第二章塑性成形力学基础1

1、研究变形体受力的6各假设：1、连续性假设 由连续介质组成2、均匀性假设 组织、化学成分均匀且相同3、各向同性假设 各方向的物理、化学性能相同4、初应力为零 受到外力前处于自然平衡5、体积力为零6、体积不变 变形前后的体积相等2.1.1 应力与点的应力状态外力(load)与内力(internal force) 外力P：施加在变形体的外部载荷。 内力Q：变形体抗衡外力机械作用的体现。 应力（stress）应力S 是内力的集度 内力和应力均为矢量 应力的单位：1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2 1MPa=106 N/m20limAPSA 过一点可以有无穷多个方位的面。这些面上的应力如何

2、？选取三个相互垂直的面，则每个面上都有全应力。应力可以进行分解 Sn n 、n （nnormal,法向） 某截面（外法线方向为n）上的应力： 或者 （求和约定的缩写形式） 全应力全应力(stress)正应力正应力(normal sress)剪应力剪应力(shear stress)nnnnxyznxyzS22nij ijnij innnl lSlS一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有截面上的应力的有无、大小、方向等情况。一点的应力状态的描述： 数值表达：x=50MPa，xz=35MPa 图示表达：在单元体的三个正交面上标出 张量表达： (i,j=x,y,z) （对称张量，单元体处于平

3、衡状态，故绕单元体各坐标轴的合力矩为零，由此可得剪应力互等，即， 9个分量，6个独立分量。）zyzyxzxyxij.一点的应力状态及应力张量u 应力分量图示平行于坐标面上应力示意图平行于坐标面上应力示意图 应力的分量表示及正负符号的规定 ij xx 、 xz （便于计算机应用） i应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外 法线方向平行的坐标轴) j应力分量本身作用的方向 当 i=j 时为正应力，即： i、j同号为正，异号为负 简称为拉应力为正、压应力为负 当 ij 时为切应力 i、j同号为正，异号为负 任意斜面的应力变形体内任一点M某一斜面上的应力分布为？四面体受力示意图 m、n、l ，全应力

4、为，它在三个坐标轴上的投影为sx、sy、sz。在n上的分量为 ，在作用面上的分量为 。 应力平衡方程为：nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx解得：222xyxSSSS)2(zxyzxy2z22nlmnlmnmlnSmSlSyxzyx22S过M点任意斜面上的应力情况取决于:1)方向余弦2) 三个坐标面上的应力，该点任意斜面上的应力均可求出。因此一点的应力状态可用来描述 用三个坐标面上的应力表示一点的应力状态是充分条件2.1.2.1 主应力及应力张量不变量1、主应力是指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称作主平面，法线方向为主轴或主方向 ，则的三个主平面上的切应力为

5、： 0zxyzxylSxmSynSz并且： 代入任意微分斜面的应力方程，可得应力特征方程：032213JJJ其中称作应力张量的第一、二、三不变量 zyxJ12222)(zxyzxyxzzyyxJ)(22223xyzzxyyzxzxyzxyzyxJ 讨论讨论： 1. 可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的； 2. 三个主平面是相互正交的； 3. 三个主应力均为实根，不可能为虚根； 4. 应力特征方程的解是唯一的； 5. 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性； 6. 应力第一不变量J1反映变形体体积变形的剧烈程度，与塑性变形无关；J2与屈服准则有关。因所以，第一不变量表示物体的体积变化。

6、7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。3211zyxJ121)(21JEEVVzyx例题：1.主应力的求解02040 20000101001010ij 2.比较下列应力张量是否表示同一个点的应力状态0301010302、主应力图3、应力椭球面 若取三个主应力的方向为坐标轴，这种坐标系称为主轴坐标系，则一点的应力张量为 321000000ij11Sl 22Sm 33Sn 1232222212SSS应力椭球面1）对于一个确定的应力状态，在主轴坐标系中，任意斜微分面上的全应力矢量的端点都在一个椭球面上 2）若三个主应力相等，则为一个球面，任意方向都是主方向S2.1.2.2 主切应力和最

7、大切应力改变所取坐标轴的方向，总有三个互相垂直的方向使切应力达到极值，这时称为主切应力，其作用面为主切平面。即：主切应力为极值切应力（不为零）平面上作用的切应力。因：22322212232222212)(nmlnml022l0 22m0 22n1222nml求解 可得 组解因子 一二三四五六001001001000000lmn321212121212121232213221232213221 主平面及其上的主应力和主切平面及其上的主切应力 32123113max当有时，有最大剪切应力 2.1.2.3 八面体应力与等效应力设m为平均应力，则有： 131)(31Jzyxm在主应力空间中，每一象限中

