第六章方差分析-

1、 方差分析的基本原理 多重比较 单向分组资料的方差分析 两向分组资料的方差分析 数据转换 t 检检 验验 法法 只只 适用于两个处理平均数适用于两个处理平均数 间差异显著性检验间差异显著性检验。 1、计算工作量大、计算工作量大2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏度降低检验的灵敏度降低对多个处理平均数进行差异显著性检验，不宜采用t检验法，须采用方差分析法。方差分析是按照设计类型将变量的总变异分解为若干部分，再通过比较各部分的变异做出统计推断的检验方法。 自由度和平方和的分解 F分布与F测验组别组别观察值观察值(xij, i=1,2,k; ,k;

2、 j=1,2,n)j=1,2,n)总和总和 平均平均 均方均方x11x12x1jx1nT1s12x21x22x2jx2nT2s22ixi1xi2xijxinTisi2kxk1xk2xkjxknTksk21x2xixkxxxTijx设有k组数据，每组有n个观察值（Total variation）：）： （ between group variation ）（within group variation )试验数据有三个不同的变异（表5.1）用用离均差平方和离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示变异的大小表示变异的大小 总自由度总自由

3、度DFT组间自由度组间自由度DFt组内自由度组内自由度DFe总平方和总平方和SST组间平方和组间平方和SSt+组内平方和组内平方和SSe总的均方：总的均方：组间的均方：组间的均方：组内的均方：组内的均方：1)(22nkxxsMSijTT1)(22kxxnsMSitt) 1()(22nkxxsMSiijeetTetTdfdfdfkdfkndf11 均方差，均方均方差，均方( (mean square，MS) ) 2TS2tS2eSttttdfSSSMS/2TTTTdfSSSMS/2eeeedfSSSMS/2以、四种药剂处理水稻种子，其以、四种药剂处理水稻种子，其中为对照，每处理各得个苗高观察值中

4、为对照，每处理各得个苗高观察值(cm)，其，其结果列于下表，试分解其平方和与自由度结果列于下表，试分解其平方和与自由度药剂药剂苗高观察值苗高观察值总和总和Ti平均平均1821201372182024262292231015171456142827293211629 T=336 =21ixx70564433622nkTC6022CxSSijT5042nTSSit98504602tTeSSSSSS总变异自由度：总变异自由度：DFT=(nk-1)=(4 4)-1=15药剂间自由度：药剂间自由度： DFt=(k-1)=4-1=3药剂内自由度：药剂内自由度： DFe=k(n-1)=4(4-1)=12矫正

5、数矫正数总的平方和：总的平方和：组间平方和：组间平方和：组内平方和组内平方和： 1. 1. 总变异总变异: : 所有测量值之间总所有测量值之间总的变异程度，的变异程度，计算公式计算公式22111122,1)iinnaaijijijijNiji jSSYYYCYCNS 总(2211,()()inaNijijiji jYYCNN校正系数校正系数：1N总21211()()inijjaaiiiiiYSSn YYCn组间21121()(1)inaijiijaiiiS SYYnS 组 内222121),(ssF变异来源DFSSMSFF临界值处理间350416820.56*F0.05(3,12)=3.49F

6、0.01(3,12)=5.95处理内（误差）12988.17总15602F=F0.05, P=0.05, 否定否定H0，处理间差异（极）处理间差异（极）显著显著S,为大方差，为大方差，处理间方差；处理间方差；S2为小方差，为小方差，处理内方差处理内方差 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效果，选择下属4个门店，分别采用不同促销方式，对包装食品各进行了4个月的试验。 试验结果如下：超市管理部门希望了解：不同促销方式对销售量是否有显著影响？哪种促销方式的效果最好？ 【案例案例1 1】哪种促销方式效果最好哪种促销方式效果最好？促销方式 与上年同期相比(%) A1(广告宣传) 104.8 95.5 1

