选修2-2测试题

1、高二数学期中模拟试题（一）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、i是虚数单位，复数()A2iB2iC2i D2i【解析】2i.【答案】B2、曲线y在点(，2)处的切线方程为()Ay4x By4x4Cy4(x1) Dy2x4答案B解析y，y|x4，k4，切线方程为y24(x)，即y4x4.3、答案A解析设方程的实数根为xa(a为实数)，则a2(12i)·a3mi0，故选A4、有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误

2、D不是以上错误答案C解析大小前提都正确，其推理形式错误故应选C.5、已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A(，)，(，) B(，)C(，) D，答案D解析f (x)3x22ax1，f(x)在(，)上是单调函数，且f (x)的图象是开口向下的抛物线，f (x)0恒成立，4a2120，a，故选D.6、平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）7、已知函数f(x)的导函数f (x)a(xb)2c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()答案D解析由导函数图象可知，当x<0

3、时，函数f(x)递减，排除A，B；当0<x<x1时，f (x)>0，函数f(x)递增因此，当x0时，f(x)取得极小值，故选D.8、已知复数z134i，z2ti，且z1·2是实数，则实数t等于()A. BC D答案A解析z1·2(34i)(ti)(3t4)(4t3)i.因为z1·2是实数，所以4t30，所以t.因此选A.9、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A假设a，b，c都是偶数B假设a、b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个偶数D假设a，b，c

4、至多有两个偶数答案B解析“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数10、设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如下图所示，则导函数yf (x)的图象可能是()答案A解析f(x)在(，0)上为增函数，在(0，)上变化规律是减增减，因此f (x)的图象在(，0)上，f (x)>0，在(0，)上f (x)的符号变化规律是负正负，故选A.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共5分把答案填在题中横线上11、若f(x)=x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是_a>2 或 a<-112、若关于x的方程x2(2i)x(2m

5、4)i0有实数根，则纯虚数m_.【解析】设mbi(bR)，则x2(2i)x(2bi4)i0，化简得(x22x2b)(x4)i0，即解得m4i.13、如图阴影部分是由曲线y、y2x与直线x2、y0围成，则其面积为_答案ln2解析由，得交点A(1,1)由得交点B.故所求面积Sdxdxxlnxln2.14定义域为R的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导函数f (x)>，则满足2f(x)<x1的x的集合为 Ax|1<x<1 Bx|x<1Cx|x<1或x>1 Dx|x>1答案B解析令g(x)2f(x)x1，f (x)>，g(x)2f (x)1&

6、gt;0，g(x)为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1)110，当x<1时，g(x)<0，即2f(x)<x1，故选B.15设函数f(x)(x>0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.答案解析观察f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)的表达式可见，fn(x)的分子为x，分母中x的系数比常数项小1，常数项依次为2,4,8,162n.故fn(x).三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算

7、步骤16(1)设复数z，若z2azb1i，求实数a、b的值解：z1i.将z1i代入z2azb1i，得(1i)2a(1i)b1i，(ab)(a2)i1i，所以所以 (2)已知z是复数，z2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解：设zxyi(x，yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i.由题意得x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i.根据条件，可知，解得2<a<6.实数a的取值范围是(2,6)17、（本小题12分）已知函数f(x)x2axaln(x1) (aR)，求函数

8、f(x)的单调区间.【解析】函数f(x)x2axaln(x1)的定义域是(1，).f(x)2xa，若a0，则1，f(x)0在(1，)上恒成立，所以a0时，f(x)的增区间为(1，).若a0，则1，故当x(1，时，f(x)0；当x，)时，f(x)0，所以a0时，f(x)的减区间为(1，f(x)的增区间为，).18、已知数列an中，a1，其前n项和Sn满足anSn2(n2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明【解】当n2时，anSnSn1Sn2.Sn(n2)则有：S1a1，S2，S3，S4，由此猜想：Sn(nN*)用数学归纳法证明：当n1时，S1a1，猜想成立假设

9、nk(kN*)猜想成立，即Sk成立，那么nk1时，Sk1.即nk1时猜想成立由可知，对任意自然数n，猜想结论均成立.19、（本小题12分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.()写出与的函数关系式；()改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大。1）当销售价提高的百分率为0.1时，销售价是22元月平均销售量减少的百分率为0.01

