第一节波行法-1

1、第二章 波行法本章将利用行波法和球平均法分别求解一维和二维、三波动方程Cauchy问题§1 一维波动方程的Cauchy问题考虑初始位移为，初始速度为的无界弦的自由振动，该振动可以归结为如下初值问题： （2.1）由第一章第三节弦振动方程可经自变量变换简化，作变换：由 代入方程（2.1）得由，有 在上式两端先对积分,得其中是任意的函数。再对积分,得到其中都是任意的函数。把换成x,t的表示式,即得 (2.2)(2.2)给出的仅仅是泛定方程的解为了得到满足(2.1)的解,考虑初值条件 (2.3)和 (2.4)将(2.4)两端取从到积分： (2.5)其中.联立(2.4)和(2.5)，解得：将以

2、上两式代入(2.2)即得Cauchy问题(2.1)的解 （2.6）这叫做一维波动方程Cauchy问题的DAlembert公式.。下面我们说明DAlembert公式.的物理意义。为此我们首先讨论泛定方程的解（2.2）。为了便于讨论，令，得 它是方程（2.1）的解，当取不同的值时，它表示相应于不同时刻的振动状态： 表示初始时刻振动状态， 表示时刻振动状态。如图2.1所示。在平面上，将向右平移距离就可以得到，随着的增大, 将逐渐地往右平行移动，故称齐次波动方程（2.1）形如的解为右行波。uuuuuOx图 2.1右行波在传播过程中波形不变, 经过时刻，波形移动了的距离，右行波的传播速度正好为波动方程中

3、的常数。同理，称齐次波动方程（2.1）形如的解为左行波，它表示波形以速度向左传播，且传播过程中，波形也不发生变化。而方程（2.1）的解是由右行波和左行波叠加而成的，因而这种先求泛定方程的解再确定无界波动方程Cauchy问题的解的方法被称为行波法。下面再来讨论DAlembert公式的物理意义。为了便于讨论，分别研究仅由初始位移和初始速度引起的振动问题。1） 初始位移引起的振动设的图象如图2.2x图2.2由达朗贝尔公式 ，xut=0t1t2t3t4图2.3 可以将其看成初始位移分为两半分别向左、右两方以速度移动(图2.3 由下而上各图的细线所描绘)，这两个行波的和(图2.3由下而上的粗线所描绘)给

4、出各个时刻波形。 物理现象为弦上各点，振动未传播到时，处于平衡位置时，振动传到时，相应点将发生位移的变化，振动传过后，该点仍回复到平衡位置。 2）初始速度引起的振动： 设取，此时是的一个原函数，其图形由图2.4给出，Oxu图2.4 时，为与的叠加，为左行波和右行波叠加而成。 的波形见图2.5，细线表示左、右行波，粗线表示两者的叠加。随着时间的推移，波形为上下底边逐渐伸长的等腰梯形。uxt=0t=1/4t=1/2t=1图2.5弦上各点在未扰动前处于平衡状态，对某固定点而言，一经扰动，就不再回复到原来的位置，此种现象成为有持久后效。从DAlembert公式（2.6）还可以看出，解在（x,t）点的数

5、值仅依赖于x轴上区间内的初始条件，而与其他点上的初始条件无关。因此区间称为点（x,t）的依赖区间。它是由过（x,t）的两条斜率分别是的直线在 轴上截得的区间（图 2.6a）xObtx2决定区域x1xOat(x, t)x+at依赖区间x-atxtOc 影响区域图 2.6对初始轴上区间，过作斜率为的直线，过 作斜率为的直线,此两条直线与围一个三角形成区域:（图 2.6b）,此三角形区域中的任何一点（x,t）的依赖区间都落在的内部，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间上的初始条件决定，而与区间外的初始条件无关，这个三角区域B称为区间的决定区域。在区间上给定初始条件，就可以在其决定区域中决定初值问题

6、的解。xtB图6从以上讨论可以看到在xot平面上斜率为的两族直线常数起着非常重要的作用，这两族直线正好是一维波动方程的特征线。在特征线上右行波的振幅取决于常数值 ，在特征线上左行波的振幅取决于常数值 ，且这两个数值随着特征线的移动而变化，所以波动实际上是沿着特征线传播的，故而行波法有称为特征线法。实际上一、 齐次化原理（Duhamel原理）一条无界弦，初位移、初速度为0，受外力作用作强迫振动. (I) 其中齐次化原理 设是齐次cauchy问题(II) 的解，其中是参数，则为非齐次方程cauchy问题(I)的解。 利用齐次化原理给出非齐次方程Cauchy问题(I)的解。 令，则问题(II)变为:（III）由DAlembert公式有:所以问题(I)的解为:对一般非齐次一维波动方程Cauchy问题利用叠加原理 (i) (ii) 对于有界弦非齐次方程混合问题(I) 也有类似的齐次化原理: 若是(II) 的解, 则为非齐次方程混合问题(I)的