二次函数动轴与动区间问题

1、二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为:对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况设f(x)=ax2+bx+c(a00),求f(x)在xsm,n上的最大值与最小值。分析：将f(x)配方，得顶点为4ac b24a /、对称轴为b2a当aA0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m,n上f(x)的最值：2h2(1)当_w|m,同时，f(x)的最小值是f_b；=4acb,f(x)的最大值是2a、2aJ4af(m)、f(n)中的较大者。(2)当一旦更b,n时2ab若<m,由f(x)在Im,n】上是增函数则f(x)

2、的最小值是f(m),最大值是f(n)2ab若n<,由f(x)在Im,n上是减函数则f(x)的最大值是f(m),最小值是f(n)2a当a<0时，可类比得结论。二、例题分析归类：(一)、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：(1)轴定，区间定；(2)轴定，区间变；(3)轴变，区间定；(4)轴变，区间变。1 .轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。2例1.函数y=-x+4x2在区间0,3上的最大值是,最小值是。练习.已知2x

3、2 W3x ,求函数f (x) =x2 +x +1 的最值。2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例2.如果函数f(x)=(X-1)2+1定义在区间It,t+1上，求f(x)的最小值。2例3.已知f(x)=x 2x + 3,当xHt, tFZ R几寸，求f的最大值.O二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:当 a >0时 f(x)max一 b 1 ，一f(m)(m n)(如图 1)2a 2b 1f (n),-< 一 (m + n)(如图2)2a 2一b , yf (n), >n(如图 3)2af(x)mi

4、n=f(), mW Wn(如图 4)2a2ab, yf(m),<m(如图 5)2af (n), -b >n(如图6)2a当 a <0 时 f(x)max =f(2), mM2<n(如图 7)f (x)min 2a 2ai f (m), - <m(如图8)2a f (m),f(n)，b 1之一(m + n)(如图9)2a 2b 1 ,一 <-(m + n)(如图10)2a 23、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例4.已知x2w1,且a-220,求函数f(x)=x2+

5、ax+3的最值。解。图3例5.(1)求f(x)=x2+2ax+1在区间-1,2上的最大值。(2)求函数y=x(xa)在x匚1,1上的最大值。4.轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。222例6,已知V=4a(xa)(aA0),求u=(x-3)y的最小值。二)、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例7.已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间3,2上的最大值为4,求实数a的值。x2例8.已知函数f(x)=-+x在区间m,n上的取小值是3m取大值是3n,求m,n的值。2例9.已知二次函数f(x)=a

6、x2+(2a-1)x+1在区间§,2上的最大值为3,求实_2数a的值。三、巩固训练.,21.函数y=x+x+1在-1,1上的最小值和最大值分别是()311(A)1,3(B)一,3(C)-,3(D)-,3424一一22 .函数y=x+4x2在区间1,4上的取小值是()(A)-7(B)-4(C)-2(D)23 .函数y=-2的最值为()x-4x5(A)最大值为8,最小值为0(B)不存在最小值，最大值为8(C)最小值为0,不存在最大值(D)不存在最小值，也不存在最大值4 .若函数y=2Vx2+4x,xw0,4的取值范围是.23一5 .已知函数f(x)=ax+(2a1)x3(aw0)在区间2

7、,2上的最大值是1,则实数a的值为226 .如果实数x,y满足x+y=1,那么(1-xy)(1+xy)有()(A)最大值为1,最小值为1(B)无最大值，最小值为43(C)最大值为1,无最小值(D)最大彳1为1,最小值为一47 .已知函数y=x2-2x+3在闭区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是(A)1,二)(B)0,2(C)1,2(D)(二,228 .若x之0,y0,x+2y=1,那么2x+3y的最小值为9 .设mwR,x1,x2是方程x2一2mx+1-m2=0的两个实根，则x12+x2的最小值10 .设f(x)=x24x4,xwt,t+1(tWR),求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。一，.，、2a11 .已知f(x)=x-ax+,在区间0,1上的取大值为g(a),求g(a)的取小值。1