德鲁克公设与伊留申公设

1、（1）稳定材料：稳定材料：应力增加，应变随之增加，即应力增加，应变随之增加，即0，三种应力应变曲线三种应力应变曲线（2）不稳定材料：不稳定材料：应变增加，应力减少，称之为应变软应变增加，应力减少，称之为应变软化，化，0，（3 3）随应力增加，应变减少，这种情况和能量）随应力增加，应变减少，这种情况和能量守恒原理矛盾守恒原理矛盾 1234pd0123(4)ijdij.ij.ij0从从1点的应力状态点的应力状态 （ 是静力可能的应力）开始，是静力可能的应力）开始，施加某种外力使其达到施加某种外力使其达到2点点（其应力为（其应力为 ij）并进入屈服，并进入屈服，再施加应力增量再施加应力增量d ij使

2、其加载到达使其加载到达3点（其应力为点（其应力为 ij +d ij )，然后移去所施加的外力，使微单元体卸载回到原来的应力状态然后移去所施加的外力，使微单元体卸载回到原来的应力状态 。应力循环应力循环0ij0ij0ij 在如此的应力循环在如此的应力循环1-2-3-4内，附加应力内，附加应力 ij 所做的所做的功应不小于零：功应不小于零： Drucker公设公设 0ijijijijijd0)(0在应力循环中，附加应力在弹性应变上所做功为零在应力循环中，附加应力在弹性应变上所做功为零 0)(0ijeijijijd0)(0ijpijijijd pijeijijdddDrucker公设的两个推论公设的

3、两个推论 （1）当）当1点处在屈服面内，即点处在屈服面内，即 ij 0ijpijijijd)(0pijijpijijdd0 又称为最大塑性功原理，即实际应力所做的塑性功总是又称为最大塑性功原理，即实际应力所做的塑性功总是大于或者等于静力可能应力所做的塑性功大于或者等于静力可能应力所做的塑性功 （2）当）当1点处在屈服面上，即点处在屈服面上，即 ij =0ij0pijijdd加载面外凸性加载面外凸性 定义：过加载面上的任意一点作一超平面与加载面相切，该定义：过加载面上的任意一点作一超平面与加载面相切，该超平面若不再与加载面相交，即加载面位于超平面的一侧，超平面若不再与加载面相交，即加载面位于超平

4、面的一侧，则加载面外凸则加载面外凸 cos0pijijdd220pijijdd0加载面n超平面 dpijij0p0dAA00ijijAA （1） Drucker公设在应力空间讨论问题，而伊留申公设在在应变空公设在应力空间讨论问题，而伊留申公设在在应变空间讨论问题。间讨论问题。 （2）根据）根据Drucker公设导出的应力空间的屈服面具有外凸性，而根据公设导出的应力空间的屈服面具有外凸性，而根据伊留申公设导出的应变空间的屈服面也具有外凸性伊留申公设导出的应变空间的屈服面也具有外凸性。（3） Drucker公设只适用于稳定材料（即有应变强化材料），应力循公设只适用于稳定材料（即有应变强化材料），应

5、力循环不可能构成，而伊留申公设适用于应变强化与应变软化等材料。环不可能构成，而伊留申公设适用于应变强化与应变软化等材料。（4）任一应力循环所完成的功，总是小于任一应变循环所完成的功。）任一应力循环所完成的功，总是小于任一应变循环所完成的功。（5）伊留申公设比）伊留申公设比Drucker公设较强，即公设较强，即Drucker成立的条件下，伊成立的条件下，伊留申公设一定成立，反之则不然。留申公设一定成立，反之则不然。伊留申公设伊留申公设0ijijd0加载面n超平面 dpijij0p0dAA00ijijAA正交流动法则正交流动法则 塑性应变增量塑性应变增量 必须沿着外法向方向必须沿着外法向方向n p

6、ijdijpijfdd假定屈服函数假定屈服函数f与静水压力无关，与静水压力无关， 必然是一个偏张量，必然是一个偏张量，因此，因此， 也是偏张量，即塑性体积是不可压缩的。也是偏张量，即塑性体积是不可压缩的。ijfpijd d p与与n两者方向一致，则两者方向一致，则Drucker公设变为公设变为dn 0只有当应力增量指向加载面外时才产生塑性变形，即加载准则。只有当应力增量指向加载面外时才产生塑性变形，即加载准则。塑性势理论类比了弹性应变可用弹性势函数对应力微分的表达式，g是塑性势函数。 g=f，相关联的流动法则。塑性应变增量与屈服面正交。 在Drucker公设成立的条件下，显然有g=f 若gf，

7、为非关联的流动法则，塑性应变增量与屈服面不正交。ijpijgdd Mises屈服条件相关联的流动法则ijijpijsdfdd0, 300, 3302222s22s2s2dJ /J dJ /J /J d或pijpijded塑性应变增量是一个偏量 ijijijsddsGde21kkkkdEvd)21(Prandtl-Reuss本构关系 理想塑性材料 相对弹性力学问题，增加了d未知数，也增加了一个方程（屈服条件） 理想弹塑性问题，应在平衡方程几何方程物理方程屈服条件 如塑性应变增量比弹性应变增量大得多时，可将弹性应变增量忽略，应力增量与应变增量的关系变为=dsij这是一种理想刚塑性模型。Levy-M

8、ises本构关系pijijdd讨论： 当给定应力sij，由本构方程可确定应变增量dij各分量的比例关系， 由于d未知，不能确定应变增量dij的大小。 其物理含义是：由本构方程，大小可以任意。 但变形必须始终保持协调而受到相互限制。 应变大小的确定需结合变形协调条件。反过来若给定dij，则可以确定sij。 22231221sijijijijdddssJsijijddd23ijijijsijddds32pppppddddddp313122 uupd Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成f1 = 2 3 s=0 f2 = 3 + 1 s=0f3 =

9、1 2 s=0 f4= 2 + 3 s=0f5 = 3 1 s=0 f6 = 1 + 2 s=0当应力点位于f1=0上 ijpijfdd11):(321pppddd= (0 d1 d1) 当应力点位于f2=0上 ijpijfdd22):(321pppddd= (d2 0 d2) 当应力点在f1=0和f2=0的交点上 iipifdfdd22111: )1 (:2112321dddddddppp10211ddd 可在f1=0的法线n1与f2=0的法线n2之间变化， 这个变化区域称之为尖点应变锥 pijdffnn例2-4： 有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒，内半径为r，壁厚为t，若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，假设材料是不可压缩的，在忽略弹性变形的情况下，试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。解 环向应变=0，轴向伸