第10章非正弦周期电流电路

1、第10章 周期性非正弦稳态电路分析第十章第十章 周期性非正弦稳态周期性非正弦稳态电路分析电路分析一、特点：按周期规律变化，但不是正弦量。一、特点：按周期规律变化，但不是正弦量。工程实际中，非正弦周期波形较为常见，如：脉冲波形、三工程实际中，非正弦周期波形较为常见，如：脉冲波形、三角波、方波、锯齿波、半波整流波形等等；角波、方波、锯齿波、半波整流波形等等；tu方波电压方波电压tu锯齿波锯齿波tu脉冲波形脉冲波形tu半波整流波形半波整流波形第10章 周期性非正弦稳态电路分析(3). 若电路中存在非线性元件。若电路中存在非线性元件。 二、非正弦周期信号的产生：二、非正弦周期信号的产生：(1).电源提

2、供的电压或电流是非正弦周期变化的；电源提供的电压或电流是非正弦周期变化的；(2).电路中有不同频率的电源共同作用；电路中有不同频率的电源共同作用；如：全波整流电路如：全波整流电路tt+_R+_第10章 周期性非正弦稳态电路分析8-1 非正弦周期量的分解非正弦周期量的分解傅里叶傅里叶 (1768 1830)：法国数学家。法国数学家。 以傅里叶著作为基础发展起来的傅里叶分析对近代数学以傅里叶著作为基础发展起来的傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展都产生了深远的影响。以及物理和工程技术的发展都产生了深远的影响。 他的著作他的著作热的解析理论热的解析理论(1822)是数是数学史上一部经典性文献

3、，书中系统的运用了学史上一部经典性文献，书中系统的运用了三角级数和三角积分，他的学生将它们命名三角级数和三角积分，他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分。他深信数学是为傅里叶级数和傅里叶积分。他深信数学是解决实际问题最卓越的工具。解决实际问题最卓越的工具。第10章 周期性非正弦稳态电路分析1TT00( )d( )Af tt 0mm11( )sincoskkkkf tABktCktm02( )sindTkBf tkttTm02( )cosdTkCftk ttT2120( ) ()f t dt210( )sin() ()f tkt dt210( )cos() ()f tkt dt一、周期函数展

4、开成傅里叶级数一、周期函数展开成傅里叶级数在一周期内有有限个极大、极小值。在一周期内有有限个极大、极小值。有限个第一间断点。有限个第一间断点。条件：条件：第10章 周期性非正弦稳态电路分析傅里叶级数另一种形式：傅里叶级数另一种形式：0kmk1sin()KfAAk t( )t t0kmk1sin()KAAktf(t)22mCmmkkkA=B01122ksin()sin(2)sin()mmkmAAAAkt +t +t +arctgmmkkkCB基波（或基波（或一次谐波）一次谐波）二次谐波二次谐波（2倍频）倍频）直流分量直流分量高次谐波高次谐波第10章 周期性非正弦稳态电路分析 在电力系统中在电力系

5、统中，高次谐波会给整个系统带来极大的，高次谐波会给整个系统带来极大的危害，如使电能质量降低，损坏电力电容器、电缆、电危害，如使电能质量降低，损坏电力电容器、电缆、电动机等，增加线路损耗。动机等，增加线路损耗。 因此，因此，要想办法消除高次谐波分量。要想办法消除高次谐波分量。第10章 周期性非正弦稳态电路分析例：求图示周期性矩形信号的傅里叶级数展开式。例：求图示周期性矩形信号的傅里叶级数展开式。f(t)在第一个周期内的表达式为：在第一个周期内的表达式为：2mUt f(t)t2T/2TUm-Um0mUt解：解：01( )Tf t dtT0A201sin() ( )sin() ( )mmUk t d

6、tUk t dt201( )sin() ()f tk t dt21 cos()mUkk0m02( )sindTkBf tkt tT02sin() ()mUkt dt021cos()mUktk当当k为偶数时：为偶数时：Bkm=0当当k为奇数时：为奇数时：Bkm=4Um/k第10章 周期性非正弦稳态电路分析02cos() ()mUk t dt201cos() ()cos() ()mmUk t dtUk t dt201( )cos() ()f tk t dt0根据函数为奇函数，也可得到：根据函数为奇函数，也可得到：Ckm=0m02( )cosdTkCftk ttT由此求得：由此求得：411( )si