8、均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个象限共有八组，构成正八面体，简称八面体面。八面体表面上的应力为八面体应力，即为八面体正应力和八面体切应力。其方向余弦为： )2(zxyzxy2z22nlmnlmnmlnSmSlSyxzyx在主应力空间有：232221nml则八面体正应力为：mzyxJ)(3131)(311321831nml因：22322212232222212）（nmlnml因：八面体切应力为：2132322218)()()(313211J)(1332212J由得2218332JJ)(6)()()(31222222zxyzxyxzzyyx1J2Jm88对某一确定的应力状态，应力张量不变量

9、 是个常量， 都是不变量。为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力823213232221)()()(21)(6)()()(21222222zxyzxyxzzyyx 2.1.3 应力张量的分解与几何表示1.分解:塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此，可以把 分解成与体积变化有关的量和与形状变化有关的量。前者称应力球张量，后者称应力偏张量。 ijijmijmijij)(),( zyxjiijmij 其中其中 即平均应力，即平均应力， 为柯氏符号。为柯氏符号。 即即 )(31zyxm100010001.mzyzyxzxyxzyzyxzxyx,mxxmyymzz与应力张量类似，偏应力张量也

10、存与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量：在相应的不变量：ijzxyzxyxzzyyxzyxJJJ)(6)()()(610322222221对于主轴坐标系，则01J)()()(612132322212J3213J01J应力偏张量已不含平均应力成份 2 J反映了物体形状变化的程度 3 J反映了变形的类型 2.几何表示应力平面一点的应力状态可用一矢量来表示 2.1.4 应力莫尔圆 1.平面应力莫尔圆若变形体内与某方向轴(如z轴)垂直的平面上没有应力分量，即变形体内各点的0zyzxz 则z方向是一个主方向。在这种情况下，形体内各点的应力状态由 、 、 三个应力分量确定，且这些应力分量与z轴无关

11、，这种应力状态称为平面应力状态，其应力张量为 xyxy00000yyxxyxijcoslsinm0n任意斜微分面AC 法线N的方向余弦为：代入任意斜面的应力方程，得2sin2cos)21)21xyyxyx（2cos2sin)21xyyx （消去参数 2222)2()2(xyyxyx这就是平面应力状态下的应力莫尔圆，其圆心和半径分别为圆心： )0 ,2(yxD半径： 22)2(xyyxR12xyxy从应力莫尔圆，可以方便地写出平面应力状态下主应力之间的关系式 2221)2(2xyyxyx03主应力的方向与x轴之间的夹角为，则 yxxy2arctan21与x轴成逆时针角的斜微分面AC，在应力莫尔圆

12、上由x面(即B点)逆时针旋转2则得到N点，N点的坐标、即为微分面AC上的正应力和切应力。22112212从应力莫尔圆上可得主切应力由于不一定是代数值最小的主应力，所以不一定是最大切应力。2.三向应力莫尔圆 在主应力坐标系中，应力张量：321ij作一方向余弦分别为l、m、n的斜面ABC，则有：1)(22223322213232222212332221nmlnmlnmlnml解得：221221322313212223231212)()()()()()(nml对第一个式子，假定l已知，求232312122232)2()()2(l同样可求出：000nml若分别令可作圆心、半径分别如下表示的三个圆2)0

13、 ,2(2)0 ,2(2)0 ,2(2121313132323.任意平面在莫尔圆上的位置1）平面应力zyyxxyx0000在莫尔圆上，规定正应力：拉为正、压为负切应力：使单元体顺时针旋转为正、逆时针旋转为负2）三向应力L、m、n已知，2.1.5 应力平衡微分方程ij0, 0, 0ZYX应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻二点间 关系，可以通过单元体沿坐标轴的力平衡来得到。 推导原理： 静力平衡条件： 静力矩平衡条件： 泰勒级数展开0, 0, 0zyxMMM.)(! 21)(! 11)()(22xxfxxfxfdxxfxxfxf)()(xxxdxx 1.直角坐标下的应力平衡微分方程),(zyxij,(dxxij),dzzdyyij假设物体为连续介质。无限相邻近二点的应力状态分别为 。， 假设连续可导，则有 z)y,x,kj,(i, d),()d,d,d(kkijijijxxzyxzzyyxx直角坐标系微体受力 物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。0008zyxzyxzyxyzxzzyyxyzxyxx2.圆柱坐标下的应力平衡微分方程 010210)(11rzrrrz