二解法二根据合力矩定理根据合力矩定理rFMMMMncos)()()()(F FF FF FF FOrOOnO例例 如图所示的踏板，各杆自重不计。已知：力如图所示的踏板，各杆自重不计。已知：力F及其与及其与x轴的夹角轴的夹角，力作用点力作用点B坐标坐标 ，距离距离l。试求平衡时水平试求平衡时水平杆杆CD的拉力的拉力 。),(BByxDF F解：解： 取整体为研究对象。取整体为研究对象。平衡方程平衡方程0)(F FAM0lFFhD利用合力矩定理利用合力矩定理0sincoslFxFyFDBB求得求得lxFyFFBBDsincos例例 水平梁水平

27、梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷受按三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大值为的最大值为q，梁长梁长l。试求合力作用线的位置。试求合力作用线的位置。解：在梁上距解：在梁上距A端为端为x的微段的微段dx上，上，作用力的大小为作用力的大小为 ，其中，其中 为为该处的载荷强度，大小为该处的载荷强度，大小为qdxqqlxq 因此分布载荷的合力的大小为因此分布载荷的合力的大小为lqldxqP021根据合力矩定理根据合力矩定理lxdxqPh0得得lh32计算结果说明：合力大小等于三角形线分布载荷的面积，计算结果说明：合力大小等于三角形线分布载荷的面积，合力作用线通过该三角形的几何中心。合

28、力作用线通过该三角形的几何中心。平面力偶理论平面力偶理论1力偶与力偶矩力偶与力偶矩等值反向平行力的矢量和显然等于零，但是由于它们不共等值反向平行力的矢量和显然等于零，但是由于它们不共线而不能相互平衡，它们能使物体改变转动状态。线而不能相互平衡，它们能使物体改变转动状态。力偶力偶 :由两个由两个大小相等大小相等、方向相反方向相反且且不共线不共线的的平行平行力组成的力系。力组成的力系。),(F FF F力偶臂力偶臂d：力偶的两力之间的垂直距离。力偶的两力之间的垂直距离。力偶的作用面：力偶的作用面：力偶所在的平面。力偶所在的平面。注：注：1.力和力偶是静力学的两个基本要素；力和力偶是静力学的两个基本

29、要素； 2.力偶的作用只改变物体的转动状态。力偶的作用只改变物体的转动状态。对由图所示的力偶对由图所示的力偶，其对点其对点O的矩的矩FdbOaOFFbOFaOMMM)()()(),(F FF FF FF FOOO矩心矩心O是任意选取的，力偶的作用效应决定于力的大小和力偶是任意选取的，力偶的作用效应决定于力的大小和力偶臂的长短，与矩心的位置无关。臂的长短，与矩心的位置无关。力偶矩：力偶矩：力与力偶臂的乘积。记作力与力偶臂的乘积。记作 ，简记为简记为M。),(F FF FM平面力偶对物体的作用效应，由以下两个因素决定：平面力偶对物体的作用效应，由以下两个因素决定： (1)力偶矩的大小；力偶矩的大小

30、； (2)力偶在作用平面内的转向。力偶在作用平面内的转向。可将力偶矩视为代数量，即可将力偶矩视为代数量，即FdM力偶矩的单位与力矩相同，也是力偶矩的单位与力矩相同，也是Nm。力偶矩也可用三角形面积表示，即力偶矩也可用三角形面积表示，即ABCM2力偶矩是一个力偶矩是一个代数量代数量，其其绝对值绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之则为负。表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之则为负。+2同平面内力偶的等效定理同平面内力偶的等效定理定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩

