电路第七章一阶电路和二阶电路的时域分析

1、1. 动态电路动态电路 含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。程称为电路的过渡过程。过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因: 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件L，C。电路在换路时能量发生变。电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。1. 1. 电容中的电流电容中的电流 (微分关系微分关系

2、)a . 合上开关：电压值渐渐增到Us充电充电完毕充电完毕现象:充电AV VUsRs+-SCAVUsRs+-AVSCRb . 把电压源去掉，换上一个电阻：电压值渐渐减小到零放电放电完毕放电以上现象的结论：() 电容器支路有电流，不一定有电压。() 只有当电容器两端电压变化时，才有电流。() 电容器两端有电压，不一定有电流。AV VA1 . 1 . 电感中的电压电感中的电压 (微分关系微分关系)a .开关合上：开关合上：现象现象: :b .开关打开：开关打开：灯不会立刻灯不会立刻亮亮, ,要过一要过一会才亮会才亮。灯不会立灯不会立刻熄灭刻熄灭, ,要要过一会才过一会才熄灭熄灭。结论：结论：电感上

3、的电流不能突然变化电感上的电流不能突然变化+_usLSR+_usLSR（1 1）把某一时刻的电容电压）把某一时刻的电容电压u uc c(t(t) )或电感电流或电感电流i iL L(t)(t)称称该时刻的电路状态该时刻的电路状态。（2 2）初始时刻）初始时刻t t0 0的的i iL L(t(t0 0) )和和u uc c(t(t0 0) )称电路的初始状态称电路的初始状态。 L (0+)= L (0-)iL(0+)= iL(0-)qc (0+) = qc (0-)uC (0+) = uC (0-)3.3.换路定律换路定律 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则

4、电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。4.4.电路初始值的确定电路初始值的确定10V+-R1LR0.1HiL(t)1 4 t =0 已知开关闭合前电路已知开关闭合前电路已达到稳定，求开关闭合后已达到稳定，求开关闭合后各电压、电流的初始值。各电压、电流的初始值。2.2.作作t =0+时刻的等效电路。时刻的等效电路。解：解： 1. 1. 已知已知t =0- -时，时，电路电路达到稳定，达到稳定，iL恒定，恒定，uL=0 ,

5、（L2A的电流源）的电流源）10V+-R1RiL(0+)1 4 2Ai(0+)i1(0+)uL(0+)+- -例例7.1: ( t = 0- - 为换路前的瞬为换路前的瞬间间,t = 0+ 为换路后的瞬间为换路后的瞬间)L短路。短路。10V+- -R1RiL(0+)1 4 2Ai(0+)i1(0+)uL(0+)+- -3.3.根据根据t =0+时的时的等效电路，求各量的等效电路，求各量的初始值。初始值。例例7.2: 已知开关打开前电路已知开关打开前电路已达到稳定，求开关打开后已达到稳定，求开关打开后各电压、电流的初始值。各电压、电流的初始值。10V0.1f20K30K解：解： 1. 1. t

6、=0- -时，时，电路已电路已达到稳定，达到稳定，uC恒定，恒定，iC=0 , 由知2.作t =0+时刻的等效电路。（C6V的电压源）10V20K30K6V+-RiC(0+)i1(0+)iR(0+)t = 0 C开路。开路。3.3.根据根据t =0+时的时的等效电路，求等效电路，求各量的各量的初始值。初始值。10V20K30K6V+-RiC(0+)i1(0+)iR(0+)求初始值的步骤求初始值的步骤:1. 1. 在换路前电路中在换路前电路中, ,求求uC(0)和和iL(0)；由换路定律得由换路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+)。. . 画画0 0+ +等效电路。等效电路。. . 由由0