7、n()sin(3)sin(5)35mUf tttt例：求图示周期性矩形信号的傅里叶级数展开式。例：求图示周期性矩形信号的傅里叶级数展开式。f(t)t2T/2TUm-Um解：解：第10章 周期性非正弦稳态电路分析周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开基波分量基波分量三次谐波三次谐波f(t)t基波基波+三次谐波三次谐波五次谐波五次谐波f(t)t基波基波+三次谐波三次谐波4111( )(sinsin3sin5sin7.)357f ttttt基波基波+三次三次+五次五次谐波谐波第10章 周期性非正弦稳态电路分析xy0 2 2 例：例：将函数将函数展开为展开为傅里叶级数。傅里叶级数。f(x)= -x,

8、 x0 x, 0 0 x 解：解： nxdxxfancos)(1 00cos1cos)(1nxdxxnxdxx01( )af x dx0011()x dxxdx12)1(cos22 nxn), 2 , 1(1)1(22 nnn 周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开第10章 周期性非正弦稳态电路分析 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk nxdxxfbnsin)(1 00sin1sin)(1nxdxxnxdxx, 0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x所求函数的傅氏展开式为：所求函数的傅氏展开式为：周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里

9、叶展开第10章 周期性非正弦稳态电路分析求级数的和求级数的和2141( )cos(21) ,2(21)nf xnxn, 0)0(,0 fx时时当当 222513118xy0 2 2 傅氏展开式的应用傅氏展开式的应用已知：已知：22111?35计算：计算：解：解：第10章 周期性非正弦稳态电路分析,44212 ,243212 212,6231212,4131211222 设设),8(513112221 ,6141212222 ,41312112223 求级数的和求级数的和傅氏展开式的应用傅氏展开式的应用试计算级数试计算级数、2、3解：解：第10章 周期性非正弦稳态电路分析二、常用周期信号的傅里叶

10、展开二、常用周期信号的傅里叶展开4111( )(sinsin3sin5sin7)357Af ttttt28111( )(sinsin3sin5sin7)92549Af ttttt2T2TTT/2Af(t)tTAf(t)t-A第10章 周期性非正弦稳态电路分析41 1111( )(cos2cos4cos6cos8)2 3153563Af ttttt111( )(sinsin2sin3sin4)2234AAf ttttt2T2TTT/2Af(t)tTAf(t)t2T第10章 周期性非正弦稳态电路分析8-2 非正弦周期量的有效值与功率非正弦周期量的有效值与功率相关数学知识相关数学知识(三角函数系的正

11、交性三角函数系的正交性)：,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx, 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函数系：三角函数系：), 3 , 2 , 1( n正交性：任意两个不同函数在正交性：任意两个不同函数在-p, p上的积分等于零。上的积分等于零。20sin()0ktdt20cos()0ktdt 1.正弦、余弦信号一个周期内的积分为正弦、余弦信号一个周期内的积分为0(k为整数为整数)。第10章 周期性非正弦稳态电路分析0,sinsin,mnmxnxdxmn0,coscos,mnmxnxdxmnsincos0mxnxdx), 2 , 1,( nm其其中

12、中正交性：任意两个不同函数在正交性：任意两个不同函数在-p, p上的积分等于零。上的积分等于零。第10章 周期性非正弦稳态电路分析22011sin()22ktdt 3.正弦、余弦的平方在一个周期内的平均值为正弦、余弦的平方在一个周期内的平均值为1/2 。22011cos()22ktdt2.三角函数的正交性三角函数的正交性0(kp)20sinsin()0 ktp tdt20cossin()0ktp tdt20coscos()0 ktp tdt第10章 周期性非正弦稳态电路分析一、非正弦周期量一、非正弦周期量的有效值的有效值201TIi dtT01sin()kmkkiIIk t20011sin()