31、相等，则两力偶彼此等效。力偶彼此等效。证明：如图所示，设在同平面证明：如图所示，设在同平面内有两个力偶内有两个力偶 和和 作作用，它们的力偶矩相等，即用，它们的力偶矩相等，即 假设假设且力的作用线分别交于点且力的作用线分别交于点A和和B，现证明这两个力偶是等效的。现证明这两个力偶是等效的。),(F FF F),(00F FF F),(),(F FF FF FF FMM00将力将力 和和 分别沿它们的作分别沿它们的作用线移到点用线移到点A和和B。0F F0F F分别沿连线分别沿连线AB和力偶和力偶 的的两力的作用线方向分解，得到两力的作用线方向分解，得到 、 和和 、 四个力，显然，这四个力，显

32、然，这四个力与原力偶四个力与原力偶 等效。等效。),(F FF F1F F2F F2F F1F F),(00F FF F两个力平行四边形全等两个力平行四边形全等 ， 是一对平衡力，可以除去是一对平衡力，可以除去1F F1F F新力偶 与原力偶 等效。连接CB和DB。),(22F FF F),(00F FF FACBM2),(00F FF FADBM2),(22F FF F CD平行AB， 和 同底等高，面积相等ACBADB),(),(2200F FF FF FF FMM),(),(F FF FF FF FMM00又 假设),(),(F FF FF FF FMM22由图可见， 和 有相等的力偶臂

33、d 和相同的转向),(22F FF F),(F FF F和 完全相等),(22F FF F),(F FF FF FF F2F FF F2新力偶新力偶 与原力偶与原力偶 等效等效),(22F FF F),(00F FF F而而 和和 完全相等完全相等),(22F FF F),(F FF F新力偶新力偶 与原力偶与原力偶 等效等效),(00F FF F),(F FF F推推 论：论：(1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。用面内

34、的位置无关。(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。刚体的作用。力偶矩是力偶作用的唯一量度。可用上图所示的符号表力偶矩是力偶作用的唯一量度。可用上图所示的符号表示。示。M为力偶的矩。为力偶的矩。3平面力偶系的合成和平衡条件平面力偶系的合成和平衡条件平面力偶系平面力偶系: :作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系(1) 平面力偶系的合成平面力偶系的合成设在同一平面内有两个力偶设在同一平面内有

35、两个力偶 和和 ，矩分别为矩分别为 和和 。),(22F FF F),(11F FF F1M2M11MFd122MF d 2根据同平面内力偶的等效定理，得到与原力根据同平面内力偶的等效定理，得到与原力偶等效的两个新力偶偶等效的两个新力偶 和和 。),(44F FF F),(33F FF F11Fdd3F F22F ddF F4分别将作用在点分别将作用在点A和和B的力合成的力合成(设设 )，得得4F3F F4F3F FF F4F3F FF FF FF F构成与原力偶系等效的合力偶构成与原力偶系等效的合力偶 。合力偶的矩合力偶的矩),(F FF F3434112212()MFdFF dF dF d

36、FdF dMM同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和，可写为各个力偶矩的代数和，可写为niMM1i(2) 平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。即数和等于零。即01niMi（一个独立的方程，（一个独立的方程， 可以求解一个未知量）可以求解一个未知量）例例25 如图所示的工件上作用有三个力偶。已知：三个力偶如图所示的工件上作用有三个力偶。已知：三个力偶的矩分别为：的矩分别为： ， ；固定螺柱固定螺柱A

37、和和B的矩离的矩离l200mm。求两个光滑螺柱所受的水平力。求两个光滑螺柱所受的水平力。mNMM1021mNM 203解：选工件为研究对象。解：选工件为研究对象。 根据力偶系的合成定理，三个根据力偶系的合成定理，三个力偶合成后仍为一力偶。力偶合成后仍为一力偶。 螺柱螺柱A和和B的水平反力的水平反力 构成反力偶与之相平衡。构成反力偶与之相平衡。BAF FF F0321MMMlA AF F0 0, ,MNlMMM200321A AF F解得解得例例26 如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在放在摇杆摇杆 BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩上的光滑