7、04.2 103.0104.8 95.5 104.2 103.0 A2(有奖销售) 112.112.3 107.1107.1 109.2109.2 99.299.2 A3(特价销售) 143.2 143.2 150.3150.3 184.7184.7 154.5154.5 A4(买一送一) 145.6 111.0 139.8 122.7145.6 111.0 139.8 122.7 可用 SPSS 软件的【工具】“analyze”campare mean“One-Way ANOVA”nDependent List：促销方式：促销方式nFactor：%nContrasts选项选项: 多项式比较多

8、项式比较nPost Hoc选项选项: nOptions选项选项:Descriptive描述统计量，描述统计量，Homogeneity-of-variance方差齐次性检验，方差齐次性检验，Means plot均值分布图均值分布图n结果除了方差分析表，还有很多选项相应的结结果除了方差分析表，还有很多选项相应的结果果n求解单因素方差分析问题。求解单因素方差分析问题。 案例案例 1 分析分析 其中：P-value P 值，为检验中达到的显著性水平， 其含义与 t 检验中“P(T=t)单尾”相同。 F crit 在水平 （默认0.05）下拒绝域的临界值 F。 P-value = 0.00014 0.0

9、01 故不同的促销方式对商品销售额有极高度显著影响。 差异源SSdfMSFP-valueF crit组间7925.43 2641.8 16.628 0.000143.4903组内1906.512 158.87总计9831.915 由 SPSS 软件的运行输出结果还直接可得到对各 i 的 t 检验结果如下（ =0.05）： 1 2 4 (广告宣传) 1 (有奖销售) 2 (买一送一) 4 * * (特价销售) 3 * * * ，875.1011x95.1062x175.1583x775.1294x由 SPSS 软件的运行输出结果还可得： 特价销售的效果最好，特价销售的效果最好，买一送一次之，广告

10、宣传买一送一次之，广告宣传和有奖销售的效果最差，和有奖销售的效果最差，两者间无显著差异。两者间无显著差异。q 为什么要进行多重比较q 怎样进行多重比较q 如何表示多重比较的结果q 如何选择多重比较的方法第六章为什么要进行多重比较什么叫多重比较多重比较的优点例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)变异来源DFSSMSF显著F值药剂处理间药剂处理内（误差） 312504 98168.00 8.1720.56*F 0.05(3,12)=3.49F 0.01(3,12)=5.92总1560218231429 72 92 5611621 20 1324 26 2215 17 1428 27 29 32ABCD

11、 平均总和Ti苗高观察值药剂经方差分析得下表：ix 多重比较多重比较就是指在就是指在 F 测验的前提下，测验的前提下，如果否定了无效假设，只是表明试验的如果否定了无效假设，只是表明试验的总变总变异主要来源于处理间的变异异主要来源于处理间的变异，这也仅仅说明，这也仅仅说明了了k个处理的平均值有显著差异，但是个处理的平均值有显著差异，但是并不并不能说明两两平均数间的显著差异能说明两两平均数间的显著差异，这就需要，这就需要进行多个平均数间的两两比较，即进行多个平均数间的两两比较，即多重比较多重比较 比较的精确度增大了 所得到的结论更全面，更可靠了常用的有：常用的有： 最小显著差数法最小显著差数法(L

12、east significant difference, LSD法法) LSDt检验检验（有专业意义的均数间比较）（有专业意义的均数间比较） 最小显著极差法最小显著极差法(Least significant ranges, LSR法法):这个方法是不这个方法是不同平均数间的比较采用不同的显著差数标准，克服了同平均数间的比较采用不同的显著差数标准，克服了LSD法的法的局限性，用于平均数间的所有相互比较）局限性，用于平均数间的所有相互比较） 新复极差测验新复极差测验(SSR法法)又称又称Duncan法法 （new multiple range method) SNKq检验检验(student Ne

13、wman Keuls) （多个均数间全面比较）又（多个均数间全面比较）又 q检验检验 Dunnett检验检验 （多个实验组与对照组比较）（多个实验组与对照组比较） Tukey(真正显著差法真正显著差法HSD: 用单一值作为判断的标准用单一值作为判断的标准) 、 还有还有Scheffe、 Waller 、BON等等比较方法比较方法05. 0LSD01. 0LSD05. 0LSD01. 0LSD stLSDxx21nMSSexxji/2ta : 通过附表通过附表4：学生：学生氏氏t值表可得到值表可得到MSe为处理间误差方差为处理间误差方差计算LSR排序比较 LSRa=SESSRanMSnsSEee

