第三节参数估计B

1、 点估计的评价标准点估计的评价标准 对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量应该选用哪一种估计量? ?用何标准来评价一个估计量的好坏用何标准来评价一个估计量的好坏? ?常用常用标准标准(1) 无偏性(3) 一致性（相合性）(2) 有效性（优效估计）( )E若 则称是 的无偏估计量. 无偏性无偏性定义定义我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.定义的合理性( )E若 则称是 的渐近无偏估计量. 定义定义( )E称为估计量 的偏差。 lim( )nE若 12(,)nXXX是总体X 的样本,证明: 不论 X

2、 服从什么分布(但期望存在),是k的无偏估计量.证证1111()()()nnkkkiiiiE AEXE Xnn例例1 1 设总体X 的 k 阶矩()kkE X存在因而()1,2,kikE Xin由于1kknn 11nkkiiAXn则特别地 样本二阶原点矩2211niiAXn 是总体是总体期望 E( X ) 的X样本均值无偏估计量的无偏22()E X二阶原点矩估计量例例2 2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的12(,)nX XX样本为 (n 1) . (1) 不是 D( X )的无偏估计量; 2211()nniiSXXn(2) 是 D( X ) 的无偏估计量. 2211()1niiSXX

3、n证证2221111()nniiiiXXXXnn前已证证明2()(),()()iiE XE XD XD X2()(),()EXEXDXn2221111()()()nniiiiEXXE XE Xnn因而222222() ()(D(X)=E(X )-E(X) )n由221nn212)(11niiXXnE故 证毕.例例3 3 设),(21mXXX是总体 X 的一个样本 ,XB(n , p) n 1 , 求 p 2 的无偏估计量. 解解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质, 只要将未知参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未知参数的估计量即为无偏估

4、计量. npXEX)(令)1 ()()(12212pnpnpXEXmmiiXXmnnpmii122211因此, p 2 的无偏估计量为) 1() 1(11nnXXmmiii故XXmpnnmii12221)(例例4 4 设总体 X 的密度函数为（负指数分布）00, 01);(xxexfx0为常数),(21nXXX为 X 的一个样本证明X与,min21nXXXn都是的无偏估计量证证 )(1XEEX故)()(XEXE是 的无偏估计量.X,min21nXXXZ令000)(zenzzfnzZ即nZEnEZ)(0100zeznz)(nZE故 n Z 是 的无偏估计量.)()()(121zXPzXPzXPn

5、niizXP1)(1 (1),(1)(21zXzXzXPzFnZ),(2111nXXX都是总体参数 的无偏估计量, 且)()(21DD则称 比 更有效.12定义定义 设有效性有效性),(2122nXXX所以,X比,min21nXXXn更有效.是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？ X,min21nXXXn由例4可知, 与 都00, 01);(xxexfx0为常数例例5 5 设总体 X 的密度函数为221),min(nXXXnDnXD2)(解解 ，例例6 6 设总体 X，且 E( X )= , D( X )= 2 ),(21nXXX为总体 X 的一个样本证明iniiXc11是 的无偏估计量(2)

6、 证明X比iniiXc11更有效证证 (1) niiiniicXEcE111)()(. 11niic., 2 , 11ninci(1) 设常数(2) niiiniicXDcD122121)()(ncnii112)(1) (12DnDniinjijiniicnccc1212212)(2211112nniiijiiij ncccc 结论结论算术均值比加权均值更有效. .而例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.213212211212143413132XXXXXX都是 的无偏估计量由例6(2) 知3最有效.罗罗克拉美克拉美（Rao Cramer）不等式不等式若是参数 的

7、无偏估计量, 则)(),(ln1)(02DXpnED其中 p ( x , ) 是 总体 X 的概率分布或密度函数，称 为方差的下界.)(0D)()(0DD当 时, 称 为达到方差下界的无偏估计量, 此时称 为最有效的估计量, 简称有效估计量.例例7 7 设总体 X 的密度函数为00, 01);(xxexfx),(21nxxx为 X 的一个样本值.求 的极大似然估计量, 并判断它是否达到方差下界的无偏估计量.0为常数解解 由似然函数niixneL11)(niixnL1ln)(ln21)(lnddniixnL0令xxnnii11 的极大似然估计量为XXnnii11它是 的无偏估计量.nXnDDni

8、i21)1()(而xxfln),(ln故 是达到方差下界的无偏估计量.X2221),(lnxxf2221),(lnXEXfE21nXfnE22),(ln1)(XD0)(limPn定义定义 设 是总体参数 ),(21nXXX则称是总体参数 的一致(或相合)估计量.的估计量. 若对于任意的 , 当n 时, 一致性一致性依概率收敛于 , 即,0一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.关于一致性的两个常用结论关于一致性的两个常用结论 1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量. 是 的一致估计量.由大数定律证明由大数定律证明用切贝雪夫不用切贝雪夫不 等式证明等式证明矩法得到的估