38、导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为为 ， OA r = 0.5 m。图示位置时图示位置时OA与与OB垂垂直，直， 。且系统平衡。求作用于摇杆且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩上力偶的矩 及铰链及铰链O、B处的约束反力。处的约束反力。mkNM 21o30解：取圆轮为研究解：取圆轮为研究 对象。对象。1sin0AMF rM0,0,解得解得kNrMrMrMFoA8230sinsin111以摇杆以摇杆BC为研究对象。为研究对象。20sinArMFM0 0, ,21sinsin2sin3048AAAAorrMFFrFF rMkN mkNFFFABo8附加力偶的矩为附加力偶的矩为FdM 1力的平移定

39、理力的平移定理定理：可以把作用在定理：可以把作用在刚体刚体上点上点A的力的力F平行移到任一点平行移到任一点B，但但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点对新作用点B的矩。的矩。证明：证明：F FA点力点力力系力系 ， ，F FF F F FF FF F- -F F B点力点力附加力偶附加力偶F F),(F FF F 2-3 2-3 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化)(F FBMM 力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力力+力偶力偶注：注：力平移的条件是附加

40、一个力偶力平移的条件是附加一个力偶M，且且M与与d有关，有关，M=Fd 力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理是力系简化的理论基础。2平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主矩主矢和主矩平面任意力系，例如力系平面任意力系，例如力系 ， ， 1F F2F F3F F力的平移力的平移 定理定理平面内任取一点平面内任取一点O，称为称为简化中心简化中心点点O的力的力 ， ， （平面汇交力系）（平面汇交力系）附加力偶附加力偶 （平面力偶系）（平面力偶系） 1 1F F2F F3F F2()MMO2F F)(1O1F FMM 3()MMO3F F 分别合成分别合成这两个

41、力系这两个力系)()()(321321F FF FF FooooMMMMMMM321321RF FF FF FF FF FF FF F（原来各力的矢量和）（原来各力的矢量和）（原来各力对点（原来各力对点O的矩的代数和）的矩的代数和）在一般情形下，平面任意力系向作用面内任选一点在一般情形下，平面任意力系向作用面内任选一点O简化可得一简化可得一个力和一个力偶。个力和一个力偶。这个力等于该力系的这个力等于该力系的主矢主矢，即平面任意力系中所有各力的矢量，即平面任意力系中所有各力的矢量和和ni 1iRF FF F作用线通过简化中心作用线通过简化中心O；这个力偶的矩等了该力系对于点这个力偶的矩等了该力系

42、对于点O的的主矩主矩，即这些力对于任选简，即这些力对于任选简化中心化中心O的矩的代数和的矩的代数和niooMM1)(iF F注：注：1. 主矢与简化中心的选择无关。主矢与简化中心的选择无关。 2. 一般情况下主矩与简化中心的选择有关。以后说到主矩时，必须指一般情况下主矩与简化中心的选择有关。以后说到主矩时，必须指 出是力系对于哪一点的主矩。出是力系对于哪一点的主矩。取坐标系取坐标系Oxy主矢主矢jiYXRyRxRF FF FF F22)()(YXFR大小大小方向余弦方向余弦RRFX),cos(iF FRRFY),cos(jF F力系对点力系对点O的主矩的主矩niiiiiniiooXyYxMM1

43、1)()(F FixiyiF F其中其中 ， 认为力认为力 作用点的坐标。作用点的坐标。固定端或插入端支座固定端或插入端支座车刀夹持在刀架上车刀夹持在刀架上工件夹持在卡盘上工件夹持在卡盘上简图简图注：固定端支座除了限制物体在水平方向和铅直方向移动外，还能限注：固定端支座除了限制物体在水平方向和铅直方向移动外，还能限制物体在平面内转动。制物体在平面内转动。在平面问题中固定端支座对物体在平面问题中固定端支座对物体的作用力构成一平面任意力系的作用力构成一平面任意力系向作用平面内点向作用平面内点A简化得到一个简化得到一个力和一个力偶力和一个力偶约束反作用可简化为两个约束反约束反作用可简化为两个约束反力