14、或2SSR 通过查附表通过查附表8求得求得查表时：列为误差自由度查表时：列为误差自由度行行p为测验极差的平均数个数为测验极差的平均数个数计算LSR排序比较 例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)18231429 72 92 5611618 21 20 1320 24 26 2210 15 17 1428 27 29 32ABCD 平均总和Ti苗高观察值药剂29231814DBAC平均数处理ixix计算LSR排序比较 6.186.516.694.404.624.764.324.554.683.083.233.33234LSR 0.01LSR 0.05SSR 0.01SSR 0.05PD-C=15*D

15、-A=11*B-C= 9* D-B=6* B-A=5* A-C=429231814DBACP=4P=3P=2平均数处理凡两极差LSRa，则为在a水平上差异显著；反之，不显著。与SSR法相似，唯一区别仅在计算LSRa时，不是查SSRa，而是查qa（附表7），查qa后 LSRa=SEqa所以不再详述。q 为什么要进行多重比较q 怎样进行多重比较q 如何表示多重比较的结果q 多重比较方法的选择有三种方法： 标记字母法 列梯形表法 划线法例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)18231429 72 92 5611621 20 1324 26 2215 17 1428 27 29 32ABCD 平均总和Ti

16、苗高观察值药剂ixiy差异显著性 29 2318 14DBAC0.01 0.05平均药剂新复极差测验差异显著性表aApLSR 0.05LSR 0.012344.404.624.766.186.516.696A11Biy差异显著性 29 2318 14DBAC0.01 0.05平均药剂新复极差测验差异显著性表aApLSR 0.05LSR 0.012344.404.624.766.186.516.69AB5B9C4CiypLSR 0.05LSR 0.012344.404.624.766.186.516.69差异显著性 29 2318 14DBAC0.01 0.05平均药剂新复极差测验差异显著性表a

17、AABBCCbcc处理 平均数差 异DBAC2923181415*9*411*5*6*14ixix18ix23ix29cm(D) 23cm(B) 18cm(A) 14cm(C)q 为什么要进行多重比较q 怎样进行多重比较q 如何表示多重比较的结果q 多重比较方法的选择参考以下几点：v试验事先已确定了比较的标准，如所有处理均与对照相比时，用LSDa法；v根据试验的侧重点选择。三种方法的显著尺度不相同，LSD法最低，SSR次之，q法最高。故对于试验结论事关重大或有严格要求时，用q测验，一般试验可采用SSR法。q 为什么要进行多重比较q 怎样进行多重比较q 如何表示多重比较的结果q 多重比较方法的选

18、择 完全随机设计（completely random design）资料的方差分析亦称单因素方差分析(one-way ANOVA)。 用于完全随机设计的多个样本均数比较的资料。 研究目的是推断各样本所代表的总体均数是否相等。 变异分解某军区总医院欲研究 A、B、C 3 种降血脂药物 对家兔血清肾素 -血管紧张素转化酶（ ACE）的 影响，将 26 只家兔随机分为 4 组，均喂以高 脂饮食，其 中 3 个实验组，分别给予不同的降 血脂药物，对 照组不给药。一定时间后测定家 兔血清 ACE 浓度（u/ml）， 问 4 组家兔血清 ACE 浓度是否相同？ 计算步骤1建立检验假设，确定检验水准 0H:

19、4 组家兔的血清 ACE 浓度总体均数相等， 4321 1H:4 组家兔的血清 ACE 浓度总体均数不等总体均数不等 或不全相等或不全相等，各i不等或不全相等 05. 0 2计算统计量F值 3224.4847726/)68.1122(/)(22SnxC 7876.84453224.4847711.569232SCxSS总 659.372692.329)(22211+SSCnxSSiijnjkij组间 3224.77.484700.191717.22922+ 3665.5515 4211.29303665.55157876.8445SS-SS组间总组内SS 251261总n 3141 k组间 2