9、计量一般为一致估计量在一定条件下, 极大似然估计具有一致性2. 设 是 的无偏估计 量, 且 , 则0)(limDn例例8 800, 01);(xxexfXx0为常数则 是 的无偏、有效、一致估计量.X证证 由例7 知 是 的无偏、有效估计量.X)(limXDn0lim2nn所以 是 的一致估计量, 证毕.X 问问 题题母亲嗜酒是否影响下一代的健康母亲嗜酒是否影响下一代的健康 美国的美国的Jones医生于医生于1974年观察了母年观察了母亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的6名七名七岁儿童（称为甲组）岁儿童（称为甲组）.以母亲的年龄，文以母亲的年龄，文化程度及婚姻状况与前化

10、程度及婚姻状况与前6名儿童的母亲名儿童的母亲相同或相近，但不饮酒的相同或相近，但不饮酒的46名七岁儿童名七岁儿童为对照租为对照租(称为乙组称为乙组). 测定两组儿童的智测定两组儿童的智商，结果如下：商，结果如下：甲 组 6 78 19乙 组 46 99 16人数智商平均数样本标准差nxs智商组别 由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一代的智力？若有影响，推断其影响程度有多大?提示提示 前一问题属假设检验问题 后一问题属区间估计问题 智商一般受诸多因素的影响.从而可以),(),(222211uNuN和 本问题实际是检验甲组总体的均值是否比乙组总体的均值偏小? 若是，这个差异范围有多大? 前一问题属假设

11、检验，后一问题属区间估计.解解假定两组儿童的智商服从正态分布. 由于两个总体的方差未知，而甲组的样本容量较小，因此采用大样本下两总体均值比较的U检验法似乎不妥. 故2221122210:;:HH当 为真时，统计量 0H)45, 5 (2221FSSF 采用方差相等 (但未知) 时，两正态总体均值比较的t检验法对第一个问题作出回答. 为此 , 利用样本先检验两总体方差是否相等，即检验假设拒绝域为 1 . 0取)45, 5()45, 5(2/2/1FFFF或)45, 5 ()45, 5 (95. 02/1FF43. 2)45, 5()45, 5(05. 02/ FF22. 0) 5 ,45(/ 1

12、05. 0F)45, 5()45, 5(,41. 1161905. 0095. 0220FFFFF得的观察值未落在拒绝域内，故接受 . 即可认为0H两总体方差相等. 下面用 t 检验法检12验 是否比 显著偏小？ 即检验假设211210:;:uuHuuH当 为真时，检验统计量 0H)2(11212121nntnnSXXTw01. 0,2) 1() 1(212222112取nnSnSnSw其中 的观察值T,46, 6,16,19212221nnSS将)50(54. 296. 201. 00tT代入得99,7821xx嗜酒会对儿童智力发育产生不良影响.落在拒绝域内，故拒绝 . 即认为母亲0H 下面

13、继续考察这种不良影响的程度. 为此要对两总体均值差进行区间估计.)2(112122112nntnnSXXw的置信区间为的置信度为112uu取 并代入相应数据可得,01. 032.16,67. 2)50(005. 0wSt于是置信度为 99% 的置信区间为 4616167. 232.167899)91.39,09. 2(91.1821由此可断言：在99%的置信度下，嗜酒母亲所生孩子在七岁时的智商比不饮酒的母亲所生孩子在七岁时的智商平均要低 2.09 到 39.91. 故限制显著性水平的原则体现了“保护零假设”的原则.注注 大家是否注意到，在解决问题时，两次假设检验所取的显著性水平不同.前者远1

14、. 0在检验方差相等时，取 ; 在01. 0检验均值是否相等时取 .比后者大. 为何这样取呢?因为检验的结果与检验的显著性水平 有关. 小，则拒绝域也会小，产生的后果使零假设难以被拒绝.0H0H 在 较大时,若能接受 , 说明为真的依据很充足; 同样，在 很小时，我们仍然拒绝 . 说明 不真的理由就更充足.0H0H 说明在所给数据下，得出相应的1 . 02221本例中, 对 , 仍得出 可被接受,01. 0及对 , 21uu 可被拒绝的结论.结论有很充足的理由. 另外在区间估计中，取较小的置信 若反之 , 取较大的置信水平，则可01. 0水平 (即较大的置信度), 从而使得区间估计的范围较大. 减少估计区间的长度，使区间估计精确提高，但相应地区间估计的可靠度降低了，即要冒更大的风险.niiniiXXEkXXkE11