44、力 、 和一个矩为和一个矩为 的约束的约束反力偶反力偶FAxFAyAM平面任意力系的简化结果分析平面任意力系的简化结果分析0, 0oRMF F1平面任意力系简化为一个力偶的情形平面任意力系简化为一个力偶的情形作用于简化中心作用于简化中心O的力的力 相互平衡相互平衡n21F F, ,F FF F,附加的力偶系并不平衡，可合成为一个力偶，合力附加的力偶系并不平衡，可合成为一个力偶，合力偶矩为偶矩为niiooMM1)(F F注：此种情况下主矩与简化中心的选择无关。注：此种情况下主矩与简化中心的选择无关。2平面任意力系简化为一个合力的情形平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理合力矩定理附加力偶系互

45、相平衡。附加力偶系互相平衡。有一个与原力系等效的合力有一个与原力系等效的合力 ，作用线通过选定的简化中心，作用线通过选定的简化中心O。RF F0, 0oRMF F 0, 0oRMF FRRRF FF FF F合力矢等于主矢合力矢等于主矢RoFMd 注：合力的作用线在点注：合力的作用线在点O的哪一侧，需根据主矢和主矩的方向确定。的哪一侧，需根据主矢和主矩的方向确定。平面任意力系的平面任意力系的合力矩定理合力矩定理平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。对同一点的矩的代数和。证明：证明：平面任意力系对简化中心平面

46、任意力系对简化中心O的主矩的主矩niooMM1)(iF F合力合力 对点对点O的矩的矩RF FoRRoMdFM)(F F所以得证所以得证)()(ioRoMMF FF F3平面任意力系平衡的情形平面任意力系平衡的情形0, 0oRMF F例例27 重力坝受力情形如图所示。设重力坝受力情形如图所示。设 ， ， , 。求力系的合力。求力系的合力 的大小和方向余弦、的大小和方向余弦、合力与基线合力与基线OA的交点到点的交点到点O的距离的距离x，以及合力作用线方程。以及合力作用线方程。kNP4501kNP2002kNF3001kNF702RF F解：解：(1)将力系向点将力系向点O简化。简化。oCBABA

47、CB7 .16arctankNFFXFRx9 .232cos21kNFPPYFRy1 .670sin221主矢主矢 的大小为的大小为RF FkNYXFR4 .709)()(22方向余弦为方向余弦为3283. 0),cos(RRFXiF9466. 0),cos(RRFYjF则有则有oR84.70),(iFooR16.19180),(jF故主矢故主矢 在第四象限内，与在第四象限内，与x轴的夹角为轴的夹角为 。o84.70RF F力系对点力系对点O的主矩为的主矩为mkNPPFMMoo23559 . 35 . 13)(211F(2)合力合力 的大小和方向与主矢的大小和方向与主矢 相同。相同。RF FR

48、F F据合力矩定理据合力矩定理)()()(RyoRxoRooMMMMFFF其中其中0)(RxoMF故故()ooRyRyMMFxF解得解得mFMxRyo514. 3(3)设合力作用线上任一点的坐标为设合力作用线上任一点的坐标为(x，y)，将合力作用于此将合力作用于此点，则有点，则有XyYxyFxFMMRxRyRoo)(F)9 .232() 1 .670(2355yx 即即023559 .2321 .670yx2-4 2-4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程0R F F平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对于任平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主

49、矢和对于任一点的主矩都等于零。一点的主矩都等于零。充分性：充分性：作用于简化中心作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系的汇交力系为平衡力系原力系必为平衡力系原力系必为平衡力系必要性：必要性：合力或合力偶合力或合力偶（不平衡）（不平衡）主矢与主矩都不等于零主矢与主矩都不等于零 力系平衡力系平衡00oRMF F0oM 附加力偶系也是平衡力系附加力偶系也是平衡力系主矢和主矩有一个不等于零主矢和主矩有一个不等于零一个合力一个合力 22)()(YXFRniiooMM1)(F F0RF F0oM平面任意力系平衡的充要条件是：所有各力在两个任选的坐平面任意力系平衡的充要条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投