7、0+ +等效电路，求所需的等效电路，求所需的初始初始值。值。b. b. 电容用电压源代替，电感用电流源代替。电容用电压源代替，电感用电流源代替。a. a. 换路后的电路换路后的电路例例7.3:7.3:+-10ViiC+uC-S10k40k(1) 由由0-电路求电路求 uC(0-)uC(0-) = 8V由换路定律由换路定律 uC (0+) = uC (0-) = 8V() 由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)mA2 . 010810)0(Ci+-10ViiC10k+-8V解：解：+-10V+uC(0-)-10k40k 已知开关打开前电路已达到已知开关打开前电路已达到稳定，求开关打开后的稳定

8、，求开关打开后的 iC(0+) 。例例7.4: 0)0(_LuiL(0+)= iL(0-) =2AV842)0(Lut = 0时开关闭合时开关闭合, , 求求 uL(0+)（）求（）求A24110)0(Li由换路定律由换路定律:)0(Li解：解：iL+uL-10VS1 4 L（）（）0+等效电路等效电路2A+uL(0+)-10V1 4 10V1 4 iL(0-)例例7.5:iL(0+) = iL(0-) = ISuC(0+) = uC(0-) = RISuL(0+)= - RIS求求 iC(0+) , uL(0+)RRIIiSsC)0(解解:（1 1）由由0 0-等效等效电路电路（2 2）由由

9、0 0等效等效电路电路S(t=0)+ +uLiLC+ +uCRISiCL0+ uC(0-)-RISiL(0-)+ +uL(0 ) RIS+ RIS iC (0 ) 例例7.7: 求求S S闭合瞬间各支路电流和电感电压。闭合瞬间各支路电流和电感电压。iL+uL-LS2 +-48V3 2 CV24122)0()0(CCuuA124/48)0()0(LLii解解:由由0 0- -电路得：电路得：+uCiL2 +-48V3 2 由由0 0+ +电路电路可得：可得：12A24V+-iiC+uL-+-48V3 2 A83/ )2448()0(CiA20812)0(iV2412248)0(Lu7.2一阶电路

10、的零输入响应一阶电路的零输入响应零输入响应：零输入响应：是指电路没有外加激励时的响应。是指电路没有外加激励时的响应。由初始时刻电容中电场的储能，或电感中磁场的由初始时刻电容中电场的储能，或电感中磁场的储能引起的。储能引起的。us= u0+- -CRS1S2 2i(t)t= 01. t 0时，时，C被充电为被充电为u0。因因C上的电压不能突变，上的电压不能突变，uc(0+)= u0，3. t 0时，时，换路后换路后。 2. t = 0时，换路的瞬间，时，换路的瞬间，充电充电i(t)= u0/R。uc(0)= u0由由KVL: uR uC = 0uc(0)= u0+- -CRic(t)uc(t)+

11、uR- -由元件的性质：由元件的性质： 代入上式代入上式特征方程特征方程: 特征方程根特征方程根: 一阶齐次方程一阶齐次方程解得：解得：得: 初始条件结论结论:t (s)uc(t)04 3 2 u00.368u00.0184u0uc(0)= u0+- -CRic(t)uc(t)+uR- -t (s)ic(t)04 3 2 uc不能跃变，不能跃变，ic可以跃变。可以跃变。2.2.时间常数时间常数 RCRC电路的电路的零输入响应零输入响应u uc c(t),i(t),ic c(t(t) )都是按指数规律都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由衰减的，衰减的快慢由 决定决定。 =RC=RC（秒），（秒），

12、 越小越小， u uc c(t),i(t),ic c(t)(t)衰减的衰减的越越快。快。能量关系能量关系RdtiWR 02电容不断释放能量被电阻吸收电容不断释放能量被电阻吸收, ,直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕. .电容放出能量：电容放出能量： 2021CU电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：RdteRURCt2 00)( 2021CU dteRURCt2 020 0)2(2 20RCteRCRUuc(0)= u0+- -CRic(t)uc(t)+uR- -Is= I0 +uL(t) - -LRS1S2 212iL(t)t 0时：时： t = 0iL(0)=I0 +uL(t) - -