20、2426kn组内 1838.45553/3665.5515/组间组间组间SSMS 2010.33122/4211.2930/组内组内组内SSMS 13.802010.133/4555.1838/组内组间MSMSF 例 5.1 的方差分析表 变异来源 SS MS F 总变异 8445.7876 25 组间变异 5515.3665 3 1838.4555 13.80 组内变异 2930.4211 22 133.2010 3 确定P值，并做出统计推断 以31v和222v查附表 4F界值表，得 82. 4)22, 3(01. 0F，01. 0P，按05. 0 检验水准拒绝0H，接受1H，可认为 4 个

21、 总体均数不等或不全相等。 注意：注意：经方差分析拒绝0H，接受1H时，尚 不能推断 4 个总体均数间均不相等。 一、组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析一、组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析例：研究6种氮肥施用法对小麦的效应，每种施肥法种5盆小麦，完全随机设计。最后测定它们的含氮量（mg）， 试作方差分析施氮法12345612.914.012.610.514.614.012.313.813.210.814.613.312.213.813.410.714.413.712.513.613.410.814.413.512.713.613.010.514.413.712.5213.76

22、13.1210.6614.4813.641. 自由度和平方和的分解自由度：总变异的自由度=65-1=29处理间的自由度=6-1=5误差的自由度=6（5-1）=24平方和： （按照公式进行计算）SST=45.763 SSt=44.463 SSe=SST-SSt=47.763-44.463=1.3002. F测验(见下表)变异来源DFSSMSFF0.01处理间544.4638.8926164.07*3.90误差241.3000.0542总变异291041. 050542. 0SE3.各处理平均数的比较p23456SSR0.052.923.073.153.223.28SSR0.013.964.144

23、.244.334.39LSR0.050.3040.3190.3280.3350.341LSR0.010.4120.4310.4410.4500.457多重比较结果：施氮法平均数差异显著性14.28aA13.76bB13.64bB13.12cC12.52dD10.66eE二、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析二、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析例：某病虫测报站调查四种不同类型的玉米田28块，每块田所得玉米螟的百丛虫口密度列于下表，试问不同类型玉米田的虫口密度是否有显著差异？田块类型编号Tiyini1234567811213141515161710214.577214101113

24、14117312.1763921011121312118010.00841211109810127210.297T=32711.6828方差分析结果：变异来源DFSSMSFF0.01田块类型396.1332.045.91*4.72误差24129.985.42总变异27226.110nMSeSE) 1)()(220knininin一、组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析一、组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析例：用生长素处理豌豆，共6个处理。豌豆种子发芽后，分别在每一箱中移植4株，每组6个木箱，每箱1个处理。试验共有4组24箱，试验时按组排列于温室中，使同组各箱的环境条件一致。然

25、后记录各箱见第一朵花时4株豌豆的总节间数，其结果为：处理组总和平均1234对照6062616024360.8赤霉素6565686526365.8动力精6361616024561.3吲哚乙酸6467636125563.8硫酸腺嘌呤6265626425363.3马来酸6162626525062.5总和375382377375T=15091 自由度和平方和的分解2 F测验3 各处理平均间比较方差分析结果为： 变异来源DFSSMSFF0.05组间35.451.821处理间565.8713.174.562.90误差1543.302.89总变异23114.62推断：组间无显著差异，不同生长素处理间有显著差

26、异。因为有预先指定的对照，故用LSD法， 202.1489.22221nMsesxxDF=15时，t0.05=2.131，t0.01=2.947，故；LSD0.05=1.2022.131=2.56，Lsd0.01=1.2022.947=3.54平均数比较的结果为：处理平均数与对照的差数对照60.8-赤霉素65.85.0*动力精61.30.5吲哚乙酸63.83.0*硫酸腺嘌呤63.32.5马来酸62.51.7二、组内有重复观察值的两向分组资料的方差分析二、组内有重复观察值的两向分组资料的方差分析设有A、B两个因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，共有ab个处理组合，每一组合有n个观察值，则该资料共有abn个观察值。例：施用A1、A2、A33种肥料于B1、B2、B33种土壤，以小麦为批示作物，每处理组合种3盆，得产量结果于下表：肥