13、TkmkkIIIk tdtT根据有效值定义：根据有效值定义：设非正弦周期电流为：设非正弦周期电流为：220m112kkII 2201kkII如如(a+b+c+)2根展开后得：根展开后得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+结论：周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值结论：周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。平方和的方根。第10章 周期性非正弦稳态电路分析二、非正弦周期量二、非正弦周期量的平均值的平均值若若)(sin)(10kkkmtkUUtu020)(21UtdtuUAV则其平均值为：则其平均值为：(直流分量直流分量)正弦量的正弦量的平均值为平均值为0则有

14、效值：则有效值：设非正弦周期电压傅立叶级数展开式为：设非正弦周期电压傅立叶级数展开式为：01( )sin()kmkku tUUkwt22212022mmUUUU22220120kkUUUU第10章 周期性非正弦稳态电路分析不同的仪器读数涵义不同不同的仪器读数涵义不同:(对于同一非正弦周期电流）当用不对于同一非正弦周期电流）当用不同类型的仪表进行测量时，会得到不同的结果。同类型的仪表进行测量时，会得到不同的结果。(2).用电磁系或电动系仪表用电磁系或电动系仪表测得的结果为非正弦量的测得的结果为非正弦量的有效值有效值；(3).用用全波整流仪表全波整流仪表测量时，所得结果为非正弦量的测量时，所得结果

15、为非正弦量的绝对平绝对平均值均值。在测量非正弦周期性电流和电压时，要注意选取合适的仪表，在测量非正弦周期性电流和电压时，要注意选取合适的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。并注意不同类型仪表读数表示的含义。例如：例如：(1).用用磁电系仪表磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是非正弦量（直流仪表）测量，所得结果将是非正弦量的的恒定分量恒定分量(即平均值即平均值)；第10章 周期性非正弦稳态电路分析01sin()kmukkuUUk t01sin()kmikkiIIk t平均功率（平均功率（The average power）：）：01TPuidtT不同频率的正弦电压和电流不产生平均功率（正

16、弦函数的正不同频率的正弦电压和电流不产生平均功率（正弦函数的正交性）。交性）。二、非正弦周期交流电路平均功率二、非正弦周期交流电路平均功率01kkPP0 01cos()k kukikkU IU I 结论：结论： 平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 N+ui_0 011cos()2km kmukikkU IUI第10章 周期性非正弦稳态电路分析例：已知电路中某支路电压和电流分别为：例：已知电路中某支路电压和电流分别为：( )20100sin31450sin(62830 )10sin(125620 ) V( )0.1sin(31460 )0.2sin(

17、94245 )2sin(125640 ) Au tttti tttt计算该支路的平均功率。计算该支路的平均功率。直流功率：直流功率：020 0.12WP 基波功率：基波功率：11100 1 cos(60 )25(W)2P 2次谐波和次谐波和3次谐波功率为：次谐波功率为：20P 30P 4次谐波功率：次谐波功率：4110 2 cos( 60 )5(W)2P 总功率：总功率：0123432(W)PPPPPP解：解：N+ui_第10章 周期性非正弦稳态电路分析N+ui_5sin()2sin(245 )ittA10sin(90 ) 10sin(245 ) 10sin(360 )utttV例：已知某无源

18、单口网络例：已知某无源单口网络N端口的电压、电流为：端口的电压、电流为：试求：（试求：（1）各频率网络）各频率网络N的输入阻抗。的输入阻抗。 （2）网络消耗的平均功率。）网络消耗的平均功率。02 90 此时网络此时网络N呈纯电感性。呈纯电感性。解：解：(1)2( )j111/ZUI15 2 /2I15 2 90U5( )j 222/ZUI22 45I25 245U30I333/ZUI 35 260U此时网络此时网络N呈纯电容性。呈纯电容性。此时网络此时网络N对三次谐波发生并联谐振。对三次谐波发生并联谐振。第10章 周期性非正弦稳态电路分析5sin()2sin(245 )ittA10sin(90

19、 ) 10sin(245 ) 10sin(360 )utttVN+ui_例：已知某无源单口网络例：已知某无源单口网络N端口的电压、电流为：端口的电压、电流为：试求：（试求：（1）各频率网络）各频率网络N的输入阻抗。的输入阻抗。 （2）网络消耗的平均功率。）网络消耗的平均功率。解：解：(2)01 112223 33coscoscosU IU IU I网络对各次谐波的阻抗都没有显示出电阻性质，说明该网络网络对各次谐波的阻抗都没有显示出电阻性质，说明该网络是由动态元件是由动态元件L、C组成的。组成的。123PPPP其消耗的有功功率应为零。其消耗的有功功率应为零。第10章 周期性非正弦稳态电路分析N+