13、LRiL(t)+- -uR由由KVL: uL uR = 0由元件的性质：由元件的性质： 代入上式代入上式得：得：初始条件初始条件特征方程：特征方程： 特征方程根：特征方程根： tLRptLAeAetit (s)iL(t)04 3 2 I0t (s)uL(t)04 3 2 结论结论: iL不能跃不能跃变，变，uL可以跃变。可以跃变。-RI0时间常数时间常数 =L/R=LG=L/R=LG（秒）（秒）能量关系能量关系RdtiWR 02电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收, ,直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。电感放出能量：电感放出能量： 2021LI电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（

14、消耗）能量：RdteIRLt2/ 00)( 2021LI dteRIRLt/2 020 0)2/(2 20RCteRLRI +uL(t) - -LRiL(t)+- -uRA. .零输入响应与零输入响应与u uc c(0),i(0),iL L(0), (0), 有关有关。B. .零输入响应的一般形式零输入响应的一般形式: : =LG=LG =RC=RCC.零输入响应都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由零输入响应都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由 决定决定, , 越小越小， u uc c(t),i(t),iL L(t(t) )衰减的衰减的越越快。快。t (s)f(t)0f(0)4 在换路后在换路后(

15、即即 )的电路中求。的电路中求。R是从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻是从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻。例例7.8:7.8:解解: : 时的电路为时的电路为:uc(t)+- -CR2R1时时, S打向打向b点点,求求uc(t) 。R已知已知:Uuc(t)+- -CR2Sa R3bR1例例7.9:时，时，S打向打向b点，求点，求iL(t) 。解解: : 20 LiL(t)10 10 1H10VSa b20 LiL(t)10 10 1HR 时的电路为时的电路为:例例7.10:电路中的电容初始电压为电路中的电容初始电压为24V24V，求，求S S闭合后，闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化

16、的规律。电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解解:等效电路等效电路0) 0( teuutcc V 24) 0( 0u0 V2420 teutc分流得：分流得：A6420 1tCeuiA23120 12teii A43220 13teii i3S3 +uC2 6 5Fi2i14 +uC5Fi1S 2045 RC 7.3一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应一一. .RCRC电路零状态响应电路零状态响应 动态元件本身没有储能动态元件本身没有储能uC(0)=0，或，或iL(0)=0。响响应仅与外加激励有关。应仅与外加激励有关。1.RC(1.RC(并联）并联）电路的零状态响应电路的零状态响应 +-

17、 -CRic(t)uc(t)iR(t)Sis(t)=Ist = 0时时, ,开关打开开关打开。+- -CRic(t)uc(t)iR(t)is(t)=Is因电容上的电压不能突变因电容上的电压不能突变t =0+时，全部电流都流过时，全部电流都流过C，使使C充电，充电，R上没有电流。上没有电流。t 时时,C上没有电流，上没有电流，uC恒定，恒定，C相当与开路，相当与开路，全部的电流都流过全部的电流都流过R。+- -CRic(t)uc(t)iR(t)is(t)=Is由由KCL: ic+iR= Is由元件的性质：由元件的性质： 代入代入上式得上式得初始条件初始条件一阶非齐次方程一阶非齐次方程电容电压的变

18、化率：电容电压的变化率： 暂态响应暂态响应 稳态响应稳态响应 暂态响应暂态响应 稳态响应稳态响应完全解完全解:稳态时，稳态时，uc恒定，恒定，电容相当于开路。电容相当于开路。解得解得:方程方程解有解有两部两部分：分：齐次方程解齐次方程解 非齐次方程特解非齐次方程特解 固有响应固有响应 强制响应强制响应+-CRic(t)uc(t)iR(t)is(t)=Is+- -CRic(t)uc(t)iR(t)is(t)=Ist (s)04 t (s)04 IS.RISISt (s)04 uc(t)+- -CUSR+ uR -+-由由KVL: uR +uc= US初始条件初始条件暂态响应：暂态响应： 稳态响应