10、，月平均销售量为2000（1-0.01）（元）                 （1分）月利润是：2000（1-0.01）（22-15）=13860元     （2分）（2）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x），月平均销售量为2000（1-x2）件，则月平均利润2000（1-x2）20（1+x）-15（元），y与x的函数关系式为：y=2000（1-x2）20（1+x）-

11、15（0x1），y=10000（-4x3-x2+4x+1）（4分）（3）由y'=10000（4-2x-12x2）=0，得x1= 1/2, X2=- 2/3（舍），当0x 1/2时y'0；1/2x1时y'0，函数在x=1/2时取得最大值故改进工艺后，产品的销售价为20(1+1/2)=30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大（8分20已知函数f(x)lnx，a为常数(1)若a，求函数f(x)在1，e上的值域；(e为自然对数的底数，e2.72)(2)若函数g(x)f(x)x在1,2上为单调减函数，求实数a的取值范围解析(1)由题意f (x)，当a时，f (x).x1，e

12、，f(x)在1,2)上为减函数，2，e上为增函数，又f(2)ln2，f(1)，f(e)1，比较可得f(1)>f(e)，f(x)的值域为ln2，(2)由题意得g(x)10在x1,2上恒成立，a(x1)2x23x3恒成立，设h(x)x23x3(1x2)，当1x2时，h(x)2x3>0恒成立，h(x)maxh(2)，a，即实数a的取值范围是，)21、（本小题满分14分）已知函数.(1)若，求曲线在处切线的斜率；(2)求的单调区间；(3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.解：(1)由已知，.故曲线在处切线的斜率为.(2).当时，由于，故，所以函数的单调递增区间为 (0，+). 当时

13、，由，得.在区间上，；在区间上，所以函数的单调递增区间为 (0，-1a)，单调递减区间为 (-1a，+).(3)由已知，转化为，. 由(2)知，当时，函数在上单调递增，值域为R，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.) 当时，函数在(0，-1a)上单调递增，在(-1a，+)上单调递减，故的极大值即为最大值， 所以，解得.参考答案题号12345678910答案BBACDBBADA11、a>2 或 a<-112、4i. 13、ln2 14、x|x<1 15、16(1)设复数z，若z2azb1i，求实数a、b的值解z1i.将z1i代入z2azb1i，得(1i)2a(1i

14、)b1i，(ab)(a2)i1i，所以所以 (2)已知z是复数，z2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi(x，yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i.由题意得x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i.根据条件，可知，解得2<a<6.实数a的取值范围是(2,6)17、（本小题12分） （1）求的单调区间；（2）求函数在上的最值解：依题意得，定义域是（1）,令，得或，令，得，由于定义域是，函数的单调增区间是，单调递减区间是（2）令，得，由于，在上的最大值是，

15、最小值是18【证明】当n2时，左边f(1)1，右边2(11)1，左边右边，等式成立假设nk时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论仍然成立f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)19、（本小题12分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平

16、均销售量减少的百分率为.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.()写出与的函数关系式；()改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大。1）当销售价提高的百分率为0.1时，销售价是22元月平均销售量减少的百分率为0.01，月平均销售量为2000（1-0.01）（元）                 （1分）月利润是：2000（1-0.01）（22-15）=13860元 &#

17、160;   （2分）（2）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x），月平均销售量为2000（1-x2）件，则月平均利润2000（1-x2）20（1+x）-15（元），y与x的函数关系式为：y=2000（1-x2）20（1+x）-15（0x1），y=10000（-4x3-x2+4x+1）（4分）（3）由y'=10000（4-2x-12x2）=0，得x1= 1/2, X2=- 2/3（舍），当0x 1/2时y'0；1/2x1时y'0，函数在x=1/2时取得最大值故改进工艺后，产品的销售价为20(1+1/2)=30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大（8分20、 解析(1)由题意f (x)，当a时，f (x).x1，e，f(x)在1,2)上为减函数，2，e上为增函数，又f(2)ln2，f(1)，f(e)1，比较可得f(1)>f(e)，f(x)的值域为ln2，(2)由题意得g(x)10在x1,2上恒成立，a(x1)2x23x3恒成立，设h(x)x23x3(1x