20、ui_三、非正弦周期交流电路视在功率和功率因数三、非正弦周期交流电路视在功率和功率因数222222012012UUUIIISUIcosPS视在功率为：视在功率为：功率因数：功率因数：01sin()kmukkuUUk t01s()kmikkiIIin k t第10章 周期性非正弦稳态电路分析8-3 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算谐波分析法步骤：谐波分析法步骤：(1). 将给定的非正弦周期电压或电流将给定的非正弦周期电压或电流分解为傅立叶级数分解为傅立叶级数； (3). 应用应用叠加叠加定理，在定理，在时域时域中将中将各个响应分量相加各个响应分量相加（注意：（注意：相量直接相加没

21、有意义）。相量直接相加没有意义）。(2). 分别求出傅立叶级数中分别求出傅立叶级数中各个分量单独作用下电路的响应各个分量单独作用下电路的响应（对正弦稳态电路，采用相量法分析，并注意：感抗、容（对正弦稳态电路，采用相量法分析，并注意：感抗、容抗会随频率变化）；抗会随频率变化）；谐波分析法：谐波分析法：将非正弦周期电流电路的计算转化为一系列正将非正弦周期电流电路的计算转化为一系列正弦电流电路的计算。弦电流电路的计算。谐波分析法实质上是把谐波分析法实质上是把非正弦周期电流电路的计算化为一系非正弦周期电流电路的计算化为一系列正弦电流电路的计算列正弦电流电路的计算。第10章 周期性非正弦稳态电路分析 I

22、Rj L+_Cj1 Uu 的直流分量单独作用时：的直流分量单独作用时：解：解：10060sin40sin2utt V30 ,40 , 1/()80RLC例：如图，电压例：如图，电压求：电流求：电流I 。C相当于开路，相当于开路，L相当于短路相当于短路电流的直流分量电流的直流分量I0=0 当基波分量单独作用时：当基波分量单独作用时：11()ZRjLC111UIZ30 2 01.253.13 ( )5053.132A30405053.13 ( )j11.2sin(53.13 ) ( )itA第10章 周期性非正弦稳态电路分析 IRj L+_Cj1 U解：解：10060sin40sin2utt V3

23、0 ,40 , 1/()80RLC例：如图，电压例：如图，电压求：电流求：电流I 。二次谐波分量单独作用时：二次谐波分量单独作用时：50 53.13 ( )30(8040)j21(2)2ZRjLC 根据叠加定理：根据叠加定理：20.8sin(253.13 )( )itA20 2 00.853.13 ( )50 53.132A1.2sin(53.13 )0.8sin(253.13 )( )ttA222UIZ012iIii第10章 周期性非正弦稳态电路分析直流分量作用，电路模型如图直流分量作用，电路模型如图02 2 10U 1210V,20 2sin10 V,(22 2sin10 )ASSSuut

24、it例：例：求：求：(1) 端电压端电压u及其有效值；及其有效值；(2) 电流源发出的平均功率。电流源发出的平均功率。+_+_uS12 10-2F+_uS2u0.4HiS+_U02 10V+_2A解：解：14(V)014(V)U 第10章 周期性非正弦稳态电路分析1210V,20 2sin10 V,(22 2sin10 )ASSSuutit例：例：求：求：(1) 端电压端电压u及其有效值；及其有效值；(2) 电流源发出的平均功率。电流源发出的平均功率。+_+_uS12 10-2F+_uS2u0.4HiS解：解：+_2 +_200j4 -j10 200AU111120()2(2j4)j10j10

25、U120 90 (V)U交流分量作用相量模型如图交流分量作用相量模型如图采用节点法计算：采用节点法计算：120 90 (V)U014(V)U 第10章 周期性非正弦稳态电路分析1210V,20 2sin10 V,(22 2sin10 )ASSSuutit例：例：求：求：(1) 端电压端电压u及其有效值；及其有效值；(2) 电流源发出的平均功率。电流源发出的平均功率。+_+_uS12 10-2F+_uS2u0.4HiS解：解：120 90 (V)U014(V)U 电流源的电流源的端电压端电压u为：为：01uUu2201UUU电流源发出的平均功率：电流源发出的平均功率：001 1cos90PU I