19、：稳态响应：完全解完全解:稳态时，稳态时，uc恒定，恒定，电容相当于开路。电容相当于开路。解得解得:t = 0uc(t)+- -CUSR+ uR -+-u C ()4 t (s)0uc(t)t (s)04 ic(t)US/R3. 3. 能量关系能量关系221SCU电容储存：电容储存：电源提供能量：电源提供能量：20dSSSCUqUtiU 221SCU 电阻消耗能量：电阻消耗能量：tRRUtRiRCSted)(d2002 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。成电场能量储存在电容中。uc(t)+- -CUSR+-t = 0uL(t

20、)+- -USR+ uR -+-LiL(t)由由KVL: uL+ uR = US初始条件初始条件暂态响应：暂态响应： 稳态响应：稳态响应：稳态时，稳态时，iL恒定，恒定，电感相当电感相当于短路。于短路。 =L/R=LG=L/R=LG解得解得:完全解完全解:RiR(t)ISuL(t)+- -LiL(t)解：解：暂态响应：暂态响应： 稳态响应：稳态响应：稳态时，稳态时，iL恒定，恒定，电感相当电感相当于短路。于短路。 =L/R=LG=L/R=LG由由KCL: iR + iL= IS初始条件初始条件t = 0解得解得:完全解完全解: :A. .零状态响应的一般形式零状态响应的一般形式: : =LG=

21、LG =RC=RCB.零状态响应都是按指数规律上升的，上升的零状态响应都是按指数规律上升的，上升的快慢由快慢由 决定决定, , 越小越小， u uc c(t),i(t),iL L(t(t) )上升的上升的越越快。快。t (s)04 f (t)例例7.11:7.11:uc(t)+ - 2 u02F+-1 1VUs已知已知uC(0) = 0，t = 0时开关合上。时开关合上。求：求：t 0 时的时的uC(t)，u0(t)。解法一：解法一：t = 0稳态时稳态时,电容电容相当于开路。相当于开路。解法二：解法二：uc(t)+ - 2 u02F+-1 1VUs时的戴维宁等效电路：时的戴维宁等效电路：uc

22、(t)+ - 2/3 Req1/3VU0C求求u u0 0(t)(t)要回到要回到原电路原电路稳态时稳态时,电容相电容相当于开路。当于开路。+ uoc - - 18VS1 1.2 5 iL(t)L10Hi (t)4 例例7.12:7.12:已知已知 t = 0时开关合上。时开关合上。求：求：t 0 时的时的iL(t), i(t)。解解: : t 0 时时,从从L两端看两端看进去的戴维宁等效电路进去的戴维宁等效电路：t =05 Req15VU0CiL(t)L10H稳态稳态时，时，电感电感相当相当于短于短路。路。+U0C - -求求i(t)要回到原电路要回到原电路t (s)04 2.520.5 t

23、eti2121218VS1 1.2 5 iL(t)L10Hi(t)4 +u(t)- -已知：已知：S (t=0)+- -CRuc(t)+uRiUS+- -1.全响应全响应若若US=0:零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应完全完全响应响应完全完全响应响应= =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应若若 : :USU0t (s)04 1+21212例例7.13:7.13:uc(t)+- -5FUSR iC +-1 12V已知：已知：uC(0)= 4V,求：求：t 0 时时,uC(t)。解：解：零输入响应零输入响应: :uc(0)=4V+- -5FR iC 1 零状态响应零状态响应: :

24、uc(t)+- -5FUSR iC +-1 12Vuc(0)=0完全完全响应响应: :例例7.14:7.14:已知：已知：uC(0)= 1V,求：求：t 0 时时,i(t)。解：解：1.1.零输入响应零输入响应: :uc(t)+- -1FR iC +-1 10V1A i (t) uc1(t)1FR1 +- -+- -1FR1 1A2.2.零状态响应零状态响应: :（两个电源，用叠加定理）（两个电源，用叠加定理）1A单独作用：单独作用：10V单独作用：单独作用：+- -1FUSR+-1 10V完全完全响应响应: :uc(t)+- -1FR iC +-1 10V1A i (t) tCetiti10