50、影的代数和分别等于零以及各力对于任意点的标轴上的投影的代数和分别等于零以及各力对于任意点的矩的代数和也等于零。矩的代数和也等于零。平面任意力系平衡的必要和充分条件平面任意力系平衡的必要和充分条件0)(1nioMiF F01niiX01niiY平面任意力系平面任意力系 的平衡方程的平衡方程 (一矩式一矩式)（三个方程，（三个方程， 求解三个未知数）求解三个未知数）例例 支架的横梁支架的横梁AB与斜杆与斜杆DC彼此以铰链彼此以铰链C相联接，并各相联接，并各以铰链以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知连接于铅直墙上。如图所示。已知ACCB；杆；杆DC与水平线成与水平线成 角；载荷角；载荷P10k

51、N，作用于作用于B处。设梁和处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链杆的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆的约束反力和杆DC所受的力。所受的力。450解：解：(1)取取AB梁为研究对象。梁为研究对象。 (3)列平衡方程。列平衡方程。(2)画受力图。画受力图。0245cos, 0)(lFlFMoCAF F(c)045cos, 0oCAxFFX(a)045sin, 0FFFYoCAy(b)(4)解方程。解方程。由式由式(c)可得可得kNFFoC28.2845cos/2代人式代人式(a)、(b)，得得kNFFFoCAx20245coskNFFFFoCAy1045sin合成，得合成，得kNFFFAyAxR

52、A36.22220245cos, 0)(lFlFMoCAF F045cos, 0oCAxFFX045sin, 0FFFYoCAy(a)(b)(c)式中负号表明，约束反力式中负号表明，约束反力 、 的方向与图中所设的方的方向与图中所设的方向相反。向相反。AxFAyF例例28 起重机重起重机重 ，可绕铅直轴可绕铅直轴AB转动；起重机的转动；起重机的挂钩上挂钩上挂挂一重为一重为 的重物。起重机的重心的重物。起重机的重心C到转动轴到转动轴的距离为的距离为1.5m，其它尺寸如图所示。求在止推轴承其它尺寸如图所示。求在止推轴承A和轴承和轴承B处的反作用力。处的反作用力。kNP101kNP402解：以起重机

53、为研究对象。解：以起重机为研究对象。0, 021PPFYAy12( )0,51.53.50ABMFPP F F0, 0BAxFFX解得解得kNFFBAx31kNPPFB317 . 03 . 021kNPPFAy5021为负值，说明它的方向与假设的方向相反，即应指向左。为负值，说明它的方向与假设的方向相反，即应指向左。BF02, 0BAyFPaqFY0224, 0)(aaqaPMaFMBAF F0, 0AxFXqaPFAy234qaPFB2143解得解得0AxF例例29 如图所示的水平横梁如图所示的水平横梁AB，A端为固定铰链支座，端为固定铰链支座，B端端为一滚动支座。梁的长为为一滚动支座。梁的

54、长为4a，梁重梁重P，作用在梁的中点作用在梁的中点C。在梁的在梁的AC段上受均布载荷段上受均布载荷q作用，在梁的作用，在梁的BC段上受力偶作段上受力偶作用，力偶矩用，力偶矩MPa。试求试求A和和B处的支座反力。处的支座反力。解：选梁解：选梁AB为研究对象。为研究对象。例例210 自重为自重为P100kN的的T字形刚架字形刚架ABD，置于铅垂面内，置于铅垂面内，载荷如图所示。其中载荷如图所示。其中M20kN m， F400kN，q20kNm，ll m 。试求固定端试求固定端A的约束反力。的约束反力。.解：取解：取T字形刚架为研究对象。字形刚架为研究对象。kNlqF303211线分布载荷用集中力线