26、U I22142024.4(V)28(W)(14 220 2cos90 ) 端电压有效值为：端电压有效值为：1420 2sin(90 )Vt第10章 周期性非正弦稳态电路分析交、直流共存的电路。交、直流共存的电路。解题要点：解题要点： 交、直流分别计算；瞬时值结果迭加。交、直流分别计算；瞬时值结果迭加。例：如图电路中例：如图电路中us(t)=10sin(2t)v，求电流求电流i的有效值及电阻功的有效值及电阻功率。率。+_uS1.2Hi2H1 4 0.5F4 2A直流直流I01 4 4 2A直流直流01IA2004PI RW(1)直流电直流电源作用源作用第10章 周期性非正弦稳态电路分析例：如图

27、电路中例：如图电路中us(t)=10sin(2t)v，求电流求电流i的有效值及电阻功的有效值及电阻功率。率。+_uS1.2Hi2H1 4 0.5F4 2A直流直流10I 10P (1)交流电交流电源作用源作用+_uSj2.4 I11 4 4 j4 -j1 平衡电轿平衡电轿叠加：叠加：22101()404 ()IAPW第10章 周期性非正弦稳态电路分析计算非正弦周期交流电路应注意的问题计算非正弦周期交流电路应注意的问题(1). 最后结果只能是瞬时值叠加，最后结果只能是瞬时值叠加，不同频率正弦量不能用相不同频率正弦量不能用相量相加量相加。(2). 不同频率对应的不同频率对应的 XL、XC不同。不同

28、。5310UUUUU.感抗和容抗在不同谐波时值不同。感抗和容抗在不同谐波时值不同。(3). 若支路阻抗为零，则发生了串联谐振；若支路阻抗为无若支路阻抗为零，则发生了串联谐振；若支路阻抗为无穷，则发生了并联谐振。穷，则发生了并联谐振。第10章 周期性非正弦稳态电路分析例：如图所示电路，例：如图所示电路，R1=5， L1=0.4H， C=0.025F， L2=0.05H， R2=5 ，求电压，求电压u(t) 5 10sin 1015sin 30,sutttV采用叠加原理采用叠加原理 5V单独作用时：单独作用时：sradCL10025. 04 . 0111L1L2CR2+_uS(t)R1+_u(t)

29、解：解：u1(t)=0基波基波10sin(10t)单独作用时：单独作用时：由于：由于：L1与与C发生并联谐振发生并联谐振 20.5 10sin 105sin 10uttt Vu1(t)=0 25sin 10u tt V第10章 周期性非正弦稳态电路分析例：如图所示电路，例：如图所示电路，R1=5， L1=0.4H， C=0.025F， L2=0.05H， R2=5 ，求电压，求电压u(t) 5 10sin 1015sin 30,sutttV采用叠加原理采用叠加原理 L1L2CR2+_uS(t)R1+_u(t)解：解：u1(t)=0 25sin 10u tt V15sin(30t)单独作用时：单

30、独作用时：11/j Lj C5 . 105. 0302jjLj发生串联谐振发生串联谐振u3(t)=0u(t)=u1(t)+u2(t)+u3(t)=5sin(10t) V1.5( )j 130 0.4 /30 0.025jju3(t)=0第10章 周期性非正弦稳态电路分析例：电路如图所示，已知例：电路如图所示，已知=1000rad/s，C=1F，R=1，在稳态时，在稳态时，uR(t)中不含基波，而二次谐波与电源二次谐波中不含基波，而二次谐波与电源二次谐波电压相同，求：电压相同，求：(1)us(t)的有效值的有效值 ；(2)电感电感L1和和L2 ；(3)电源发出的平均功率。电源发出的平均功率。( )12152 sin()162 sin(2)Suttt V222121516sU211/()LCL2L1C+_+_RuS(t)uR(t)解：解：(1)1()H25()V261/(100