25、110t三要素为：三要素为： 三要素法是一种很重要的分析方法。它适用于在直三要素法是一种很重要的分析方法。它适用于在直流电源作用下，有损耗的一阶电路（既有电阻的电路，流电源作用下，有损耗的一阶电路（既有电阻的电路，只有这样的电路才能进入稳态）。只有这样的电路才能进入稳态）。 时间常数时间常数 =RC, =L/R f (0+) 初初始值始值f ( ) 稳态稳态值值稳态时稳态时, ,电容相当于开路。电容相当于开路。稳态时稳态时, ,电感相当于短路。电感相当于短路。 （同一电路（同一电路 相同）相同）1.f (t)增长的情况：增长的情况： RC电路或电路或RL电路在直流输入的情况下电路在直流输入的情

26、况下,（包括零输（包括零输入）电路的电压或电流无非是按两种规律入）电路的电压或电流无非是按两种规律 变化，一是变化，一是指数衰减，二是指数上升。指数衰减，二是指数上升。t (s)04 初初始值为零时，始值为零时，f (0+)=0零状态响应零状态响应t (s)04 初初始值不为零时，始值不为零时，完全完全响应响应t (s)04 稳态稳态值为零时值为零时， f ( ) =0零输入响应零输入响应t (s)04 稳态稳态值不为零时值不为零时， f ( ) 0完全完全响应响应 分析电路时，只需求出分析电路时，只需求出f (0+) f ( ) 这三个这三个要素就能画出波形，并能迅速写出相应的表达式。要素就

27、能画出波形，并能迅速写出相应的表达式。电压、电流的初始值，稳态值的计算：电压、电流的初始值，稳态值的计算：+ -+ -+ -例例7.15:7.15:+- -3 Fuc(t)IS1 2 1A 已知开关闭合前电路已已知开关闭合前电路已达到稳定，用三要素法求达到稳定，用三要素法求uC(t)。t =0解：解： 1.1.求求u uC C(0(0+ +) ) : :t =0- -时，时，电路已达到稳定，电路已达到稳定，C开路。开路。+- -uc(t)IS1 2 +-2. .求求 ：t 时，时，C开路开路+- -3 Fuc(t)IS1 2 3.3.求求：t (s)02 4 6 8 2/3V2V或：或：例例7

28、.16:7.16: 已知已知: t = 0时时S1合上，合上，t = t1时时S2合上。合上。求求iL(t)，并画出波形。，并画出波形。解：解： 1. 1. t = 0时时S1合上合上t =0- - 时时: :t 时，时，L短路短路VSS2R1R2LS1iL(t)t = 0VSR1R2Li L(t)2.2.t = t1时时S2合合上上t = t1t 时，时，L短路短路VSS2R1R2LS1iL(t)设设S S2 2合上前为：合上前为：t = 0- -S2R2LiL(t)t1 4 1 4 2t (s)0输出波形：输出波形： 12121121 tttLRRSLLReeRRVti 0Li1tt 10

29、tt tLRRSLeRRVti21121tiL21RRVS例例7.17:7.17:10V10 10 +uL(t)- -2H+- -0.5uL(t)10V10 10 iL(0-)t = 0求求 t 0 时时,uL(t)。(a). t = 0- - 时，时，电路已达到电路已达到稳定，即稳定，即t 时，时，L短路。短路。uL(0-)= 0, 受控源也为零。受控源也为零。解：解：1. 1. 先求先求uL(0+)（L1A的电流源）的电流源）10 +- -+- -0.5uL(0+)1AiL(0+)uL(0+)10V10 10 +uL(t)- -2H+- -0.5uL(t)3. 3. 求求(a). 先求先求