55、分布载荷用集中力 等效替代：等效替代：1F060cos, 0oAyFPFY060sin, 01oAxFFFX1( )0,cos60sin6030AooAMMMFlFlFl F F解方程，求得解方程，求得kNFPFoAy10060coskNFFFoAx4 .31660sin11cos603sin60789.2ooAMMFlFlFlkN 负号说明图中所设方向与实际情况相反，负号说明图中所设方向与实际情况相反，即即 应为向下，应为向下， 应为顺时针转向。应为顺时针转向。AyFAM060cos, 0oAyFPFY060sin, 01oAxFFFX1( )0,cos60sin6030AooAMMMFlF

56、lFl F F平面任意力系平衡方程的其它两种形式平面任意力系平衡方程的其它两种形式01niiX0)(1niAMiF F0)(1niBMiF F二矩式二矩式注：其中注：其中x轴不得垂直于轴不得垂直于A、B两点的连线。两点的连线。01niiX0)(1niBMiF F0)(1niAMiF F力系简化为经过力系简化为经过点点A的一个力或的一个力或者平衡。者平衡。力系有一合力沿力系有一合力沿A、B两点的连线，或两点的连线，或者平衡者平衡合力必与合力必与x轴垂直或平衡轴垂直或平衡x轴不得垂直于轴不得垂直于A、B两点的连线两点的连线0)(1niAMiF F0)(1niBMiF F0)(1niCMiF F三矩

57、式三矩式注：注：A、B、C三点不得共线。三点不得共线。A、B、C三点不得共线。三点不得共线。0)(1niBMiF F0)(1niAMiF F力系简化为经过力系简化为经过点点A的一个力或的一个力或者平衡。者平衡。力系有一合力沿力系有一合力沿A、B两点的连线，或两点的连线，或者平衡者平衡力系有一合力沿力系有一合力沿A、B、C三点的连线，或者平衡三点的连线，或者平衡0)(1niCMiF F注：注： 1.在平面任意力系情形下，矩心应取在两未知力的交点上，在平面任意力系情形下，矩心应取在两未知力的交点上， 而坐标轴应当与尽可能多的未知力相垂直。而坐标轴应当与尽可能多的未知力相垂直。 2. 一矩式、二矩式

58、、三矩式三组方程都可用来解决平面任一矩式、二矩式、三矩式三组方程都可用来解决平面任 意力系的平衡问题。意力系的平衡问题。3. 对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，只可以对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，只可以 写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量。任何第四个写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量。任何第四个 方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们 可以利用这个方程来校核计算的结果。可以利用这个方程来校核计算的结果。平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程平面平行力系平面平行力系: :各力的作用线在同一平面内且

59、相互平行的力系。各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。如图所示，设物体受平面平行力系如图所示，设物体受平面平行力系 的作用。的作用。n21F,F,F0X平行力系的独立平衡方程的数目平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即：只有两个，即：01niiY0)(1niOMiF F注：其中注：其中A、B两点的连线不得与各力平行。两点的连线不得与各力平行。0)(1niBMiF F0)(1niAMiF F或或0,0AxXF( )0,202ABaMF a q aMFa F0,0AyBYFFqaF已知：已知：F=20kN, M=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：求：A、B的支反力。的支反力

60、。解：以解：以AB梁为研究对象。梁为研究对象。解得：解得：212(kN )2BqaMFFa 24(kN )AyBFFqaFkNPPP75)210(8112min33min12( )0,(62)2(122)0BMPPPF F例例 塔式起重机如图所示。机架重塔式起重机如图所示。机架重 作用线通过塔作用线通过塔架的中心。最大起重量架的中心。最大起重量 ，最大悬臂长为最大悬臂长为12m，轨轨道道AB的间距为的间距为4m。平衡荷重平衡荷重 ，到机身中心线距离为到机身中心线距离为6m。试试问：问：(1)保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重 应为多少应