30、RR+u(t)-10 +- -0.5 u(t)i(t)t10 +- -uL()2. 2. 求求uL()t t 时，时，LL短路。短路。受控源也为零。受控源也为零。另解：先求另解：先求iL(t),在求在求uL(t)。10V10 10 +uL(t)- -2H+- -0.5uL(t)t = 010V10 10 iL(0-) t = 0- - 时，时，电路达稳定，电路达稳定，L短路。短路。uL(0-)= 0, 受受控源也为零。控源也为零。1. 1. 求求iL(0+)2. 2. 求求iL()t 时，时，L短路。短路。受控源也为零。受控源也为零。10 iL()3. 3. 求求方法同上：方法同上： 用三要素

31、法求响应，不需先求用三要素法求响应，不需先求动态变量动态变量u uc c(t),(t),i iL L(t(t) )，只需求出只需求出f (0+) ，f ( ) ， 这三个量就能写出相应的表达式这三个量就能写出相应的表达式：7-1（b），7-5，7-8，7-12，7-14，7-19，7-207.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应一一.RLC .RLC 电路微分方程的建立电路微分方程的建立由由KVL: 代入上式代入上式(串联电路选串联电路选uC为求解变量为求解变量)t = 0 uC(t)-+ +CLR+ - -+ - -uL(t)uR(t)i(t)012LCPLRP特征方程为：特征方程为

32、：LCLRLRP1)2(222 . 1特征根为：特征根为：二二. 零输入响应的三种情况零输入响应的三种情况P1、P2为不相同的负实数；为不相同的负实数；P1、P2为共轭复数；为共轭复数；临界情况（临界阻尼）临界情况（临界阻尼）非振荡放电过程（过阻尼）非振荡放电过程（过阻尼）P1、P2为相同的负实数；为相同的负实数；振荡放电过程（欠阻尼）振荡放电过程（欠阻尼）uC(t)-+ +CLR+ - -+ - -uL(t)uR(t)i(t)tptpCeAeAu2121P1、P2是不相同的负实数；是不相同的负实数； 联立两式可求得联立两式可求得A1、A2已知 uc(0)=0，iL(0)=1A，US=0，求u

33、c(t),iL(t)，t0。uC(t)+-1FUS1H+-3iL(t)解：解：电路的微分方程为：解得：1212210.447t (s)01tm20.171t (s)01.17)()(21120ttccppeePPLUdtduCi )()(2121120ttLppePePPPUdtdiLu tU0uctm2tmuLic)(2112120ttCPePPePPPUu电路的响应是电路的响应是非振荡非振荡性的。性的。t = 0 uC(t)-+ +CLR+ - -+ - -uL(t)uR(t)i(t)iC为极值时为极值时(即即uL=0时时)的的tm的的 t,计算如下计算如下:0)(2121 ttppePe

34、P2112ppppntm由由duL/dt可确定可确定uL为极小时的为极小时的 tn . 0)(212221 tptpePePmntt221122ppppntnmmtPtPeePP2112 能量转换关系能量转换关系R RL LC C+ +- -0 t tm uc减小减小 ，i 减小减小.tU0uctm2tmuLicR RL LC C+ +- -P1、P2为相同的负实数；为相同的负实数； LRPP221ttcteAeAu 2 1 电路的响应依然是电路的响应依然是非振荡非振荡性的。性的。 联立两式可求得联立两式可求得A1、A2e-2tt (s)0210.51.5iL(t) A13244t已知 uc(0)=-1V，iL(0)=0，US=0，求iL(t)，t0。uC(t)+-1FUS1/4H+-1iL(t)解：解：电路的固有频率为：电路的固有频率为：P1、P2为共轭复数为共轭复数其中 ：At0A2A1A0cossin)(0)0(sin)0(00AAdtduUAUucc由初始条件arctgUA，解得： sin0，间的关系间的关系:0sin 00UA 0 )sin( 00 teUutc)sin( 00 teUutc弦弦函函数数。为为包包线线依依指指数数衰衰减减